книги / Расчет конструкций при случайных воздействиях

Будем считать, что процессы х0 (/), х г (/) и х 2 (t) статистически независимы. Покажем, что с помощью этой математической мо­ дели можно получить все ранее рассмотренные примеры случай­ ных процессов, представленные на рис. 1.3.

цессом случайных колебаний или потоком статистически независи­ мых воздействий.

Из предложенной классификации внешних случайных воздей­ ствий следует, что все элементы конструкций по характеру своей нагруженности могут быть разделены на следующие две основные группы: с колебательным характером нагружения и с много­ кратно повторяющимся импульсным (ударным) характером на­ гружения. К ним можно отнести еще одну большую группу эле­ ментов конструкций, переменность нагружения которых обуслов­ лена в первую очередь, вращательным характером движения, — группу с ярко выраженной гармонической составляющей нагруже­ ния. К первой группе элементов конструкций могут быть отнесены такие детали транспортных машин, как рессоры, торсионы и пру­ жины систем подрессоривания, подрессоренные элементы несущих систем (рам) и т. п.; ко второй — детали ходовых систем (катки,

муфт сцепления) и т. п. На рис. 1.4 показана схема предлагаемой классификации и примеры элементов конструкций транспортных машин, относящихся к трем рассмотренным группам.

В качестве основных примеров случайных воздействий быди рассмотрены одномерные случайные процессы нагружения. В об­ щем случае на элемент конструкции может одновременно действо-

Рис. 1.4. Классификация элементов конструкций

11

Т а б л и ц а 1.1

Законы распределения непрерывной случайной величины

Гам

Зак

1 — ехр (— |5х“)

12

13

14

15

вать целая группа точечных и распределенных нагрузок. Если места приложения группы точечных нагрузок определенные, то для их описания можно воспользоваться методами теории много­ мерных (.векторных) случайных функций и трактовать процесс нагружения как многомерный (по числу нагрузок) случайный процесс [38]. В более общем случае приходим к необходимости рассмотрения пространственно-временных случайных полей [7].

Таким образом, для более точного и детализированного описа­ ния нагруженности конструкций необходима иерархическая струк­ тура моделей процессов возрастающей сложности. Естественно, что ту или иную математическую модель случайного процесса следует использовать до тех пор, пока получаемые с ее помощью результаты достаточно хорошо согласуются с 3KcnepHMeHl^b- ными данными.

3. Однократные случайные воздействия

А

Однократные случайные воздействия можно считать полностью заданными, если известна для них функция распределения ве­ роятностей F (х) или плотность распределения вероятностей

/ (х) = F (х). Частными статистическими характеристиками рас­ пределений являются среднее значение

- о о

Величина ах называется средним квадратическим отклонением, или стандартом распределения.

Вместо функции распределения F (х) может быть также ис­ пользована характеристическая функция <р (q), определяемая со­ отношением

16

Для положительных случайных величин часто используют пре­ образование Лапласа плотности распределения, определяемое со­ отношением

оо

Наиболее употребляемые распределения и их статистические Характеристики приведены в табл. 1.1.

Рассмотрение нагрузок однократного действия имеет практи­ ческое значение при анализе начального напряженного состоя­ ния элементов конструкций. Последнее обусловлено различными сборочными операциями и остаточными технологическими напря­ жениями, возникающими в элементах конструкций при их термо­ механической обработке.

4.Потоки дискретных случайных воздействий

Вкачестве одной из основных моделей процессов нагружения рассмотрим процесс х (t), который представляет собой поток случайных по величине и по моменту времени единичных воздей­ ствий (см. рис. 1.3, е). В общем случае такие потоки описываются совместной функцией распределения интенсивности каждого воз­

от времени их появления. Такие потоки описываются двумя неза­ висимыми функциями распределений: для интенсивностей воздей­ ствий Fx (xlt Xg, .... ха) и моментов времени их появления Ft (tx,

in)'

Потоки воздействий называют Марковскими по интенсивности

ипо моментам времени, если последующие воздействия и моменты времени их появления зависят лишь от предыдудщих воздействий

имоментов времени и не зависят от всей предшествующей истории Нагружения, т. е. если выполняются соотношения

Fx {x1, *2. ■• хп) = F (хг) F (х2/хг) . . . F { x j x ^ \

17

Наиболее содержательные результаты анализа таких процес­ сов относятся к стационарным и квазистационарным, т. е. к опи­ сываемым соотношением (1.3) потокам случайных статистически независимых воздействий. Такие потоки полностью описываются функциями распределения интенсивности единичного нагружения и интервала времени между нагружениями, а также квазидетерминированными нестационарными составляющими типа (1.1) и (1.2). Задача описания нагруженности в этом случае заключается в оп­ ределении названных функций по результатам эксперимента.

Каждое единичное воздействие вызывает в элементе конструк­ ции некоторое повреждение. Со временем эти повреждения сум­ мируются, и наряду с процессом нагружения необходимо рассмо­ треть процесс накопления повреждений. Отказ элемента конструк­ ции по прочности возможен либо в случае превышения нагруз­ ками опасного уровня, либо в случае накопления усталостных повреждений выше опасного уровня повреждений. Соответствую­ щие интервалы времени до этих событий будем называть долговеч­ ностями по условию статической и усталостной прочности.

5. Вероятностные характеристики непрерывных случайных воздействий

Рассмотрим непрерывные случайные процессы, значения ко­ торых в различные моменты времени статистически между собой связаны. Эта связь с увеличением интервалов времени между зна­ чениями случайного процесса затухает. Характерными при­ мерами таких случайных процессов являются процессы изменения во времени напряжений и деформаций в подрессоренных элементах транспортных машин при движении их по дорогам случайного профиля. Такие процессы часто называют случайными колеба­ ниями.

Математической особенностью таких процессов является их дифференцируемость, что следует из физической сущности колеба­ тельных явлений. Если исследуемые случайные процессы и не являются непосредственно результатом колебаний каких-либо систем, но отвечают перечисленным выше требованиям, то их также целесообразно называть случайными колебаниями. Из всех возможных процессов такого рода будем рассматривать так назы­ ваемые стационарные случайные процессы и приводимые к ним с помощью математических моделей (1.3) нестационарные процессы. Следует отметить, что при теоретическом анализе слу­ чайных колебаний часто используют математические модели не­ дифференцируемых случайных процессов, что обусловлено от­ носительной простотой получаемых для них решений задач ста­ тистической динамики. Однако, как это будет показано ниже, полный теоретический анализ таких процессов затруднен, а в ряде случаев и невозможен,

18

применении теории ' случайных процессов предпочитают другой способ задания процесса, когда статистическая связь между от­ дельными его значениями в различные моменты времени задается непосредственно в виде последовательности корреляционных мо­ ментов (корреляционных функций):

где знаком (••■) показана операция вычисления среднего по ансамблю возможных значений случайного процесса х (t) в мо­ менты времени t{ (i — 1, 2, п). Случайные процессы назы­ вают стационарными, если их корреляционные функции зависят лишь от интервалов времени (t2—tt), (t$—ti) и т. д. Стационарные случайные процессы называют эргодическими, если в них усред­ нение по.ансамблю реализаций можно заменить усреднением по времени. Так, если для неэргодических процессов корреляцион­ ная функция может быть вычислена только при наличии большого числа реализаций по формуле

т

Kxx...x (tu к, ■• *й) = Нт 4 - V * * ( * . ) . . . Хк(/,;), (1.15)

‘т'°°

где xh (t) — k-ая реализация случайного процесса; т — число реализаций, то для эргодических процессов корреляционную функцию можно вычислить по одной реализации случайного про­ цесса

где T — время реализации случайного процесса.

Для Гауссовских стационарных процессов достаточно задать

и среднее значение процесса (х).

Для анализа случайных процессов и построения методик рас­ чета на прочность и долговечность необходимо иметь совместное распределение процесса и некоторого числа его производных (в зависимости от постановки задачи) для произвольного числа моментов времени. Построение этого распределения — основная

19

задача при математическом описании случайных процессов. Плотность этого распределения обозначим

х ft), x ( t x), . . . . x(tn), x(tn), x{tn)\.

Достаточно иметь моменты этого распределения, которые мо­ гут быть вычислены по корреляционным функциям заданного процесса, корреляционным функциям его производных и соот­ ветствующим взаимным корреляционным функциям процесса и его производных. Ограничиваясь первыми двумя производными,

dt\

взаимную корреляционную функцию первых производных про­ цесса х (t) для п моментов времени

взаимную корреляционную функцию вторых производных про­

распределения процесса и его первых двух производных для про-

20