книги / Расчет конструкций при случайных воздействиях

по существу не имеют принципиальных преимуществ по сравнению с исходным уравнением (3.1). В самом деле, после усреднения системы (3.4) в правых частях уравнений, начиная со второго, появляются моменты третьего и более высокого порядка. В соот­

ношениях для моментов второго порядка, начиная с (и?) также

будут содержаться высшие моментные функции («oui)i {ио) и т. д. То же самое мы имеем и в уравнении (3.5), в которое момент (и4) или (и6) входит через коэффициент эквивалентности. Следова­ тельно, уравнения относительно моментных функций остаются незамкнутыми. Чтобы избавиться от этого недостатка, вводится гипотеза о гауссовости или квазигауссовости неизвестных слу­ чайных функций, входящих в соотношение (3.2). При этом моменты высшего порядка выражаются через моментные функции второго порядка и математическое ожидание процесса.

Сравнение приведенного в п. 14 приближенного решения с ис­ пользованием метода статистической линеаризации с точным ре­ шением показывает, что отличие конечных результатов в зависи­ мости от параметров систем может быть значительным.

Эффективным методом исследования нелинейных стохасти­ ческих задач является метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Этот метод использует исходные уравнения (ли­ нейные или нелинейные), на вход которых подают случайные реализаций возмущений, для каждой из которых получают реше­ ние исходного уравнения. Эти решения статистически обрабаты­ ваются и получаются законы распределения величин или вероят­ ностные характеристики. Для воспроизведения и ввода входных случайных возмущений используются реальные записи или дат­ чики (генераторы) случайных чисел. Основным преимуществом метода статистических испытаний являются универсальность и простота. Метод может быть применен к любым нелинейным си­ стемам, причем принципиальная сложность метода не зависит от сложности исследуемой задачи. Метод статистических испытаний изложен в п. 16.

13.Метод статистической линеаризации

Вгл. 2 были рассмотрены случайные процессы в линейных системах, которые являются частным случаем более общих си­

стем — нелинейных. На рис. 3.1, а показана система с одной сте­ пенью свободы, у которой упругая характеристика пружины (рис. 3.1, б) является нелинейной функцией смещения х. Сопро­ тивление F2 (х ) (трение между массой т и направляющей) также может нелинейно зависеть от скорости движения х.

Уравнение вынужденных колебаний массы т имеет вид

т х + F (х, х) = f (t),

где F (х, х) = F1 (х) + F.2 (х).

81

X

Рис. 3.1. Нелинейная система:

а — расчетная схема; б — упругая характеристика

В каждом случае имеет место конкретная явная зависимость функций Fx и F2 от х и х соответственно. Например, для по­ казанной на рис. 3.1,6 упругой характеристики функция■Ft (х) имеет вид

F1 (х) = сх + CiX3,

где с и сх — постоянные коэффициенты.

Для исследования колебаний нелинейных систем при случай­ ном воздействии часто используют метод статистической линеари­ зации, изложенный, например, в работах [10, 51]. Задача стати­ стической линеаризации заключается в замене нелинейной случай­ ной функции F (х, х) линейной, т. е.

F (х, х) я» F# = аг + а2х0 + а3х 0,

Считая, что имеют место стационарные нелинейные колебания,

/ (х, х ) является наиболее слабым местом метода статистической линеаризации, так как эта функция неизвестна. Поэтому при­ ходится ввести допущение, что функция / (х, х) близка к дву­ мерному нормальному закону распределения независимых слу­ чайных функций, т. е. считать

/(*, х)

2пах°х

82

После интегрирования получим зависимости ас от тх, ах и ах at = at (тх, ах, at).

В результате операции усреднения получаем уравнение

Так как х0 и /0 — центрированные случайные функции, то, взяв математическое ожидание от обеих частей уравнения (3.12), получим

В результате получаем три уравнения (3.13)—(3.15) для определе­ ния трех неизвестных т х> а х и а х в зависимости от /п/ и оу.

Пример 1. Требуется найти среднее число превышений массой т заданного отклонения а0 за время tK, когда на систему действует стационарная случайная

сила типа нормального «белого шума» f (t) (см. рис. 3.1).

83

что оно мало отличается от нормального, что дает возможность воспользоваться формулами (3.9)—(3.11) для определения коэффициентов аъ аг и а». После вы­ числения интегралов получим

°а = Зи (т*+ °2) ;■

а3 = 2п.

Линеаризованное уравнение имеет вид

84

=2ссо2Д а 2-|-<й2). Требуется определить математическое ожидание тх и среднее

квадратическое отклонение ох случайного смещения массы т, считая, что имеют место нормальные стационарные колебания.

В результате получаем линейное уравнение относительно центрированного случайного смещения х0

*о+ V o + Ро*о = V й-

Дисперсии х0 и х0 соответственно равны

14. Применение теории Марковских процессов при исследовании нелинейных случайных колебаний

В предыдущих параграфах при исследовании случайных ко­ лебаний использовались только два первых момента случайных функций (математические ожидания и корреляционные функции). Однако не все задачи могут быть решены методами корреляцион­ ной теории. В прикладных задачах, когда требуется решать нели­ нейные уравнения, определить все вероятностные характеристики методами корреляционной теории нельзя. Кроме того, решение ряда конкретных задач требует знания не только вероятностных характеристик, но и законов распределения выхода. Такие за­ дачи решаются методами теории Марковских процессов [7, 42].

Рассмотрим, например, уравнение движения (3.16), которое можно представить в виде системы двух уравнений первого по­ рядка, полагая х = ylt х = у2. Ограничимся случаем, когда

85

trif = 0, a f 0 — возмущение типа «белого шума» с корреляционной функцией Kj = S0S (т). Имеем:

/(S/х, У*) = /х (t/i) /2 (г/а)-

Врезультате получим уравнение

86

Из полученных выражений для ft и /2 следует, что закон распре­ деления yY [первой производной решения уравнения (ЗЛ6)] является нормальным, а закон распределения координаты у2 не является нормальным, как это предполагалось в методе стати­ стической линеаризации. Только при р — О f2 переходит в нор­

Из уравнения (3.34) получаем выражение для дисперсии, точно совпадающее с уравнением (3.25), полученным по методу стати­ стической линеаризации, что и можно было ожидать, так как относительно х уравнение (3.16) линейно. Выражение (3.25) дает

возможность определить а* численно для любого р в отличие от выражения (3.21), справедливого только для малых р. Получим

приближенное значение а |, полагая

87

hi и Нч мало отличаются друг от друга, т. е. значения дисперсий подсчитанные по методу статистической линеаризации и с исполь­ зованием теории Марковских процессов, практически совпадают.

При значениях pi > 0 ,1 5 погрешность при определении по методу статистической линеаризации может быть весьма боль­

шой. Так, например, при pi = 0 ,4 ошибка в определении а* достигает приблизительно 2$ %.

Рассмотрим пример 2 (см. п. 13) с точки зрения Марковских процессов. Основная особенность этого примера заключается в том, что случайное возмущение не является белым шумом.

Процесс с корреляционной функцией вида Kf = . о$е”а1т| можно представить как результат прохождения «белого шума» через линейную систему первого порядка вида

(3.23), которое можно представить в виде системы двух уравнений первого порядка.Ч34грезультате получаем систему трех уравнений вида

процесс. Второе уравнение Колмогорова для этого случая имеет вид

88

нулевым средним значением. В установившемся режиме момент двигателя М0

уравновешен моментом сопротивления о^Щд. Считая возмущенное вращение диска

После преобразования из выражения (3.41) получим следующее уравнение:

Найдем коэффициенты ах и blt входящие в уравнение Колмогорова, для чего

M [Д©х)

ях = lim —; . ■J —— (2 Дсо1 + Доо^ sign Дш ^;

о Ait

Л4[Дю?] _

b. — lim — . , -

г д е oMi = ом /(а^а>20).

89

90