V
|
а - 1,0— |
у |
|
0,8- |
|
a = f)0- |
0,6^ j ^ ^ Г у |
0,8^ |
0,* V |
J |
|
0,5- |
0,2J |
|
|
° А |
o-O^Jjf |
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
а - о N
------- 1
0 |
WOO 2000 3000 4000 5000 |
1000 2000 3000 |
t , v |
|
|
б) |
|
Рис. 5.14. Накопление устало стных повреждений:
а — S — 47,5 |
МПа, |
п = |
2,4 |
Гц; |
6 — S = |
69 |
МПа, |
га |
= |
2,9 |
Гц; |
в _ 5 = |
72 |
МПа; га = |
3,1 Гц |
|
Для иллюстрации влияния повышения средних напряжений во времени на величину накопленного усталостного повреждения рассмотрим случай, когда средние напряжения изменяются по линейному закону am (t) = at, где а — скорость возрастания напряжений.
На рис. 5.14 для различных по интенсивности процессов, ха рактеризуемых стандартом 5 и частотой п, показана зависимость величины накопленного усталостного повреждения от времени нагружения при различных параметрах а. При расчетах принято: N0 = 5-10®, од-, -- 1,5 МПа, др == 0,22. Анализ показывает, что возрастание усталостных повреждений происходит по нели нейному закону. С увеличением интенсивности нагружения от носительное влияние повышения средних напряжений на вели чину накопленных повреждений уменьшается.
Нестационарные Гауссовские процессы с монотонно изменяю щейся дисперсией. В качестве примера нестационарных Гауссов-
S jr
|
|
г |
|
в |
О |
1000 |
2000 ffj 2000 |
4000 |
t,4 |
5000ч \ 4000 "V 3000^
2000
1000 "О,
0ч
^ |
Л |
S |
ОчЛ |
1000 |
2000 |
3000 |
4000 |
5000ч |
|
3) |
е) |
Рис. 5.15. |
Нестационарный |
процесс с монотонно изменяющейся дисперсией; |
а — пример |
процесса; б — изменение дисперсии; распределение амплитуд: в — а — |
= 2/3-10"* |
ч-1; г — а = 1-1<Г* |
ч-1; д — а = 1,2-1<П* ч-1; е — а = 4/3-И)-* ч~» |
ских процессов с монотонно изменяющейся дисперсией рассмотрим процесс (рис. 5.15), в котором изменение дисперсии во времени описывается следующим соотношением:
S2(t) = Sl/(l |
- a t ) , |
(5.74) |
где S Q — начальное значение дисперсии; |
а — параметр. |
|
Модели таких процессов могут быть использованы для анализа «старения» конструкции, в результате которого уровень ее напря женности со временем возрастает. Подставляя соотношения (5.74)
и в формулу (4.132), получаем следующее выражение для опреде ления среднего числа превышений уровня а за время t:
|
Ой с2 |
а2 |
/ аоЧ |
|
п (а//) = ааг ехр |
|
2S% |
ехр |
Этой формулой можно воспользоваться для приближенногоопределения вероятности разрушения. Отличие этой формулы от формулы (4.132) может быть выражено с помощью следующегопоправочного коэффициента:
|
h(o/t) |
_ |
%S20 |
| |
|
f a t o * \ |
|
1 |
tn(o) |
~ |
ato* |
[eXp |
( |
2 .S20 |
’ |
где n (c) — среднее |
число превышений |
|
уровня |
o' в |
единицу времени соответ |
ствующим стационарным процессом (при |
а = |
0); при |
t = 0 р = 1 , при t -у о& |
|Л — оо.
Для описания плотности распределения вероятности амплитуд, для каждого момента времени можно воспользоваться соответству ющими соотношениями п. 32, в которые вместо постоянной дис персии следует подставить выражение (5.74). Так, при схематиза ции]Гпроцессов по методу превышений
, . . |
1 — at |
(1 — at) о2 |
(5.75) |
f (<*)■ = |
—z 2 - < J e x p |
25Q |
|
й с |
|
Графики функций (5.75) для различных параметров а и раз личных моментов времени показаны на рис. 5.15. На рисунке видно, что с увеличением параметра а и времени / распределения амплитуд сдвигаются в область больших значений.
Подставляя соотношение (5.75) в формулу (5.71) и учитывая нестационарность процесса нагружения, получаем следующее вы ражение для определения усталостного повреждения к моменту времени t:
|
V * 2 * '2r .(-£ ± 2 ) |
f |
- at)— m/2 ^ |
j/" 1 — at, m -)- 2 j dt.. |
y> t~ |
j |
(1 |
При |
a — 0 возвращаемся |
к |
соотношению |
(5.76). |
(5.40) |
■Нестационарные Гуассовские процессы с периодически изменя
ющейся дисперсией. |
Пусть, |
например, |
|
|
|
S2(<) = |
5o/(l +acoscof), . |
(5.77) |
где а и |
(й — параметры |
нестационарное™ {а< 1); S* — среднее |
значение -ди |
сперсии |
процесса (рис. |
5.16). |
|
|
Рис. 5 .16 . Периодически нестационарный процесс:
а — пример процесса; б — изменение дисперсии; а — распределения амплитуд
Подставляя соотношение (5.77) в формулу для определения среднего числа превышений нестационарным процессом за время t уровня а (4.132), получаем:
Я (ст/f) = h o t ex p | — |
/0 |
j * |
<5 -7 8 ) |
где /0 (г) —-модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.
Этой формулой при напряжении, равном пределу прочности, можно воспользоваться для приближенного определения вероят ности разрушения.
Плотность распределения амплитуд напряжений при схемати зации процессов по методу превышений получаем из соотношения (5.37) при подстановке в него выражения (5.78):
a/l(^S-)}’ <5*79>
где /1 (2) — модифицированная функция Бесселя первого порядка.
Легко проверить, что условие нормирования для распределе ния, определяемого формулой (5.79), выполняется.
На рис. 5.16 представлены графики плотностей распределения (5.79) при различных значениях параметра а, откуда видно, что
с ростом параметра а распределения амплитуд сдвигаются |
вправо, |
что предопределяет меньшее значение долговечности. |
|
Для функций / 0 (г) |
и |
(г) имеют |
место следующие раз |
ложения: |
оо |
|
|
|
|
|
|
|
[° ^ = |
S |
ft! Г (ft + 1) ( т |
) ; |
(5.80) |
|
к—0 |
|
|
|
к= 0
Подставляя соотношения (5.79)—(5.81) в формулу для расчета усталостного повреждения за один цикл нагружения (5.22), по лучаем
|
/ |
й |
|
4fe-j-m |
v |
\ |
4 / |
I) |
п |
2 |
k'.Y (k-\- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
X |
4£ + m + 2 ) + |
^ |
|
|
|
|
|
к=0 |
|
х Г ( <ау < |
^ |
( |
^ |
, |
|
-р, / 4А —(- /и —2 |
X |
|
V |
2 |
|
|
|
( 4 / |
4 k - l - m - j - 2 |
|
|
1) 2 2 х |
|
А! Г (k -f |
|
4 * + m + 4 ) . |
|
При а = 0 возвращаемся к формуле (5.40).
Переходный режим случайных колебаний. Рассмотрим переход ный режим колебаний в линейной упругой системе, когда в слу чайный момент времени на нее подействовал случайный по вели чине импульс силы. В п. 7 было показано, что изменение дисперсии процесса в этом режиме можно описать следующим уравнением:
где Sp — дисперсия соответствующего стационарного процесса; а — параметр,
показывающий на сколько увеличилась дисперсия процесса в момент действия случайного импульса; [1 — коэффициент демпфирования.
Среднее число превышений рассматриваемым процессом уровня а за время t можно вычислить по формуле
|
t |
|
|
ii (ajt) = |
й0 f ехр |
---- 5--------------------- \ da, |
(5.83) |
} |
°J |
25g{l+.aexp(-2P0)/ |
1 |
где п0 — средняя частота процесса.
Эта формула при напряжении, равном пределу прочности, по зволяет оценить вероятность разрушения. Интеграл в этой фор муле протабулирован на ЭЦВМ. Результаты вычислений приве дены в Приложении 3.
Для упрощения расчетов подынтегральную функцию в (5.83)
представим двумя |
членами |
ее |
разложения в |
степенной ряд: |
|
1_______ . |
1 |
, |
2Ф |
f |
1 + а е х р ( — 2 рt) |
|
1 -f- а |
|
(1 -(- а )2 |
Тогда соотношение (5.83) |
примет вид |
|
|
|
Д0^ (1 + а) |
|
— ехр |
|
а$аЧ |
Я (o /t) = |
про2 |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
s? 0 + «)2 |
|
X ехр [______2!____)_ |
(5.84) |
\2S2(l +a)j
Плотности распределений амплитуд для различных моментов времени можно получить подстановкой соотношения (5.84) в соот ветствующие различным методам схематизации, процессов формулы п. 32. Для схематизации процессов по методу превышений имеем:
/ (о) = |
^ ехр/ 2S2(о !* |
(5.85) |
Графики функций (5.85) для различных параметров а и различ ных моментов времени показаны на рис. 5.17. С увеличением пара метра а и уменьшением времени t распределения амплитуд сдвига ются в область больших значений, что предопределяет для этих ■случаев уменьшение долговечности.
Подставляя соотношение (5.85) в формулу (5.22) и учитывая нестационарность процесса нагружения, получаем следующее выражение для определения усталостного повреждения к моменту времени t:
где S (<) определяется по формуле (5.82).
Рис. 5.17. Переходный процесс случайных колебаний:
а — пример процесса; 6 |
изменение Дисперсии; в—е — Распределения амплитуд; в —а ~ 0,5; г — а = 1,0; д — а = 1,5; е ~ а = 2,0 |
ю
О
-si
Для функции Р {х, п) имеет место следующее разложение
р (х, п) = — |
------ ехр ( ----- |
{хп~2+ (л - |
2) *п_4 + |
? 2 |
Г(п/2) |
|
|
+ |
( « - 2 ) ( « - 4 ) л : '," 6Н------ |
}. |
Подставляя это соотношение в. формулу (5.86), получаем:
= ттг 1 ехР ( ~ ар") {* + т ( о л ) +
+т ( т - 2 ) ( J - ) ' + . . . } .
34.Вероятностная оценка статической прочности и усталостной долговечности ■
при плоском напряженном состоянии
Исследование статической и усталостной прочности материалов при плоском напряженном состоянии производится обычно в ус ловиях детерминированного нагружения при синхронном и син фазном изменениях во времени всех компонент тензора напря жений. Задача сводится к обоснованию применимости для рас четов той или иной гипотезы прочности, или, что то же самое, к выбору эквивалентного напряжения.
Рассмотрим более общий случай, когда напряженное состояние в опасной точке конструкции характеризуется Гауссовскими ста ционарными и стационарно связанными случайными процессами изменения во времени напряжений G x , а у и т, которые сущест венно различаются между собой как.по интенсивности воздействий (дисперсиям) и частотным характеристикам, так и по сложности структуры (рис. 5.18, а, б).
Вплощадке общего вида (рис. 5.18, в), расположение которой
всистеме координат (х, у, г) характеризуется направляющими
косинусами / = |
cos (х, |
v), |
т |
= cos {у, v) и |
п = |
cos (г, v), |
где |
v *— ось, перпендикулярная |
к |
рассматриваемой |
площадке, |
воз |
никают нормальные и |
касательные напряжения: |
|
|
av = a / 2 |
i- Oytri-г -f- 2тm l ; |
|
|
|
4 |
= (cr j + |
тxym |
f |
+ (Txyl 4 - G y t n f |
— av. |
|
Прочность определяется расчетным (эквивалентным) напряже нием, которое можно принять в следующем виде:
о = (2 — X) av + (Л, — 1) T v , |
(5.87) |
где к = (Гт/тт — при расчете статической прочности; к = |
0 _1/т_1 — при расчете |
усталостной долговечности. |
|
X
е У I
Рис. 5 . 18. Плоское напряженное состояние
Для идеально пластичного материала к — 2, а для идеально хрупкого X = I. В первом случае прочность материала определя ется только касательными напряжениями, а во втором — только нормальными напряжениями.
Вероятностные характеристики случайного процесса, описы ваемого соотношением (5.87), определяются по заданным вероят ностным характеристикам процессов ах, оуп х стандартными методами теории случайных процессов. Это позволяет описанными методами вычислить вероятность неразрушения для любой за данной площадки и любого момента времени. РасполЬжение опас ной площадки определяется из условия минимума статической прочности или минимума усталостной долговечности, являющихся функциями трех аргументов: /, т п п .
Рассмотрим случай, когда опасная площадка находится в пло скости, параллельной оси г. Расположение этой площадки оп ределяется одним параметром — углом а (рис. 5.18, б).
Нормальные и касательные напряжения в этой площадке
Та = q* 2 ° у sin 2а - f т cos 2а.
Расчетное напряжение в этой площадке в соответствии с со отношением (5.87)
о = Аох + Воу + Ст, |
(5.88) |
где
л |
2 — X , 2 — Я |
|
л . X — 1 . „ |
А ^ |
— 2------ |
1------ 2— |
C0S 2а |
------ 2— S1D 2 а ' |
В = |
2 — X |
2 — X |
|
0 |
X — 1 . . . |
— ^--------------- |
§ — c o s |
------------ |
2 — Sin 20 1 * |
С = (X — 1) c o s 2 а — |
( 2 — X) s i n 2 а . |
Таким образом, расчетное напряжение представляет собой сумму трех известных случайных процессов. Вероятностные свой ства этой суммы описаны в п. 25.
Следует отметить, что в эксперименте методами электротензо метрии определяются не сами напряжения ах, ау и т, а дефор мации в некоторых трех направлениях. Пусть при этом исполь зуется прямоугольная розетка тензодатчиков (рис. 5.18, г), которая позволяет получить три случайных процесса: ех, гу
и845.
Из соотношений обобщенного закона Гука следует, что
~ |
£ |
f~ fX,Sy)l |
(5.89) |
1 _ JJ2 |
^ = |
Г ^ 2 ( ^ |
+ Ивж); |
(5.90) |
т — 2(1+р)^2е46 |
8дс |
(5.91) |
|
Подставляя соотношения (5.89)—(5.91) в формулу (5.88), получаем расчетное напряжение как функцию заданных слу чайных процессов:
|
|
а = |
Л4ех + |
Bifiy + С4s45, |
|
(5.92) |
где Аг = Е |
{ |
A -J—B ^i |
|
|
|
В |
|
\ |
1 - ц а |
2(1 + |
р) |
|
I» |
2 ( 1 + р ) ) ; |
|
|
|
Ci = |
ЕС |
|
|
|
|
|
1+ ц* |
|
|
Опять имеет расчетное напряжение, представленное в виде суммы трех заданных случайных процессов.
Примем следующие обозначения для корреляционных и взаим но-корреляционных функций:
Кх(т)~процесса ех (t)\
/СДт)—процесса гу (t); /CV(T)—процесса s46 (t); Kxy(т)—процессов &х (t) и &у (f); Кху(г)~процессов е* (t) и в45 (*); Куу(х)—процессов еу (t) и s4&(t).
