Тогда корреляционная функция процесса а (t)
Ка(т) = А*КХ(т) + В\КУ(т) + |
С\КУ(т) + |
|
+ 2А1В1КХУ(г) + 2А1С1Кху(т) + |
2ВА ^ т(т). |
(5.93) |
Аналогично записывают корреляционные функции для про изводных процесса о (t). В этих соотношениях
А х = |
а + |
b cos 2а -f с sin 2а; |
Вх = а — с cos 2а 4~ b sin 2а; |
Ci — d cos 2а — е sin 2а, |
|
Е (2 — X ) . |
L |
F (3 — 2>ь) . |
Е |
г д е а - 2 (1 — jLt) ’ |
~ |
2(1 + |
ц) ’ |
2 ( l + | i ) ’ |
, |
£ ( Х - 1 ) . . |
Е (2 — X) |
|
|
14~ Р |
’ |
1■+■Iх |
|
Отсюда следует, что корреляционная функция (5.93), а следо вательно, и все расчетные соотношения для нахождения надеж ности и долговечности являются функциями одного аргумента — угла а. Исследование этих функций на экстремум определяет опасную площадку и расчетные значения надежности. В первом приближении можно считать, что расположение опасной площадки получают из условия максимума дисперсии расчетного напряже ния. При этом уголка определяется решением^ уравнения
А±АКХ(0) + |
В А К у (0) + СхСхКу (0) (AjBi + АХВ^) Кку(0) + |
+ (ЛА |
+ ЛА ) к ху (0) +■ (В А + В А ) Куу (0) = О, (5.94) |
где точками сверху обозначены производные по а.
Для случая синхронного и синфазного изменения всех трех измеряемых деформаций
Кху(0) = SxSy\ Кху = Куу = SySy\ Sa = ЛА, BxSy + CxSyt
где S — стандарты соответствующих процессов.
Из соотношения (5.94) следует, что в рассматриваемом случае дисперсия расчетного напряжения принимает экстремальное зна чение при угле, определяемом из уравнения
tg 2а = -&Sy— — cSx cSy — bSx~—dSy.
При X = 1 |
2Sy — Soc — Sy , |
tg 2а = |
|
Sg— Sx |
при X = 2 |
Sy -- Sx |
tg 2а =a |
8* |
Sx 4“ Sy — |
|
При детерминированном нагружении площадки с максималь ными нормальными и максимальными касательными напряже ниями определяются соотношениями:
|
tg 2а = |
Jk.V~_8iL- 8« ; |
(5.98) |
|
|
Ь ц |
|
|
tg 2а = |
&у— |
(5.99) |
|
6/у— 2бу |
|
|
|
Выражения (5.96) и (5.97) являются вероятностными аналогами выражений (5.98) и (5.99). Подставляя соотношение (5.95) в фор мулу (5.94), определяем максимальное значение дисперсии рас четного напряжения, а затем и надежность и долговечность кон струкции. Описанным методом были получены оценки надеж ности и долговечности элементов металлоконструкций ряда авто мобилей и тракторов при эксплуатационных и полигонных уско ренных испытаниях. Результаты этих исследований подробно описаны в работах [34, 351.
35. Расчетная оценка рассеяния усталостной долговечности
При расчетах статической прочности и усталостной долговеч ности до сих пор предполагалось, что прочностные характеристики материалов (о^, /л, ф) и характеристики случайных процессов нагруженности (я0, k, S), входящие в расчетные формулы, являются величинами детерминированными. Однако в действительности все они по ряду известных причин обладают различными по значи мости статистическими свойствами. Поэтому оценки статической прочности и усталостной долговечности также будут обладать статистическим рассеянием значений, которое необходимо оценить при расчете.
Рассмотрим задачу расчетной оценки рассеяния усталостной долговечности. При заданном совместном распределении всех параметров, входящих в формулы для расчета долговечности, рас пределение последней может быть в принципе построено по из вестным методам теории вероятностей, как распределение функ ции со случайными аргументами. Однако при реализации этого встречаются почти непреодолимые вычислительные трудности. Поэтому, в Частности, учет статистических свойств прочностных характеристик материалов и характеристик процессов нагруженности целесообразно реализовать раздельно. Помимо этого при учете статистических свойств прочностных характеристик материа лов следует иметь в виду, что наибольшим рассеянием значений обладает величина предела выносливости а_г. Она вносит наи больший вклад в рассеяние долговечности. Поэтому при расчетах в первом приближении целесообразно учитывать лишь статисти ческие свойства этой величины, а параметр наклона кривой
Рис. 5.19. Рассеяние усталостных кривых
усталости т и коэффициент ф, учитывающий средние значе ния циклов, считать величи нами детерминированными.
Пусть нагруженность неко торой детали описывается слу чайным Гауссовским процессом, имеющим стандарт S и эффек тивную частоту й0. Тогда, ис пользуя, например, схематиза цию процесса по превышениям, получаем для расчета усталост ной долговечности соотноше ние (5.43).
Выпишем из этого соотношения выражение, зависящее от слу
чайной величины а_!, |
*—1 |
|
|
(5.100) |
t = Р {*_1 - т + 2 } |
|
где х_% — CT_I /S; Р {х, п) — функция |
Пирсона. |
|
Будем считать, что кривая усталости описывается соотноше |
нием (5.1) с одной случайной |
величиной |
о_х. Различным по ве |
роятностям величинам а_х соответствуют различные кривые уста лости (5.19).
Задача расчетной оценки рассеяния усталостной долговечности сводится теперь к определению рассеяния функции (5.100), име ющей один случайный аргумент х_г. Прямое решение этой задачи классическими методами теории вероятностей затруднительно из-за сложности вычисления функции, обратной от Р \х, п\. Для решения поставленной задачи использовался метод стати стических испытаний Монте-Карло. Применяемая методика за ключалась в получении на ЭЦВМ по специальным программам набора аргументов х_г с заданным законом распределения, под счета соответствующих этим аргументам значений функции (5.100) и систематизации полученных данных по разрядам. Результаты таких испытаний для случая полунормированного нормального распределения предела выносливости со средним значением, равным единице, и различными стандартами S_! показаны в виде гистограмм распределения функции (5.100) на рис. 5.20—5.23. Число статистических испытаний было равным 2000.
Для аналитического представления результатов и дальнейшего проведения исследования целесообразно использовать статисти чески непротиворечащий полученным данным логарифмически-
нормальный закон |
распределения |
с |
плотностью |
вероятностей |
, / А |
1 |
Г |
<1п*-а)21 |
(5.101) |
fW= TtVbi еХРГ--- 2В5—)■> |
|
= 0,OS
= 1 , 0 4 8 7 ~ 1 , 1 2 7 4
Рис. 5.20. Плотность распределения функции долговечности при т = 3
где а и Ь параметры распределения, определяемые по известным двум первым моментам I и 22 по формулам:
а = 2 In I ----- |
1 - In ?2; |
52 = 1п 72 _ 2 In ?.
Целесообразность использования логарифмически-нормаль- ного закона распределения обусловлена также ярко выраженной
S.^0,03
____
0;4 0,6 0,8 1,0
IjOS,
5_т= 0 , 0 9
t - 1,0550
'SOfO t 1- ! ,' i"л
35 _
',150,075
ДГТ1
1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2
1,585 t 2-1,4327
- 9 , w
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ш |
- р , 0 8 5 |
|
0 , 3 |
O f 0 , 7 |
O f |
1 ,1 |
1 ,3 |
1 ,5 |
1 ,7 |
1 , 9 |
2 , 1 |
2 , 3 |
|
|
S - j = 0 ,t 1 |
0 ,8 1 ? |
0 . 8 1 2 |
|
|
|
t |
= |
1,132,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,5$ |
t 2- |
1,6194 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
|
|
|
|
О ,! 0 , 6 |
0 , 6 0 , 6 |
1 ,0 |
1 ,2 |
1 ,0 |
1 ,6 |
1 ,6 |
2 , 0 |
2 , 2 |
2 , 6 |
2 , 6 |
2 , 6 |
Рис. 5.21a Плотность |
распределения |
функции |
долговечности |
при м |
= 5 |
асимметрией распределения и соответствием этого закона извест ным экспериментальным данным о рассеянии усталостной долго вечности деталей. На рис. 5.20—5.23 сплошными линиями пока заны соответствующие выражению (5.101) графики плотностей распределения функции (5.100).
|
S_7 = 0,11 |
0,655 '■0,745,ОМ |
t = 1,2714 |
|
= 2,6387 |
0,066
0,1 0,3 0,5 o p 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3 2,5 2,7 2,9
Рис. 5.22. Плотность распределения функции долговечности при я* — 7
Поскольку полученные методом Монте-Карло результаты пока зывают, что двухпараметрический логарифмически-нормальный закон достаточно хорошо описывает расчетное распределение долговечности, то для получения дальнейших оценок ее рассеяния при других возможных параметрах распределения предела вы носливости можно ограничиться вычислением первых двух мо ментов искомого распределения. Используя известные формулы теории вероятностей для среднего значения функции (5.100) и для ее второго момента распределения (при нормальном законе
Рис. 5.23. |
Средние значения |
и стандарты распределений долговечности |
при |
N » — п |
= 1 |
fS i — стандарт |
распределения без |
учета рассеяния функции Р |
(л , |
я ) ] : |
|
|
|
|
|
|
а — e_t/S = 1 ; 6 — S_,/S = |
2: |
b — a_,/S — 3 ;----------------------- |
m =» 3 f |
|
m — Б; |
— |
----- m — 7 |
|
|
|
|
распределения a,! со средним значением, равным 6_lt и станда ртом S ^), получаем:
00
|
JгР {fez; m |
2} exp — |
( 2 - 1)а |
V 2nv_i |
2м2 |
k 2m |
I |
zgw |
|
( z - l ) a rfz, |
V 2nv„i |
|
2} |
|
|
P {fez; m + |
|
где z — а_х!а_г\ p = a_tIS; v_f = S_r/d_1.
Интегралы в этих соотношениях через известные табулирован ные функции не выражаются. Поэтому их вычисление было про ведено на ЭЦВМ. Подставляя полученные результаты в соотно шение (5.43), получаем оценки для среднего значения расчетной
долговечности Т и для стандарта распределения долговечности |
S T - |
Эти значения при N 0 = п = 1 представлены |
на рис. |
5.23 |
в виде графиков функций Т = (v_x) и S (v_x) для |
различных |
па |
раметров (х и т . На рис. 5.24 представлены графики изменения коэффициента вариации расчетной долговечности vr в зависимости от коэффициента вариации предела выносливости v^.
Сравним полученные-результаты со случаем, когда рассеянием значений функции Р {х, п\ пренебрегают. Задача сводится к ис следованию распределения функции у — хт. Плотность распре деления этой функции при сделанных выше предположениях
может быть записана в следующем виде: |
|
fw= W F a y('"">,"exp[ - Ji!T iE r1 ]- |
<5-102> |
Рис. 5.24. Зависимость коэффициента вариации долговечности от коэффициента вариации предела выносливости [А — без учета рассеяния функции Р (х, я)];
а — m = 3; б — т = 5; в — т — 7
Моменты этого |
распределения |
|
|
snm |
/ |
i |
У |
~ ( У " 2 ) пт |
i H n m \ j/"2S _i ) ’ |
где Н (х) — полиномы |
Эрмита; i = |
У — 1. |
|
Пренебрегая значениями v'_\ при п |
2, получаем следующие |
простые приближенные формулы для первых двух моментов и стандарта распределения (5.102):
0 = Ц“ ( 1 |
т(т — 1) |
2 \ . |
- S — v- * ) ’ |
у2 р2га [ 1. |
т (2т — |
1) vli]; |
S v = pm/nv_t.
Как показывает проверка, распределение (5.102) дает сущест венно меньшее рассеяние долговечности, чем это получается при учете рассеяния значений функции Р \х, п\.
При увеличении параметра р = o..t/S различие в статистиче ских характеристиках распределения долговечности с учетом и без учета рассеяния функции Р \х, п\ возрастает. На рис. 5.23 для
р— Здано сопоставление стандартов распределения долговечности,
ана рис. 5.24 — сопоставление коэффициентов вариации для этих
двух случаев. Важно отметить, что во втором случае коэффициент вариации не зависит от параметра р. Из приведенных данных видно, что различие в стандартах распределений долговечности может быть настолько значительным, что пренебрежение рассе янием функции Р {х, п\ станет недопустимым.
Рассмотрим пример. Пусть требуется произвести расчет долговечности и оценить ее рассеяние для элемента конструкции, нагруженность которого и его прочностные свойства характеризуются следующими данными: стандарт про
цесса S = 50 |
МПа, частота процесса |
п = |
2 |
Гц, параметры |
степенного урав |
нения кривой |
усталости JV0 = |
2-106; т = 3; |
o_i = 1 0 0 МПа; |
стандарт |
распре |
деления предела выносливости S_x = |
8 МПа |
(коэффициент |
вариации |
v_j |
= 0,08). |
|
|
|
|
■= 0,08 и параметра р. = |
2 опре |
По значениям коэффициента вариации |
|
деляем по рис. 5.23 значение |
Т « 4,2 |
и S T |
|
1,8 при N0 = |
п = |
1. С |
учетом |
действительных значений NQи п получаем среднее значение долговечности, рав |
ное 1165 ч, и стандарт распределения |
долговечности, равный |
500 |
ч. Эти дан |
ные позволяют теперь вычислить любой необходимый у-процентный ресурс. Другой причиной, обусловливающей наблюдаемое на практике рассеяние усталостной долговечности, является различие в интенсивности нагружения однотипных элементов конструкции, проявляющееся в особенностях эксплуа тации конкретного ее экземпляра. Различие в нагруженности проявляется
как в параметрах процессов |
на каждом из однотипных режимов работы, так и |
в долях времени работы |
на |
этих режимах. Рассеяние долговечности, обуслов |
ленное этими факторами, |
в отличие от рассеяния долговечности, обусловленного |
факторами рассеяния прочностных характеристик материалов, будем называть |
реализационным рассеянием.
Рассмотрим оценку рассеяния долговечности, обусловленную различием во времени работы на различных режимах эксплуатации.
Пусть нагруженность элемента конструкции характеризуется числом раз личных режимов п, долей времени работы на г-том режиме ai и расчетной долго вечностью на (-том режиме (при условии, что другие режимы отсутствуют) 7V Тогда расчетная долговечность будет
Если параметры at являются статистически независимыми нормально рас пределенными случайными величинами со средними значениями at и стандар тами St, то распределение долговечности Т может быть записано в следующем виде:
0 |
при Т ^ 0 |
|
f (Т) = |
1 |
при Т > 0* |
|
exp |
У"2hST*
где а
Г л а в а 6
Методические основы получения информации о случайных воздействиях
36. Общая характеристика проблемы
Практическая реализация методов теории случайных функ ций при анализе нагруженности элементов конструкций встречает ряд принципиальных и вычислительных трудностей. При этом ос новным является вопрос об адекватности выбранной для анализа математической модели случайного процесса реальным процессам нагружения. Несоответствие математической модели процесса ре альной нагруженности может привести к значительным ошибкам
ик дискредитации самих методов теории случайных функций.' Использование методов теории случайных функций для описа
ния и анализа нагруженности элементов конструкций было начато с использования модели простейшего импульсного потока стати стически независимых воздействий и модели Гауссовских стацио нарных случайных колебаний. Это позволило избежать на первом этапе исследований и этапе внедрения новых методов расчета чрезмерных вычислительных трудностей и в то же время выя вить все основные возможности и преимущества этих методов.
Импульсные потоки случайных воздействий могут быть пол ностью описаны распределением интенсивности импульсов и рас пределением интервалов времени между ними. Получение эмпири ческих рядов для этих распределений обычно не встречает боль ших трудностей, а подбор для них соответствующего теоретиче ского закона распределения сводится к применению обычных методов математической статистики.
Гауссовские процессы полностью описываются корреляционной функцией или функцией спектральной плотности. До сих пор предполагалось, что эти функции заданы точно. В действитель ности, поскольку обработке подвергаются лишь конечные реали зации изучаемых процессов, можно получить только статистиче ские оценки этих функций. При этом возникают вопросы о точ ности получаемых оценок самих этих функций и. вероятностных параметров процессов, с помощью которых производится оценка статической прочности и усталостной долговечности конструкций. К этим параметрам в первую очередь относятся число превышений
