книги / Расчет конструкций при случайных воздействиях

Возвратимся к соотношению (4.44) и введем в рассмотрение совместную плотность распределения произвольного числа экстре­ мумов и моментов времени их появления / (х0, т0, хк, Tfe).

Для вероятности обнаружить ситуацию, описанную соотно­ шением (4.44), получаем равенство:

Пусть в интервале времени (т0, т0 + Дт0) зафиксирован макси­ мум. Тогда вероятность события, что в интервалах времени (т2, + Дтх), ..., (xk, Tft + ' Ат*) будут обнаружены последующие

экстремумы,

— сх>

где f (х0/х0, хх, Т], ..., хк, Tft)— совместная плотность распределения экстрему­ мов и моментов времени их появления при условии, что в интервале времени (То, т0 -Ь Ат0) был зафиксирован максимум.

Для стационарных процессов из соотношений (4.50) и (4.51) следует, что

Интегрируя это соотношение по всем возможным значениям х0, хк и принимая т0 = 0, получаем следующее выражение для совместной плотности распределения моментов времени появ­

121

В частности, из соотношений (4.52) и (4.53) получаем важные формулы для определения плотности распределения двух экст­ ремумов и интервала времени между ними, а также для плотности распределения интервала времени между двумя экстремумами в стационарных случайных процессах:

за другом Экстремумов необходимо из соотношения (4.52) исклю­ чить моменты времени их появления и при этом включить в него предварительно условие появления в моменты времени тх, т2,

..., тй именно новых первых экстремумов. Точная формализация этого условия затруднительна. Приближенно ее можно выполнить следующим образом.

Пусть /о (лг0/0, xv rlf ..., Xh, Tft) — совместная плотность рас­ пределения произвольного числа следующих друг за другом

числа следующих друг за другом экстремумов при условии, что они появились в моменты времени т0, xh; р (xlt ..., xh) — со­ вместная плотность распределения моментов времени появления первых новых экстремумов. Тогда на основании свойств условных вероятностей можно записать

fo (xjO, xlt тъ . . . , xh, rh) = po (xQ/x0, . . . , x j x h) p (T, , . . . , r fe). (4.56)

Для малых интервалов времени между экстремумами, когда каждый обнаруженный экстремум можно считать новым, можно положить, что

Последняя плотность определяется соотношением (4.52) при подстановке в него заданных значений Tlt ..., тк. Для больших интервалов времени между экстремумами, когда каждый следу­ ющий экстремум можно считать статистически независимым от предыдущего, можно допустить

122

деления вероятностей события, заключающегося в том, что если

а в интервалах времени (0 — тг), (т2 — тх), ..., (xfe — х ^ х) экстре­ мумов не будет. На основании свойств условных вероятностей

При k — 1 получаем следующее соотношение для определения плотности распределения вероятности времени появления пер­ вого нового экстремума (или в общем случае первого нового события):

Аналогично записывается любая другая степень прибли­ жения.

123

Для малых интервалов времени между экстремумами, когда вероятность появления в этих интервалах числа экстремумов более одного мала, можно принять

можно приближенно принять, что плотность распределения ин­ тервалов времени между двумя соседними экстремумами в некото­ ром интервале (0 — т*) определяется соотношением (4.61), а в ин­ тервале (т* — оо) — экспонентой а ехр (—(5т).

Три неизвестных параметра этого распределения определяются из условий непрерывности, нормирования и равенства среднего значения интервала времени между двумя соседними экстрему­ мами, которое может быть вычислено как по конструируемой плотности распределения, так и по точным формулам, следующим из соотношений (4.46) и (4.47).

Эти условия приводят к уравнениям:

где т — среднее значение интервала времени между двумя соседними экстре­ мумами: пэ = п+ + п_ — среднее число экстремумов в единицу времени.

Для плотности распределения моментов времени появления произвольного числа следующих друг за другом экстремумов при

124

малых интервалах времени между ними получаем соотношение

При больших интервалах времени между экстремумами / (rlt

.... Тй.) -> const, что следует из соотношения (4.53). При этом реше­ ние уравнения (4.65) подчиняется /г-мерному экспоненциальному закону. Таким образом, для плотности распределения моментов времени появления новых первых экстремумов получаем следу­

Параметры т^ , ..., xhit., а и р определяются из уравнений типа (4.62)—(4.64). Соотношения (4.56)—(4.58) и (4.65) полностью ре­ шают задачу о нахождении совместного распределения произ­ вольного числа следующих друг за другом экстремумов и моментов времени их появления. Исключая из этого распределения моменты времени появления экстремумов, получаем соотношение для совместной плотности распределения произвольного числа сле­ дующих друг за другом экстремумов:

т, Ч

Отсюда для плотности распределения приращения случайного процесса между г-м и /-м экстремумами получаем

В частности, для плотности распределения приращения про­ цесса между двумя соседними экстремумами (для размаха) имеем

ОО оо /ос

где p (x) — плотность распределения интервалов времени между двумя сосед­ ними экстремумами; р0 (х0/0, хг/х) — совместная плотность распределения двух

125

В заключение отметим, что поскольку экстремумы случайных процессов соответствуют нулям его первой производной, то для определения среднего числа нулей в единицу времени и для рас­ пределения интервалов времени между нулями согласно соотно­

f ( 0, х0, т0........0 , Xk, тд)— совместная плотность распределения процесса и его первой£производной для k моментов времени.

21. Число превышений случайным процессом произвольного уровня

Важной характеристикой случайного процесса является число превышений произвольного уровня в заданное время (на рис. 4.2 показано три таких превышения). Определение этого числа све­ дем к вычислению числа нулей функции, представляющей собой разность значений процесса и уровня. Будем ограничиваться двумя первыми моментами этого распределения — средним зна­ чением п (xlt) и дисперсией./) \п (.xlt)\. Функционал для опреде­ ления числа нулей произвольной функции ф (*) за время t можно

Справедливость формулы (4.69) вытекает из свойств 6-функ­ ции. Перепишем это соотношение в следующем виде:

"оd)btt

яо (0 = f б (ф) 4ф = 2 j 6(ф)^ф.

/=1 о

где Д*1— интервалы времени, в которых функция Ф (0 имеет один нуль.

126

В силу приведенных соотношений формула (4.69) действительно определяет искомое число нулей произвольной функции <р (t) за время I. Если функция ф (t) случайная, то для получения вероятностных характеристик п0 (t) следует ввести соответству­ ющие плотности распределения и выполнить усреднения. Так, если через / (ф, ф, t) обозначить совместную плотность распределе­ ния функции <р (t) и ее производной в совпадающие моменты вре­ мени, то для определения среднего числа ее нулей усреднением по ф и ф получаем

Если случайная функция ф (0 стационарна, то соответству­ ющие плотности распределения, входящие в формулы (4.70) и (4.71), не зависят от времени. Для этого случая из соотношения (4.70) получаем следующую формулу для определения среднего числа превышений процессом х (t) уровня х в единицу времени:

00

Формула (4.72) при х = 0 дает среднее число превышений процессом нагружения нулевого уровня или эффективную ча­ стоту процесса. Эта формула позволяет также вычислить среднюю длительность выбросов и средний интервал между ними на неко­ тором произвольном уровне х0.

где F (х) — одномерная интегральная функция распределения случайного процесса х (t), то суммарное время пребывания реа­ лизации этого процесса над уровнем х0 за время t будет

t (1 - F (*„)).

127

сов) за это время, т. е. равно h (х0) t. Отсюда следует, что среднее

Аналогично получается следующее соотношение для определе­ ния интервала времени между превышениями (выбросами) на

уровне х0

т_ (х0) = F (х0)/п (*0).

При х0 = О, F (*0) = 1/2 получаем средний интервал времени между нулями

х= 1/[2п (0)].

Взаключение отметим, что формула (4.70) позволяет вычислить среднее число превышений за переменный уровень, обладающий вероятностными свойствами. В этом случае плотность f (0, ф, /)

должна определяться с учетом особенностей уровня х0 (/).

22. Распределение значений случайных процессов, соответствующих точкам перегиба

Распределение значений случайного процесса, соответству­ ющих его точкам перегиба, в которых вторая производная равна нулю, представляет интерес при расчетах усталостной долговеч­ ности в связи с возможностью в ряде случаев отождествлять его с распределением средних значений циклов нагружения.

Заметим, что для случайного процесса х (/) вероятность со­ бытия

Вероятность обнаружить в интервале времени Ат точку пере­ гиба произвольной величины

Р \ — оо < * < оо, Ах < х < Ах, — ОО< * < 0 0 } =

оо

= Ат j */(0, х, %)dx,

128

ления абсолютного максимума сводится к построению совместной функции распределения произвольного числа следующих друг за другом максимумов и функции распределения числа нагруже­ ний в заданное время. Однако обе эти задачи не имеют до настоя­ щего времени точного эффективного решения. Заметим, что для случая независимых воздействий соотношение (4.79) приводит к формуле (4.1) и к соответствующим этой формуле выводам, полученным в п. 18.

Влияние корреляции между нагружениями на распределение абсолютного максимума рассмотрим на следующем примере. Пусть процесс нагружения состоит из двух воздействий хх и х2,

130