книги / Расчет конструкций при случайных воздействиях

Первый случай колебаний такой системы можно описать уравнением

Р (/) — стационарный случайный процесс со средним значением, равным нулю. Решение уравнения (1.77) при нулевых начальных условиях можно запи­

сать в следующем виде:

где к (t) — импульсная переходная функция.

Первый интеграл в этом уравнении представляет собой решение, соответ­ ствующее установившемуся (стационарному) режиму колебаний. Обозначим это решение через х0 (t). Второй интеграл определяет реакцию системы при t > 0 на возмущения, действовавшие при t ^ 0 , т. е. соответствует решению однородного уравнения при начальных условиях, являющихся случайными значениями про­

где ф — случайная фаза, которая считается равномерно распределенной в интер­ вале (0—2я).

Введение в решение случайной фазы ф значительно облегчает дальнейший анализ процесса, описанного соотношением (1.79).

Второй из рассматриваемых случаев нагружения можно выразить суммой

где х0 — начальная скорость движения механической системы, обусловленная действием случайной импульсной силы.

Соотношения (1.81) и (1.82) позволяют вычислить все моменты распределе­ ния процессов х (t) и его первых двух производных.

31

Выражения (1.83)—(1.94) можно значительно упростить, усреднив по ансамблю возможных реализаций суммы (1.80) и разности (1.78).

Рассмотрим усреднение соотношений (1.89)—(1.93). Для этого необходимо провести усреднение содержащихся в них выражений:

sin2 (co(+cp), cosa (<o£+<jp), sin (at + ф) cos (со? + cp).

Для первых двух средние значения получаем равными 1/2, для третьего — нулю.

32

и 1.9 показаны графики функций (1.89), (1.90), (1.95) и (1.96). При построении графиков принято: п = 0 ,1 а; х2а “2= 2 К (0); К (0) = —а 2/С (0), К (0) = 1 .

Аналогично можно усреднить выражения (1.83)—(1.88), для этого необхо­ димо иметь аналитическое выражение для корреляционной функции. Если, например, на вход линейной системы действует «белый шум» (его спектральная

Подставляя это соотношение, например, в уравнения (1.83) и (1.84) и исполь­

При малых п

Аналогично можно провести вычисления^ и для случаев, когда на упругую систему действует произвольный случайный процесс.

Пример 5. Требуется описать переходный режим случайных колебаний в ли­ нейной системе с конечным числом степеней свободы при случайных стационар­ ных воздействиях.

где gj (t) — решение уравнения L {g;} = 0 при начальных условиях, соответ­ ствующих равенству единице производной /-го порядка и равенству нулю про­ изводных всех других порядков.

Среднее значение функции х (t)

га-1

<*(0> = .< s(f)> -£ <s(/)(o)>s>(0 = (0>[i

1—0

так как математическое ожидание любой производной стационарного случай­

34

требуется построить совместные плотности распределений процесса и его первой производной, первой и второй производной, а также процесса и его первых Двух производных.

Используя соотношения (1.18)—(1.21) вычисляем взаимную корреляцион­ ную функцию процесса и его первых двух производных, а также корреляционные

Матрицы моментов совместного распределения процесса х (t) и его первой производной х (t), а также моментов распределения первой и второй производ­ ных этого процесса для совпадающих моментов времени получаем следующими:

Распределение процесса х (t) и его первых двух производных в совпадающие моменты времени имеет следующую матрицу моментов:

1 0 - 2а*

2*

Г л а в а 2

Определение вероятностных характеристик реакции системы при случайных воздействиях

8. Случайные нестационарные колебания систем при импульсном нагружении

Рассмотрим задачу об определении реакции механической системы на импульсное нагружение. Примером такой системы мо­ жет служить мачта при действии на нее случайной по величине и направлению ударной ветровой нагрузки (рис. 2.1). Расчетная схема мачты представляет собой многомассовую систему с п сте­ пенями свободы. Необходимо определить максимально возможные отклонения масс от вертикального положения, вероятность удара конструкции об ограничители, а также максимально возможные нагрузки и напряжения.

Колебания механической системы после удара опишем урав­ нением

где М '— диагональная матрица масс т ц В — матрица коэффициентов демпфи* роваиия btji С — матрица жесткостей системы сц .

Уравнение (2.1) запишем в виде системы двух уравнений первого порядка

Х\-|- Л4“ЧЗ#1 -f- М"1СХа т 0; ire — » 0

где г 0 = г (0) — вектор начальных данных; «j. (0) = х (0); г 2 (0) = 0 ; К (0 —

фундаментальная матрица решений, которая удовлетворяет матричному диф­ ференциальному уравнению

К + АК = 0, КЩ = Е,

35

деляют по заданным значениям им­ пульсов сил J t. Пусть эти импульсы

связаны соотношением

Из соотношений (2.3)—(2.5) следует, что математическое ожи­ дание вектора состояния системы 2

Дисперсии компонент вектора состояния системы и взаимно корреляционные функции вектора состояния равны

к к

Ppflv p . (2.8)

mem4 Jl’

(1=1 v=l

кк

р=1 v=l

Чтобы воспользоваться соотношениями (2.7)—-(2.9), необходима статистическая информация о действующих импульсах сил. Це-

37

f.

лесообразно считать, что их величины следуют закону распреде­ ления модуля нормально распределенной случайной величины, т. е. плотность распределения импульсов можно_представить в^виде

(2. 10)

где rtij. и <Т/г — математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение

Рассмотрим теперь случай нагружения системы, когда парал­ лельные между собой импульсы J t имеют случайные направления

в плоскости, перпендикулярной к плоскости чертежа (рис. 2.3). Аналогично предыдущему случаю можно считать, что условие (2.4) выполняется.

Когда каждая масса имеет две степени свободы (смещение по осям x t и х а), тогда в отличие от рассмотренного частного случая система уравнений (2.2) имеет размерность Ап. После прекращения

действия импульсов каждая масса начнет двигаться со скоростью

где ац и ai2 определяют так, как это показано ниже.

38

Если использовать уравнение (2.12) для получения вероятноустных характеристик решения уравнений движения, то необхо­ димо иметь информацию о случайном угле а, т. е. знать закон распределения угла а. Если он известен (например, угол а подчи­ няется в интервале 0 с а « 2л закону равномерного распреде­ ления), то можно определить все вероятностные характеристики Z,-. Однако при таком варианте решения нельзя ответить на вопрос о наихудшем воздействии импульсов J ( на систему.

Рассмотрим метод решения уравнений движения (2.2) с опреде­ лением максимальных значений компонент вектора состояния си­ стемы в произвольный момент времени и их вероятностных харак­ теристик. Излагаемый метод не требует знания законов распре­ деления случайного угла а, что существенно упрощает получение статистической информации о входе, т. е. достаточно знать закон распределения (2.10) модуля вектора импульса. Для вектора г имеем:

•

В скалярной форме из уравнения (2.13) имеем:

Zi = ап (t) J 1Ж -f- at<2 (t) J u ,,

где

=l)i

где a i = a[xt x+ ew*3; J x = J ]xi y+ J i x t3.

Из уравнений (2.15) видно, что проекции импульса Jг удовлет­ воряют условию

которое можно представить в виде

39

Найдем выражения для максимальных значений компонент при дополнительном условии (2.14).

Введем в рассмотрение множитель Лагранжа X и вычислим максимум выражения

ностные характеристики максимальных значений компонент век­

mJv aJ\ — параметры нормального закона распределения.

40