книги / Расчет конструкций при случайных воздействиях

На основании соотношения (4.3) для случайной величины k — = tit + по У t/is имеем

Отсюда

Таким образом, соотношение (4.16) доказано. Теперь в фор­ муле (4.1) может быть использована оценка

Точность этой оценки определяется дисперсией числа нагру­ жений

Дальнейшее упрощение вычислений заключается в применении асимптотических оценок непосредственно к соотношению (4.1) при п оо. Введем в рассмотрение случайную величину

I = п {1 — F (х)}.

Тогда

F(х) — 1 — |/н,

ифункция распределения абсолютного максимума (4.1) прини­ мает вид

^+(x) = lim (l - - | ) Я= е-£ =-ехр(— п {1—F (x)}).

111

На рис. 4.3 представлены графи­ ки функций (4.19) при К = 1. Среднее значение абсолютного мак­ симума

адисперсия

19.Анализ процесса накопления повреждений при потоке статистически независимых воздействий

Процессы нагружения сопровождаются накоплением в эле­ ментах конструкций различных повреждений, что в конечном счете предопределяет их долговечность. Величина повреждений зависит не только от интенсивности и количества нагружений, но и от качества (потенциальных возможностей) материалов, из которых изготовлены сами элементы конструкций. Повреждения здесь будем трактовать только как усталостные, которые зависят от уровня напряжений и прочностных характеристик материалов. Полученные результаты могут быть использованы и“при анализе накопления повреждений других видов.

Пусть поток статистически независимых воздействий x-t со­ провождается накоплением повреждений vt (см. рис. 4.1, г).

112

Тогда накопленное повреждение к некоторому моменту времени t при условии, что к этому моменту произошло п нагружений,

где Vj — повреждение, вызванное нагрузкой х{.

Найдем вероятностные характеристики суммы повреждений, определяемых по формуле (4.20). Плотность распределения ин­ тервала времени между нагружениями обозначим <р (0, а плот­ ность распределения единичного повреждения — g (v). Преобра­ зования Лапласа этих плотностей, определяемые соотношениями типа (1.9), обозначим ср* (s) и *g (р) соответственно. Введем также в рассмотрение плотность распределения суммы повреждений (4.20) / (vt) и ее преобразование по Лапласу *1 (р).

Если за время t произошло п нагружений, то условное распре­ деление величины v* при условии, что п — г, определяется соотно­

шением

*l{p/n=^r) = \*g(p)Y,

Так как за время t могло произойти любое число нагружений, каждое с вероятностью Р (г), то безусловная функция распре­ деления суммы повреждений (4.20) в преобразовании по Лапласу

Используя в соотношении (4.21) формулу (4.5), получаем

*t(p) = 1 + s ф л о \*g(p) - ч т / о к - 1- г=1

Найдем преобразование Лапласа этого соотношения:

В последнем равенстве использовано свойство суммы убыва­ ющей геометрической прогрессии.

Непосредственное использование соотношения (4.22) затруд­ нительно. Воспользуемся им для вычисления моментов распре­ деления суммы (4.20). Заметим, что г-е моменты распределения некоторой случайной величины х (например, единичного повре­ ждения за одно нагружение х = v) определяются по коэффициен­ там в разложении Тейлора преобразования Лапласа плотности распределения этой величины.

113

г=О

Таким образом, коэффициенты при (—p)r/rl в разложении Тейлора преобразования Лапласа плотности распределения слу­ чайной величины х являются моментами порядка г этой величины.

Так как

Аналогично могут быть вычислены и моменты более высокого порядка.

Можно показать, что распределение накопленного поврежде­ ния асимптотически нормально. Поэтому для наиболее важного

114

для практики случая большого числа нагружений соотношения (4.26) и (4.28) полностью решают поставленную задачу. Для этого случая, используя соотношения (4.17) и (4.18), получаем

Коэффициент вариации распределения накопленного к моменту времени t повреждения

8*<= Ут <а? + «9*

где 6( и 6V— коэффициенты вариации распределений интервалов времени между

нагружениями и распределений повреждений за одно нагружение.

Важно отметить, что avt оо, 8vt ->■ 0 при t оо.

Обратной к рассмотренной выше задаче является задача по определению вероятностных характеристик времени Г, при кото­ ром сумма повреждений достигает заданного уровня. Для опре­ деленности принимаем этот уровень, равным единице, полагая, что при накоплении повреждения этого уровня произойдет раз­ рушение конструкции. Определяемое при этом время Т будем называть ресурсом (или долговечностью) этой конструкции.

Обозначим q (Т , v) плотность распределения времени Т (при величине повреждения v). Тогда можно записать следующее равенство:

ооv*

*l* (P, s).

Вычислим также преобразование Лапласа от равенства (4.31):

115

В качестве примера применения формулы (4.33) рассмотрим случай, когда плотности распределения времени между нагруже­ ниями и единичного повреждения подчиняются показательным распределениям с параметрами р и X соответственно. Пусть

Ф ( 0 = Р е х Р (— РО ; g (v) = Л, e x p (— Щ .

Тогда соответствующие преобразования Лапласа будут иметь вид

Формула (4.33) принимает при этом вид

т - О

Величина Хт+Ч(р + 'к)т+] является преобразованием Лапласа выражения е—:к<к'п+11т\. Следовательно,

где q (Т, 1) — плотность распределения времени, при котором сумма накоп­ ленных повреждений достигает единицы; / 0 (х) — функция Бесселя мнимого

аргумента нулевого порядка.

В общем случае непосредственное использование формулы (4.33) связано с большими вычислительными трудностями. По­ этому остановимся на вычислении моментов времени Т. Используя формулы (4.23) и (4.24) в разложении соотношения (4.33) в ряд Тейлора, получаем следующие выражения для определения пер­ вых двух моментов распределения долговечности Т в форме пре­ образования их по Лапласу:

Аналогично могут быть вычислены и другие моменты распре­ деления долговечности.

116

V

Рис. 4.4. Процессы накопления повреждений:

Используя в формуле (4.34) соотношение (4.15) с плотностью

Значительный интерес представляет выяснение закона распре­ деления долговечности. Получим асимптотическую (при большом числе нагружений) оценку этого закона.

Заметим, что при линейном накоплении повреждений величину последнего можно представить линейной функцией времени (рис. 4.4)

vt = kt,

где ft — случайный параметр.

Величина повреждения vt асимптотически нормальна со сред­ ним значением и дисперсией, определяемыми по формулам (4.26) и (4.28). Поэтому параметр k также распределен по нормальному закону.

Зафиксируем предельный уровень vr = 1. Приходим к выводу, что долговечность есть следующая функция случайного аргу­ мента k :

Т = Ilk.

Распределение величины Т значительно отличается от нор­ мального и определяется следующей плотностью распределения (см. рис. 4.4, б):

где й и ст| — среднее значение и дисперсия величины ft.

117

Из соотношения (4.38) следует, что

k — v/F;

Таким образом, асимптотическое распределение долговечности не является нормальным, но полностью определяется двумя пер-

. выми моментами интервалов времени между нагружениями и двумя первыми моментами повреждения за одно нагружение.

По распределению (4.38) определяем среднее значение и дис­

■чг

Важно отметить, что при Т -> с» среднее значение и дисперсия распределения долговечности стремятся к бесконечности, а коэф­ фициент вариации этого распределения стремится к нулю.

Соотношения (4.39)—(4.41) могут быть также получены из следующих простых рассуждений. Долговечность есть сумма такого количества интервалов времени между нагружениями п (1), при котором накопленное повреждение достигает предельного уровня:

Среднее значение этой суммы определяют по формулам (4.36), (4.37) и (4.39). Дисперсию долговечности вычислим как сумму дисперсий соотношения (4.42), получаемых при фиксированном значении числа циклов нагружения п (1) — п (1) и фиксированных значениях интервалов времени между нагружениями tt = F (F = 1. 2, ..., п (1)):

Дисперсия <т„ (1>приближенно определяется по формуле (4.18) при t — Т. Полагая, что за одно нагружение исчерпывается ре­ сурс t = Tv, получаем

Подставляя эти значения дисперсий в формулу (4.43), возвра­ щаемся к соотношению (4.40).

118

. 20. Экстремумы в процессах случайных колебаний

Как уже отмечалось, расчеты на прочность при слу­ чайных колебаниях основаны на знании законов распределения экстремумов. Наиболее общей характеристикой их распределения является распределение произвольного числа следующих друг за другом экстремумов. Частными характеристиками будут рас­ пределения максимумов, “минимумов, совместное распределение двух соседних экстремумов и т. п. Задача отыскания совместного распределения произвольного числа следующих друг за другом экстремумов относится к наиболее трудным задачам теории слу­ чайных функций, которые до настоящего времени не имеют точ­ ного эффективного решения. Покажем возможность приближен­

интервале времени (т2, т2 + Дт2) обнаружится максимум в интер­ вале значений (х2 — Ах2, *2) и так далее и, наконец, в малом ин­ тервале времени (тк, тА+ Атк) обнаружится минимум в интервале значений (xh, xh -|- Axh). Эта вероятность

В частности, вероятность обнаружить в произвольно выбран ном интервале времени Дт максимум в интервале значений Ах

х—Д* —Ах О

X

X 0 —0°

О

X f(x, х, х, %) dxdxdx = Ах Ат

119

Вероятность обнаружить в интервале времени Ат максимум произвольной величины

оо О

Р \ — о о < х < о о , — Ах < х < 0, х < 0 } = Ат J J х X

— ОО—00

и

X f(x, 0,х, x)dxdx = Ат J xf(0,x,x)dx,

где f (0 , х, т) — совместная плотность распределения первой и второй произ­

водных процесса х (t) в момент времени t = т.

Полагая, что в малом интервале времени Ат можно обнаружить не более одного максимума, получаем следующее соотношение для определения среднего числа максимумов за время t\

t о

Для стационарных процессов среднее Число максимумов в еди­ ницу времени

Среднее число минимумов в единицу времени для таких про­ цессов

Введем в рассмотрение плотность распределения максимумов

/+ (х).

Замечая, что вероятность обнаружить максимум в области (Ах, Ат) равна произведению вероятностей обнаружить максиму в интервале значений Ах и в интервале времени Ат, получаем

Аналогично записывают выражения для плотности распреде­ ления минимумов.

120