книги / Теория и расчет электронных пучков
..pdfона будет равна нулю везде, где магнитное поле отсутст вует. Таким образом, угловая скорость будет равна нулю справа от -магнитного поля, и траектории пересечет ось в некоторой точке Ь.
6.2.ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ПАРАКСИАЛЬНОГО ЛУЧА
Рассмотрим аксиально-симметричное поле. Из 4.8 по лучаем уравнение для силы в направлении г
Fr— tn(r — г О2). |
(4.8) |
Здесь радиальные силы порождаются продольным магнит ным полем Bz и радиальным электрическим градиентом.
Находим теперь
г ~ г Ь 2 = ч \^ -\- -цг'ьв^ |
(6. 2) |
Мы имеем, к тому же, теорему Буша, которая в прибли зительной форме (в предположении постоянства магнит ного поля возле оси) гласит
б= - т ( в , - в , . 4 ) - |
<4-25> |
В точке, где Bz = Bz0, r = r0. Пусть Bzd= 0, так что
везде, где Bz = 0, 0 = 0; другими словами, пусть элек
троны входят в магнитное поле без угловой скорости. Тогда
» = - т в *- |
(6-3) |
Используя это условие вместе с (6.2), получим
г |
dU , -4^1 |
r = 0. |
(6.4) |
|
^IF + ~ |
|
|
Вспомним наше предположение, что Bz на траектории (возле оси) то же самое, что и Bz на оси.
Разлагая потенциал вблизи оси в степенной ряд, мы получили в гл. 1, пренебрегая членами высшего порядка,
U ( г , r) = U - j U " r * . |
(1.14) |
82
Здесь штрихи обозначают дифференцирование по г. Диф ференцируем по г
(S-S)
чтобы получить ~ в (6.4). Далее, заменим дифференци
рование |
г по t |
дифференцированием по z |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
• |
//у |
• |
|
|
|
(6.6) |
|
|
|
|
|
|
r = r’ -jt = r’z, |
|
|
|
||||
Теперь |
|
|
|
r = |
r" z2-\-r' z. |
|
|
|
(6.7) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
г2 -\~z2 — 2i\U (г, z). |
|
|
|
(6. 8) |
|||
Если |
U |
при г |
взято равным U на оси и если |
г < г, то |
||||||||
можно |
написать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и, конечно, |
|
|
|
г2 = |
2тiU |
|
|
|
(6.9) |
|||
|
|
|
z = |
r[U'. |
|
|
|
( 6 . 10) |
||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
r = 2f\Ur" -f 4\U'r'. |
|
|
|
(6 . 11) |
|||
Используя (6.11) |
и (6.5) |
вместе |
с (6.4), |
получим |
|
|
||||||
|
|
|
„ |
I |
Uf . |
, (U" |
. ^ 1 ) |
: 0. |
Я |
/ |
(/6 . 12) J |
|
|
|
|
Г |
|
2U Г |
\4д“ |
U/ аЫ |
|
||||
Это — уравнение электронной |
траектории, |
очень |
близкой |
|||||||||
к оси, |
образующей |
с осью весьма малые |
углы, |
выражен |
||||||||
ное через электрический потенциал U и магнитное |
поле |
|||||||||||
Вг на оси. Его |
можно рассматривать |
как |
уравнение для |
|||||||||
потенциала на оси, если г и В2 известны как функции от z (Bz может отсутствовать).
Интересно интерпретировать (6.12) физически. Левый член г" относится, конечно,к кривизне траектории. Член, включающий г, представляет изменения в направлении движения (г') вследствие действия радиальных сил. Зай мемся последним членом. Пусть Bz и U" равны нулю,
так что радиальные силы отсутствуют. Почему траекто рия все же искривлена? Радиальная скорость постоянна, но продольный градиент обусловливает изменение про дольной скорости и, следовательно, кривизну траектории.
6* |
83 |
6.3. |
ПРИРОДА РЕШЕНИЙ |
Мы видим, что |
(6.12) — линейное дифференциальное |
уравнение 2-го порядка относительно г. Общее решение такого уравнения должно иметь две произвольные посто янные. Другими словами, два граничных условия опреде
ляют единственное частное решение. Пусть, |
например, |
|||||||||||||||
мы задали |
начальные |
значения |
г и г'. Исходя из этого, |
|||||||||||||
мы можем |
подсчитать |
величины г и гг на расстоянии dz |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
г |
dr = |
г + |
r’dz, |
|
|
|
|
|
(6.13) |
||
|
|
|
|
|
г1 |
dr' =■ r! |
r"dz. |
|
|
|
|
|
(6.14) |
|||
г" в (6.14) может быть получено из |
(6.12) |
в выражении |
||||||||||||||
через |
г и г\ |
Из |
(6.13) |
и |
(6.14) мы |
теперь |
имеем новые |
|||||||||
величины радиуса и наклона при z-\-dz |
|
и можем, в свою |
||||||||||||||
очередь, найти величины их в некоторой |
следующей |
|||||||||||||||
точке. |
|
|
|
r2(z)— два решения (6.12); |
как |
они |
по |
|||||||||
Пусть гх(г) и |
|
|||||||||||||||
лучены — не имеет |
|
значения. Допустим, что при г = 0, |
г = |
|||||||||||||
= г0 |
и rr= r Q. Возьмем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
г = |
Аг](г) + |
Вг2(г), |
|
|
|
|
(6.15) |
||||
где А и Б — постоянные. |
Мы видим, |
что эта |
сумма |
так |
||||||||||||
же является решением (6.12). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Если граничные |
условия должны быть удовлетворены |
|||||||||||||||
в (6.15), то |
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
г0 = |
Лг1(0) + |
Вг2(0)> |
|
|
|
|
(6.16) |
||||
|
|
|
|
г; = |
лг; ( 0 ) + бг; ( 0). |
|
|
|
|
(6.i7) |
||||||
Можно решить (6.16) и (6.17) относительно |
Л и В в |
|||||||||||||||
выражении |
через |
гх(0), |
г '(0), |
г2{0), г2(0) |
и |
через |
опреде |
|||||||||
ленные граничные |
|
величины |
г0 |
и г0. Таким |
образом, |
при |
||||||||||
соответствующем выборе А и В в (6.15) |
это |
решение |
||||||||||||||
(6.12) |
сможет |
представить |
траекторию |
электрона, входя |
||||||||||||
щего при произвольном радиусе г0 |
и |
произвольном |
на |
|||||||||||||
клоне |
г ’ при |
2 = |
|
0. Другими |
словами, |
о б ще е |
р е ш е |
|||||||||
ние |
у р а в н е н и я |
п а р а к с и а л ь н о г о |
л у ч а |
мо |
||||||||||||
ж е т б ыт ь п о л у ч е н о с у м м и р о в а н и е м л юб ых д в у х ч а с т н ы х ре ше ний .
84
6.4. ПОЛЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В КАЧЕСТВЕ ЛИНЗ
Нас наиболее часто интересуют поля ограниченной протяженности вдоль оси г. В этом случае обычно выра жают основные свойства поля посредством двух очень простых и полезных решений. Представим себе, что все электрические и магнитные поля лежат между z x и z2 на рис. 6.4. Тогда для z< ^ z x и z^>z2 г (г) будет выражать-
Рис. 6.4. Главные плоскости |
/ и I I и фокусные |
расстояния и поля линзы. |
|
ся прямой линией. Рассмотрим |
две особые электронные |
траектории (решения уравнения параксиального луча): од
ну а — а'(или |
га (г), |
которая параллельна |
оси г и лежит |
|||||
на расстоянии |
единицы от |
нее при г < г ь |
и другую Ь — |
|||||
—Ь' [или rb (z)], параллель |
|
|
||||||
ную оси |
и |
проходящую |
|
|
||||
на |
расстоянии |
единицы |
|
|
||||
от |
нее |
при |
z > 22. |
Обе |
|
|
||
траектории показаны |
пе |
|
|
|||||
ресекающими |
|
ось в |
А и |
I*----------------L,------------ |
|
|||
а. |
Ниже |
будет показано, |
рис. gg^ Фокусирование электронных |
|||||
что |
ЭТО |
верно |
И |
что |
все |
траекторий электронной линзой, |
||
поля между |
свободными |
|
|
|||||
от поля областями обладают собирательным действием. Прямолинейные участки траекторий а — а1 и b — продолжены пунктирными линиями, которые пересекают
ся в плоскости |
II для траектории |
а — а1 и в плоскости I |
|
для b — b\ Расположение этих |
главных плоскостей I и II |
||
и ф о к у с н ы х |
р а с с т о я н и й |
(fj |
между b и плоскостью I |
и f2 между а' |
и плоскостью |
II) |
определяют электронно |
оптические свойства наших двух решений.
Чтобы показать применение главных плоскостей и фо кальных расстояний fi и /2, рассмотрим случай, показан ный на рис. 6.5, когда электроны пересекают ось на рас стоянии Lx слева от главной плоскости /, проходят поле
65
и пересекают ось снова на расстоянии Z2 справа от глав ной плоскости II. Частное решение уравнения приосевого пучка для этой траектории должно быть линейной ком бинацией частных решений рис. 6.4, Ara(z) и Brb(z). Со
ответственно, слева от поля, на расстоянии |
Lx от плоско |
|
сти /, |
где г — 0, должно быть |
|
|
г |
(6.18) |
откуда |
следует |
|
|
|
(6.19) |
Рис. 6.6. Диаграмма, используемая для оценки
увеличения электронной |
линзы. |
|
||
и справа от поля на |
расстоянии Z2 |
от плоскости II долж |
||
но быть |
|
|
|
|
г = |
0 = — В-\-А (l — |
(6.20) |
||
откуда |
|
|
|
|
Складывая (6.19) и (6.21), |
получим |
|
|
|
|
!l + ( j = I . |
|
(6.22) |
|
Это — „закон линзы" |
для |
толстых линз. |
|
|
Мы видели, что |
если |
ra (z) и rh(z)~—две |
электронные |
|
траектории, то Ara (z) -f Brb(г), где А и В — произволь
ные постоянные, также представляет собой электронную траекторию. На рис. 6.5 возьмем траекторию ra(z) и при
бавим электронную траекторию rh(г), параллельную оси
и отстоящую на расстоянии гх |
от |
оси |
линзы слева. |
Эти пути ra{z) и rb(z) показаны |
на |
рис. |
6.6. Так как |
га (z) равно нулю на расстоянии Lx слева от плоскости /,
£6
мы видим, что все электронные траектории, проходящие через точку на расстоянии гх от оси и на расстоянии L{ слева от плоскости I, могут быть представлены посред ством
г(г) = Ага(z)-\-rb (z).
Так как ra(z) = 0 на расстоянии L2 справа от плоско
сти II, все эти траектории будут в этой точке на одном и том же расстоянии г2 от оси. Мы можем найти это
расстояние, рассматривая лишь |
одну траекторию rb(z). |
Эта траектория пересекает ось |
на расстоянии f2 справа |
от плоскости И. Мы видим из рис. 6.6, что для этой траектории гь (г)
|
• |
г\ + г<2_^2 |
|
|
|
|
? = |
£ - ! • |
(6.23) |
Умножим правую часть на |
|
что в соответствии |
||
с (6.22) равно 1. Получим |
|
|
||
'1 |
f1^2 |
(h I fj_ |
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
[2 |
f1^2 |
(6.24) |
|
|
r\ |
h L\ |
|
|
|
|
||
Соответственно, величина |
(fi/f2)(A/^i) |
ость увеличение. |
||
Из рис. 6.6 видно, |
что |
изображение перевернуто. |
||
6.5.ОСОБЫЕ СВОЙСГВА МАГНИТНЫХ ЛИНЗ
Обычно линзы бывают не смешанными, а либо чисто магнитными, либо чисто электрическими. Чисто магнит ные линзы проще чисто электрических и будут рассмот рены первыми. Переписав уравнение параксиального луча (6.12) в предположении постоянства £/, получим
/тД2\
г- |
<е-25> |
87
6.5.1. Все магнитные линзы положительны
Мы видим, что величина в круглых скобках в (6.25) всегда положительна. Пусть точка z x лежит слева от по ля, a z2— справа. Тогда
|
Z x |
|
|
Если электрон |
остается все время с одной |
стороны |
оси |
от г 1 до г2 (г |
всегда положительно), то мы |
видим, |
что |
|
г'2 - г \ < о . |
( 6. 27) |
|
Таким образом, все магнитные линзы — положительные или собирающие.
6.5.2. Вращение изображения
Проинтегрируем соотношение (6.3) по всему полю
|
t , |
|
z , |
« = в!_ « , = |
- 1 | в |
, Л = |
(6.28) |
|
t J |
|
Z\ |
Здесь U — напряжение, |
определяющее |
электронную ско |
|
рость, которое берется для линзы постоянным. |
|||
Значение (6.28) |
состоит в том, что изображение в слу |
||
чае магнитной линзы не только перевернуто, но еще и повернуто на угол 0. Рассмотрим „вращающуюся* траек торию, проходящую вдоль оси через область заметного поля, близко от оси, где Н пренебрежимо мало*. Линей ный интеграл от Н вдоль такой траектории должен быть
равен |
N1 ампервиткам |
катушки. Единственным |
значи |
||
тельным вкладом |
в этот интеграл является интеграл |
||||
вдоль |
оси. Следовательно, для |
магнитных линз |
|
||
|
|
0 = |
------- т==—N1, |
(6.29) |
|
|
|
|
2 /т р |
|
|
|
9 = — 0 , 1 8 7 радиан. |
|
|||
* В |
пределе мы |
можем |
полагать |
траекторию простирающейся |
|
вдоль оси от — оо до |
+ со, где Н = О, |
|
|||
88
6.5.3, Слабые магнитные линзы
Слабой линзой называют такую линзу, у которой фо кусные расстояния велики по сравнению с протяженно стью поля линзы, г1 и изменения г' малы при прохожде нии через линзу и г можно рассматривать как постоян ную величину. Главные плоскости в этом случае располо жены близко к центру поля, а для случая симметричного поля — в центре.
Пусть г' = |
0 слева от линзы. Если мы рассматриваем г |
в (6.25) как |
постоянную величину, то для г! справа от |
линзы получим
и, следовательно,
(6.30)
Мы видим из (6.25), что поскольку гп всегда отрица тельно, для траектории, начинающейся с нулевым накло ном, г всегда будет уменьшаться при прохождении через линзу. Таким образом, предположение, что г постоянно, задает слишком большую величину г" и делает линзу слишком сильной (1 jf слишком велико).
6.6.ЧИСТО ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЛИНЗЫ
Если мы предположим, что магнитные поля отсутст вуют, то уравнение параксиального луча (6.12) стано вится
(6.31)
6.6.1. Соотношения между фокусными расстояниями
Пусть га и гь два решения (6.31). Тогда
(6.32)
(6.33)
89
Умножая (6.32) |
на |
гь и |
(6.33) на |
га и |
п реобразуя, п ол у |
||
чим |
|
ra |
ГЬ ~ гЬ Га |
U' |
|
||
|
|
(6.34) |
|||||
|
|
|
|
|
|
' w |
|
|
|
r 'h |
га |
г 'а Г Ь |
|
||
|
|
|
|
||||
Числитель левой |
части |
представляет собой производ |
|||||
ную знаменателя по z |
с обратным знаком. Следователь |
||||||
но, интегрируя, |
получим |
|
|
|
|||
1п(/-; га— г'а гь)==---- ^ |
In U -\- const = |
— In u'h + const, |
|||||
|
Г Ь Г а |
■rarb= A U - 'к |
(6.35) |
||||
Рис. 6.7. Диаграмма, используемая для вывода соотношения фокусных расстояний в электри ческой линзе.
где Л — постоянная величина. Пусть |
слева от линзы |
|||
а справа |
' ' a - 1- ra = 0, U = U b |
|||
rb = U г’ь = 0, |
£/ = |
t/2> |
||
|
||||
как показано на рис. 6.7. Тогда |
слева от линзы из (6.35) |
|||
г ь’ имеет |
значение гьх |
|
|
|
|
r'h[ = A U - 'h, |
(6.36) |
||
а справа |
от линзы га имеет значение гQ2 |
|||
|
г’’ а2 = - А-и2: |
ч* |
( 6 - 3 7 ) |
|
|
* |
|||
Теперь, из рис. 6.7 видим, что |
rhX= f 2 {— ra2) |
|||
|
fiA U r 'h= h A U - 'h, |
|||
|
h _ ( U 2,'h |
|
(6.38) |
|
|
|
|
||
Это точно то же соотношение (6.1), |
которое мы ожидали |
|||
из простых рассуждений. |
|
|
||
90
6.6.2. |
Все электрические поля между областями, |
||
|
свободными от поля, — положительны |
|
|
Удобно |
выбрать переменную |
|
|
|
R — rU'u. |
(6.39) |
|
В выражении через эту |
переменную уравнение |
приосе- |
|
вого пучка |
приобретает |
вид |
|
R' ' = ~ i < p j R- |
<64°) |
Можно показать, что все поля между областями, сво бодными от поля, образуют положительные (собиратель ные) линзы. Чтобы сделать это, проинтегрируем (6.40) по
всему полю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 - R: = r 4 { w f Rd2- |
|
|
|
(6.41) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
видим, |
что неизбежно |
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.42) |
||
Далее, |
из (6.39) |
|
|
о- |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
R ^ r ' U 4, + |
^ U ~ S,,U'. |
|
|
|
(6.43) |
|||||
Так как пределы интегрирования в (6.41), |
по предполо |
|||||||||||
жению, |
лежат |
вне поля, |
то |
|
U’ = 0 в этих |
точках и |
мы |
|||||
получаем |
г ^ и ^ - г [ и \ и < 0 . |
|
|
|
|
(6.44) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Обсудим особый случай, |
когда г \ — 0. Мы |
|
видим, |
что |
||||||||
тогда г2<10. |
Таким образом, |
можно |
сделать |
вывод, |
что |
|||||||
поле действует, как собирающая линза. |
|
|
R как функ |
|||||||||
Интересно |
отметить, что если определить |
|
||||||||||
цию от |
U (и, |
следовательно, |
г как |
функцию от |
£/), |
то |
||||||
можно получить U из (6.40) при помощи квадратуры |
|
|||||||||||
|
f/ = 6r, e x p |
[ ^ | ( - ^ - y |
/2cfz |
] . |
|
(6.45) |
||||||
|
|
|
*1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь U{ есть |
значение |
U |
при z {. |
Это |
соотношение |
не |
||||||
так уж |
нам полезно, как может |
показаться |
на |
первый |
||||||||
взгляд. |
Если |
найдена |
лишь |
U, |
то |
еще, |
быть |
может, |
||||
91