книги / Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики
..pdfРассматривая гармоническую функцию и(х, у ) —х2—у2 в еди ничном круге D — {(x, у) |*2-Н/2<1} с границей Г = { ( а, */)|а2+
+ (/2| = 1}, видим, что ее график имеет седлообразный вид и что наибольшего и наименьшего значения она достигает на границе (рис. 6.1),т. е. в любой точке (A, y)ŒÛ справедливо неравенство
min й(а, # ) < й(а, #)<тахи(А, у).
г г
Оказывается, любая гармоническая функция также обладает свойством свое наибольшее и наименьшее значения в ограничен ной замкнутой области принимать на границе.
Т е о р е м а (принцип максимума).
Пусть DçzRn— ограниченная область с границей Г. Пусть функция и(х) гармоническая в D и непрерывная в замкнутой области D. Тогда для лю бого A œ D
т1пй(А )<и(А )<тах и (а). |
(6.1) |
|||
г |
|
г |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Область D |
|||
ограничена, |
поэтому |
существует |
/? > |
|
> 0 , такое, что |
|
|
|
|
VA' ΠD |
|А| |
V |
i |
|
|
= |
|
||
|
|
|
Д-1 |
|
Фиксируем произвольное е > 0 и построим вспомогательную функцию
v t = u - f ел*?.
Для этой функции в любой точке XœD справедливо неравен ство
®e(A )< m a x ® ,(.* ),
Г
так как, если бы шах-я, (а) |
достигался во внутренней |
точке |
||
Хоœ D, то |
Ъ |
|
|
|
имело бы место |
неравенство А®в|^«Хо«^0, а это про |
|||
тиворечит |
неравенству А,У,|д—л-0=Аи|лг-д-в-1 -2е= 2е> 0 . |
Таким |
||
образом, для V Xœ D имеем |
|
|
|
|
|
и (х ) < V, (х ) < шах vt (а )< |
шах и (а)4* е/?2 |
|
|
|
|
г |
г |
|
ив силу произвольности е> 0
и(а)< шах и (а).
г
Применяя доказанное неравенство к функции (—м), получим, что для Y XœD
и(х) > шг1п й (а*).
Дадим физическую интерпретацию того, что локальный мак симум не может достигаться во внутренней точке области. Рас смотрим малые поперечные колебания мембраны. Уравнение
колебаний имеет вид
|
|
и,,= * * < * „ + « « )• |
|
|
|
||||
|
Если мембрана находится в поло |
||||||||
|
жении равновесия, то ии— 0 и тог |
||||||||
|
да |
Uxx+'Uyg—0, т. е. мембрана |
яв |
||||||
|
ляется |
графиком |
гармонической |
||||||
|
функции. Спрашивается, |
можно |
ли |
||||||
|
у мембраны в положении равнове |
||||||||
|
сия |
срезать |
«шапочку» |
горизон |
|||||
|
тальной |
плоскостью |
(рис. 6.2)? |
|
|||||
|
|
В положении |
равновесия |
кине |
|||||
|
тическая |
энергия |
мёмбраны |
равна |
|||||
нулю, а потенциальная энергия, равная |
*2” Jj* Wx’\ m^y)dxdy, |
||||||||
минимальна. Если бы мембрана имела форму поверхности |
Si |
||||||||
с «шапочкой», то, срезав «шапочку» и |
заменив ее частью |
||||||||
горизонтальной |
плоскости |
S2 : w = « 2=const, |
имеющую |
||||||
с «шапочкой» общую проекцию а на плоскость XOY, получили |
|||||||||
бы, что энергию мембраны можно |
было |
бы уменьшить |
на |
||||||
Т Я (u* + “l)dxdy, так как
. а
~f f [(u2)l+ (u 2)l]dxdt/=0.
О
Как следствие принципа максимума получаем единствен ность и устойчивость внутренней задачи Дирихле. Напомним, что внутренняя задача Дирихле для уравнения Лапласа (или Пуассона) состоит в нахождении в области D решения урав нения, непрерывного в замкнутой области В и удовлетворяю щего на границе Г краевому условию и\ г =<р.
Т е о р е м а (единственности и устойчивости решения задачи Дирихле). Пусть ии щ — решения внутренней задачи Дирихле в области D, непрерывные в В и удовлетворяющие соответст венно краевым условиям
я2|г=<Р2-
иг
Пусть |
|
|
max|?t-ip 2|< e . |
(6.2) |
|
Тогда для V хœ D |
|
|
\Ul.— W2|< |
e. |
(6.3) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Разность |
щ—щ — решение |
внутрен |
ней задачи_Дирихле для уравнения Лапласа в области Д непре рывное в D и удовлетворяющее следующему краевому условию:
(U-i—М2)|г==?1 — <Рг*
Согласно принципу максимума из (6.2) следует (6.3), и мы по лучаем устойчивость (или непрерывную зависимость от краевых условий) решения задачи Дирихле. При е = 0 имеем единствен ность решения задачи Дирихле,.
Рассмотрим используемые далее формулы Грина. Пусть D a R n— ограниченная область с гладкой границей Г.
Т е о р е м а . Если и, v — дваждынепрерывно дифференцируе мые функции в замкнутой области Д то справедливы следующие равенства:
j* vkudx —J |
|
(grad®, gx3Ûu)dx\ |
(6.4) |
||
D |
T |
|
D |
|
|
|
j* uLudx = |
^ u |
— j |
grad2udx\ |
(6.5) |
|
D |
V |
D |
|
|
|
^ {vLu — ubai)dx— j* |
^ ^ |
u -j~\ds, |
(6.6) |
|
|
b |
г |
4 |
|
|
где Я— внешняя нормаль к Г. Эти равенства называются форму лами Грина.
До к а з а т е л ь с т в о . Имеем
=,üdiv(gradtt)= d iv(,ngradи)—(gradv, grad//).
Интегрируя это равенство по области D и применяя к интегралу от div(ogradw) формулу Остроградского — Гаусса, получим равенство (6.4), а при о = ы — равенство (6.5). Если применить
формулу |
(6.4) к интегралу f ukvdx |
и полученное равенство вы- |
|
ll |
I |
честь из |
(6.4), то получим равенство |
(6.6). |
Установим единственность решения внутренней задачи Ней мана и третьей краевой задачи. Внутренняя задача Неймана (со ответственно третья краевая задача) для уравнения Лапласа или Пуассона в области D состоит в нахождении решения м(а') урав-
нения в области D, непрерывно дифференцируемого в замкнутой области D и удовлетворяющего краевому условию
да |
^соответственно |
|
дп |
||
|
Т е о р е м а (единственности решения внутренней задачи Ней мана). Пусть Uu и2— решения задачи Неймана
à u = f в D
да
дп
Тогда и\—«2—const в D.
Доказательство проведем в предположении, что ии «2 — дваж
ды непрерывно дифференцируемы в замкнутой области D (мож но доказать, что теорема верна и в случае ць u2^ C 2{D)[\Cx{D)).
Положим и = щ —и2. Очевидно, « è C 2(£>) |
и является |
реше |
|||||
нием задачи Неймана |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д и = 0 |
в D, |
|
|
|
|
|
|
да |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
дп г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно формуле Грина |
(6.5) имеем |
grad2a ^ = 0 . |
Отсюда |
||||
|
|
|
Ъ |
|
|
|
|
следует равенство grad2 |
и—4 |
или |
г=0, |
* = 1, 2, |
/г в |
||
|
|
|
dxi |
|
|
|
|
области D. Тогда «= con st и « i= « 2+const в |
D, |
т. е. |
решение |
||||
задачи Неймана единственно с точностью до аддитивной посто янной.
Т е о р е м а (единственности внутренней третьей краевой зада
чи). Пусть Ui, и2— два решения краевой задачи |
|
||
Au—f |
в О, |
|
|
(■57+ 0 “ )|г= |
'1’ 3 > 0 - |
|
|
Тогда ü\^u2 в области D. |
выше, |
предположим, что |
щ, |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Как и |
|||
U2œ C2(D) ( м о ж н о доказать, что теорема верна и при более сла |
|||
бом ограничении щ U2œ C?{D)[\C1D)). |
Положим опять |
ц = |
|
=Ui—«2. Очевидно, U œ C2(D) и является решением задачи |
|
||
Аи=0 в D
да
откуда — = —а#|г. Тогда согласно формуле (6.5) имеем
дп
0= — j* ou2d s — j* grad2udx.
vb
Учитывая, что a> 0, получаем, что последнее равенство возмож но лишь в том случае, когда и|г = 0 и grad2 ын=0 в D, откуда сле дует, что « = 0 или U\^u2в D.
§ 6.2. ОБЩИЙ ВИД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ, ЗАВИСЯЩЕЙ ТОЛЬКО ОТ РАДИУСА.
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА. ФУНКЦИЯ ГРИНА. РЕШЕНИЕ
ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В КРУГЕ И ШАРЕ
Пусть а = и(г), где г=\х\ = |
xi. Тогда |
и уравнение Лапласа Лм=0 примет вид
и '(г)-J- п~~ 1 и' (г)= 0 .
г
Интегрируя это уравнение при п = 2, получим общий вид за висящей только от радиуса гармонической функции на плоско сти:
u (r)= ct \пг-\-с2, |
(6.7) |
а при |
3 — в пространстве-' |
и(г) = - |= Г + ^2* |
(6.8) |
Введем понятие фундаментального решения оператора Лап ласа. Рассмотрим гармонические функции, зависящие от радиу
са в случае п—3, т. е. и(г) = — -j-c2, и из них выделим такую,
которая описывает стационарное температурное поле, созда ваемое единичным точечным источником, сосредоточенным в начале координат. Для нахождения такого решения предполо жим сначала, что источники тепла распределены сферически симметрично в шаре Qe= {/!< e} и выделяют через поверхность сферы 5 8= { г— е} единицу количества тепла. Тогда естествен но считать, что
и(г)—0 при г — оо |
(6.9) |
115
и
J ( — g r a nd) d# s,= 1 ,
где n — единичный вектор внешней нормали к 5 е (коэффициент температуропроводности k предполагаем равным единице).
Из (6.8) и (6.9) следует, что с2—0, а из (6.10) имеем ра венство
J (—gradи , n ) d s = j ^
=I НИ ds4 т г ^ = - ^ ^ = 1 ,
откуда c1= - ^ . Таким образом, искомое решение имеет вид
4Л
и(г) ——— . Оно не зависит от е, поэтому можно считать источ-
4лг
ник тепла сосредоточенным в точке г = 0 , а не в шаре Qe. Итак, стационарное температурное поле в R3, создаваемое
единичным точечным источником, сосредоточенным в начале
координат *0= 0, определяется функцией — î— , а сосредото-
4л \х\
ченным в точке *0=5^0 — функцией
S(x, *„) = - — !------, |
(6.11) |
4л \х — XQ\ |
|
называемой фундаментальным решением оператора |
Лапласа |
в Я3. |
|
В случае п—2 среди гармонических функций # ( r ) = c i l n r + + с2 рассмотрим функцию, удовлетворяющую, как и в случае
п—3, условиям с2— 0 и |
[ ( —grad#, |
n ) d s = |
1. |
Согласно этим |
|
условиям |
|
|
|
|
|
J (—grad#, n ) d s — J |
^—j - ^ j d s = ^ |
d~s = |
—j-^--2яе = 1 , |
||
s g |
s g |
|
s g |
|
|
откуда Ci—-----— |
и и —-----— ln r = —J— In — . |
|
|||
2л |
|
2л |
2л |
г |
|
Таким образом, стационарное температурное поле в R2, ко торое создается единичным точечным источником, сосредоточен
ным в точке * о= 0, определяется функцией — In— » а сосРе*
доточенным в точке Х о # 0 — функцией |
|
# { х , х 0) = - ± - \ п - 1 |
(6.12) |
2п \х — XQ\ |
|
называемой фундаментальным решением |
оператора Лапласа |
в R2. |
|
При произвольном п^ 3 фундаментальным решением опера
тора Лапласа в Rn является функция |
|
________ 1_________ |
(6.13) |
Six, х0)--= (л — 2) ù>„ \х — хп\п“2 |
|
где (ùn— площадь единичной сферы в Rn. |
гармоническая в |
Заметим, что если v(x) — произвольная |
Rn функция, определяющая стационарное температурное поле без источников тепла, то поток тепла через любую замкнутую поверхность 5 равен нулю, так как согласно формуле Остро-
' градского — Гаусса |
|
|
^ (—gracia, |
n )ds= j* (—kv)dx=0. |
|
s |
D |
|
Здесь D — область, ограниченная |
поверхностью 5. Тогда для |
|
функции и ( х , х0) — <§ (х , XQ) + V (X ) |
и любой поверхности S , окру |
|
жающей' Хо, получим |
|
|
f (—grad к, n)ds— £(—grad в, n)ds-\- j*(—grada, n)ds—
5 s b
=1 + 0 = 1 ,
T.e. функция u(x, x0) определяет стационарное поле темпера тур, которое создается единичным точечным источником, со средоточенным в точке Хо, и, следовательно, она также являет ся фундаментальным решением оператора Лапласа. Среди всех фундаментальных решений выделяют решения <§Г(х, Хо), опре деляемые равенствами (6.11), (6.12) и (6.13), называемые
главными фундаментальными решениями.
Дадим эквивалентное определение фундаментального реше ния оператора Лапласа. Известно, что стационарное поле тем ператур при наличии источников, плотность интенсивности ко торых д х ), описываются уравнением Пуассона '
—Ди = / .
Пусть источники тепла сосредоточены внутри сферы SB произ вольного радиуса е с центром в точке Хо и плотность их интен сивности ftt(x) такова, что поток тепла через сферу SB равен единице. Тогда
1 = J*(—grad/г, n)ds = |
\ {—Lu)dx= \ fdx, |
|
s , |
Q, |
Q, |
где Qe— шар, ограниченный сферой 5 e.
Будем задавать плотность распределения интенсивности тепловых источников функцией /е(*), удовлетворяющей следую щим условиям:
1) / е(*) = 0 вне сферы 5 6; |
|
|
2) / eU ) > 0 в Rn; |
|
|
3) f f t ( x ) d x = 1. |
|
|
Qe |
|
|
Единичному точечному источнику тепла, |
сосредоточенному |
|
в точке х0, должен был бы соответствовать |
lim fc(x), |
равный |
|
8 -►о |
|
нулю при хфхо и такой, что lim Г f l ( x ) d x = \ .Этот |
предел |
|
с ->-0 J |
|
|
Rn |
|
|
(отличный от нуля только в точке Хо и такой, что интеграл от него по Rn был бы равен 1) не является обычной функцией. Для него существует понятие обобщенной ô-функции, обозна
чаемой б(л:—х0). |
температурного |
|
Таким образом, уравнение стационарного |
||
поля, которое создается единичным точечным |
источником, |
со |
средоточенным в точке Л'о, является уравнением Пуассона |
с |
|
ô-функцией в правой части |
|
|
—Ь.а=Ъ{х —л:0). |
(6.14) |
|
Фундаментальным решением оператора Лапласа называют ре шение уравнения Пуассона (6.14) с б-функцией в правой части.
Введем функцию Грина и рассмотрим ее свойства, а также
интегральное представление |
гармонической функции. Пусть |
|
D a R n— ограниченная область с гладкой границей Г. |
второго и |
|
Функцией Грина первого рода (соответственно |
||
третьего) в области D называется функция |
|
|
G(x, х0)= 8 (х , |
A:0)+ v (x , х0), |
(6.15) |
где <§Г(лг, *о)— главное фундаментальное решение оператора Лапласа, a v(x, XQ) гармоническая по переменной х в обла сти D функция такая, что функция Грина G(x, XQ) на границе Г области D удовлетворяет однородному краевому условию первого рода
G(x, ^оЬбг=0, |
|
(6.16) |
(соответственно второго рода, если д0 ('Х' х°~- |
xçr |
= -----!— , где |
дп |
|Г| |
|Г| — площадь Г, так как поток — grad G через Г должен быть равен единице, и третьего рода, если
/ дб(х, х0)
[ дп
В тепловых терминах функция Грина, первого рода опреде ляет внутри области D стационарное температурное поле с ну левой температурой на границе Г при наличии внутри этой об ласти D в точке XQ единичного точечного источника тепла.
Рассмотрим некоторые свойства функции Грина первого рода.
1°. Если функция f(x) непрерывна в точке х0œ D и ее окре
стности, 5 е= {|л :—лг01= е } — сфера радиуса е с центром х0, содержащаяся в рассматриваемой окрестности, то
lim Çf(x)G(x, xQ) d s = 0 . |
(6.17) |
s, |
|
Действительно, по теореме о среднем существует точка ŒSt такая, что
f f(x)G (x, xQ)ds—f (х *) G(x*, XQ) |
(6.18) |
s.
где (ùn— площадь единичной сферы в Rn. Согласно равенству (6.15) имеем
f(x*)G (x », xQ)&n- 1ton=f(x*y<S(x*i лг0)еЛ_Ч +
+f(x*)v(x*, JC0)»ee"-‘.
Так как в рассматриваемой окрестности функция о(х) — гармо ническая и, следовательно, непрерывная, а функция f(x)— не прерывная, то их произведение — ограниченная функция, и, следовательно,
lim [/(**) а (я*, Ло)еп- 1(оя]= 0 .
«->-0
Согласно равенствам (6.11) и (6.12), а также принимая во внимание, что \х*—х0| — е для je*eSE, имеем
f { x * ) — |
I n -- -- е-- *- 2 л = — / ( ^ : * ) s |
2л |
|л?* — * 0| |
f{x*)S {x*,x о)еп- Ч =
|
„л—1, |
|
/ ( ^ * ) - V — |
, ; |
Д?0Г |
л —2 |
|
|
Отсюда в силу ограниченности f(x) получаем
lim [/(* •)* (* ♦ , ль)в»-Ч1=а0; i-*0
тогда из (6.18) следует (6.17).
при п = 2,
п~ 1
при П> 3.
2°. Если функция f(x) непрерывна в точке X0œ D и ее окре стности, St— {\x—* о |= е } — сфера радиуса е с центром в х0, содержащаяся в рассматриваемой окрестности, то
lim |
f f ix ) |
■dO[x '- - 0± - d s = f ( x 0), |
(6.19) |
•-►о |
J |
дпх |
|
St
где пх— внутренняя нормаль к St в точке х.
Действительно, применяя к интегралу в равенстве (6.19) теорему о среднем, получим, что существует точка та кая, что
J |
f ix ) |
âa(* ' Xl>)- d s = f ( x * ) aa(x,’ x',) s« Ч - |
(6.20) |
|||
|
дпх |
|
|
дпх |
|
|
5. |
|
|
|
|
|
|
Согласно равенствам (6.15), |
(6.11) и |
(6.12), в которых обозна |
||||
чим \х—Хо| через г, получим |
|
|
|
|||
|
dG (х, х 0) |
д [é>(x, |
л*0) + т>(л:)] = |
|
||
|
|
дпл |
dr |
|
|
|
dr •['(»—2 ) 1 ^ » + Н |
|
|
при |
3, |
||
|
|
|
|
|||
д [ j i - ln - L + „ W ] = |
- L _ ^ |
. |
при n = 2 . |
|
||
'dr |
|
|
|
|
|
|
Тогда, замечая, что для X *œ S E г = \ х *—лг0|==е, имеем
ДХ*) д0 (•**» *о)_ в« -1^ =
dnx
f i x * ) - f i x * ) -du(x*,x0)
dr
f{x*)—f(x*) du^x*t Х(д
* |
dr |
rt_,
&п~ 1а)п при
е»2я при п —2.
Отсюда в силу ограниченности |
непрерывности /( х) |
полу- |
|
чаем |
dr |
|
|
|
|
|
|
lim / (л*) д а ^ - х ^ |
е » - Ч = / U o). |
|
|
§-►0 |
u/lj^ |
|
|
и из (6.20) следует (6.19). |
|
функ |
|
3° (об интегральном |
представлении гармонической |
||
ции). Любая дважды непрерывно дифференцируемая в замкну
той области D, гармоническая в области D функция и(х) |
пред |
|
ставима в виде |
|
|
и (л -„ )= - f |
Uix) -âa(x- Хо) as, |
(6.21) |
J |
ànx |
|
г
гдё XOœD, Их— внешняя нормаль к Г в точке х.