книги / Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики

Переходя ко второму из интегралов (4.2), заметим, что если

0 (правило Лопиталя). Таким образом, второй из интегра­ лов (4.2) также мажорируется сходящимся интегралом, и поэто­ му сходится.

Обосновав существование Г-функции при любых s> 0 , уста­ новим ее основные свойства. Заменяя в интеграле (4.1) s на 5+1, имеем

Внеинтегральный член (4.4) равен нулю, так как функция xse~* при х = 0 равна нулю и при х->оо стремится к нулю (для нату­ рального n > s произведение х5е-х< х ле-ж->0 при х-*-оо), поэто­

му, учитывая (4.1), получаем

при любых kt удовлетворяющих неравенству s—£ > 0, и, следо­ вательно, шах А = [5] при 5 дробном ([s]— целая часть s) и max

Æ =s— 1 при натуральном 5.

ние функции Г(Х) к вычислению Г-функции с помощью инте­ грала (4.1) на интервале 0 < s < l . Однако этот интервал можно сузить до (О, V2), если учесть, что Г-функция удовлетворяет соотношению и

Г ( « ) Г ( 1 - 5 ) = - г5— 0 < S< 1 . (4.16)

sin n s

Например, полагая s = 3U, имеем

в ряде изданий таблицы значений Г-функции приводятся лишь

§4.2. УРАВНЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Куравнению цилиндрических функций (уравнению Бессе­ ля) можно прийти, решая методом Фурье уравнения Лапласа, теплопроводности или колебаний, записанные в цилиндриче­ ских координатах. Покажем это на; примере уравнения Лапла­ са. Известно, что уравнение Лапласа в цилиндрических коор­ динатах г, ф, z имеет вид

где и—и(г, ф, z ) — искомая функция. Используя метод Фурье, будем искать частные решения уравнения Лапласа в виде

Так как решение в цилиндрических координатах уравнений Лапласа, теплопроводности, колебаний и ряда других уравне­ ний связано с решением уравнения (4.25), это уравнение назы­ вают уравнением цилиндрических функций. Уравнение (4.25) называют также уравнением Бесселя. Если, в уравнении (4.25) заменить аргумент g на х, искомую функцию R — на у, то уравнение цилиндрических функций (уравнение Бесселя) при­ нимает традиционно принятый вид

Любые решения уравнения (4.26) называют цилиндрическими функциями или функциями Бесселя. Число v является пара­ метром уравнения Бесселя.

§4.3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Решения уравнения цилиндрических функций

при произвольном значении параметра v не выражаются через известные элементарные функции. Поэтому будем искать ре­ шения уравнения (4.27) в виде степенного ряда

оооо

где р — постоянная, подлежащая определению вместе с коэф­ фициентами а*. Ниже будет показано, что постоянная р может оказаться отрицательной или нецелой, вследствие чего ряд (4.28) может содержать как отрицательные, так и нецелые степени. Поэтому ряд (4.28) называют обобщенным степенным рядом.

Для определения коэффициентов а* ряда и постоянной р подставим ряд (4.28) в уравнение (4.27). Получим

Равенство (4.29) должно выполняться тождественно (посколь­ ку в уравнение (4.27) подставлено его предполагаемое реше­ ние (4.28)), поэтому коэффициенты при всех степенях х в ря-

де (4.29) должны быть равны нулю, т. е.

при л*р: (р2 — v2)a0,

при Л'Р+2: [(p+2)2- v 2]fl2+ a 0= 0 ,

при * р+3: [(р+ 3)2—V21Æ3+ Æ1= 0 ,

при *Р+*: Кр+ ^)2—V2!л*+ лл_2==0.

Не нарушая общности, можно считать Яо^О, так как, если я0= ... = Ят-1= 0, йафО, то, полагая p*=p+m , bk= ak+m, k=Q, 1,

2, .... приведем ряд (4.28) к виду

У.

А - О А —О

где Ьо—атФО, что и требовалось установить. При Яо^О пер­ вое из уравнений полученной системы будет удовлетворено, если р2—v2= 0, т. е. если

Так как в этом случае (p+k2) —vV=0 при k>0, то из второго уравнения системы (4.30) следует, что fli= 0, из четвертого, что Яз=0, и последовательно получаем, что все коэффициенты с нечетными номерами равны нулю, т. е.

и, вообще, используя метод полной индукции, получаем, что

Как видим, все коэффициенты с четными номерами выражают­ ся через коэффициент а0.

Так как решение однородного уравнения (4.27) находится

Поэтому точки р = — 1, —2, ..., —k являются устранимыми точ­ ками разрыва выражения (4.34), если положить

где множитель 2-р введен для придания окончательному реше­ нию (4.28) компактной формы. Тогда выражение (4.34), учи­ тывая известное разложение Г-функции на множители [см. ,(4-6)]

Г (р + А + 1 )= (Р + * )(Р + * -1 )-(Р + 1 )Г (Р + 1 ),

перепишем следующим образом:

Поскольку Г-функция нигде в нуль не обращается, знаменатель дроби (4.35) отличен от нуля при любых р и k и, следователь­ но, формула (4.35) имеет смысл при любых р и что и тре­ бовалось показать.

Перепишем теперь ряд (4.28), заменив k на 2k:

> ■ = 2 a» * p+2t' ft=*0

и подставим в него выражение (4.35). Получим

Так как p = ± v , то ряд (4.36), в случае его сходимости, опре­ деляет (при v=H=0) два частных решения уравнения цилиндри­ ческих функций. Исследуем ряд (4.36) на сходимость, для че-

Применим к ряду (4.38) признак сходимости Даламбера. Для достаточно больших k (таких, что р+& +1>0), учитывая ра­ венство

решения уравнения Бесселя. Кроме того, множитель (х/2)р при

и, в частности,

Л ( * > = 2 ( - и * ft-о

Ряды (4.39) и (4.40) при нецелых v начинаются с различ­ ных степеней ху и х~\ так как коэффициенты при этих степенях отличны от нуля (Г-функция при нецелых значениях аргумента ограничена), поэтому функции Jv(x), J-„(x) при нецелых v ли­ нейно независимы (их отношение не является тождественной константой). Поэтому общее решение уравнения Бесселя при нецелых v можно записать в виде

решение уравнения Бесселя при \ —п (при целых v), исследуем подробнее структуру ряда, определяющего функцию J-n(x):

целый, отрицательный или равен нулю. Поэтому в выражении

ft-л

Вводя новый индекс суммирования l= k —п, запишем последний ряд в виде

Как видим, функции Jn(x), J~n(x) линейно зависимы и, следо­ вательно, при целых v выражение (4.42) не дает общего реше­ ния уравнения Бесселя.