книги / Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики

Г лежит в касательной плоскости к поверхности 5 обтекаемого тела и, следовательно, (V, n ° ) |s = 0, где п° — орт нормали к

поверхности 5. В силу потенциальности векторного поля имеем V — —gradu, где и— потенциал скорости, и

да

( V , n ° ) |s = (-g r a d tf,tt°) \ s = —

дп

Мы приходим к краевому условию

дп S

Таким образом, задача обтекания твердого тела потенциаль­ ным потоком идеальной жидкости есть задача Неймана с гра­ ничным условием (2.31).

О корректности постановки задачи математической физики

Говорят, что задача математической физики поставлена корректно, если начальные и краевые условия обеспечивают:

1 ) существование решения в рассматриваемой области;

2 ) единственность решения (два решения, удовлетворяющие

одним и тем же начальным и краевым условиям, совпадают в области) ;

3) непрерывную зависимость решения от начальных и крае­ вых условий (малые изменения начальных и граничных функ­ ций вызывают малые изменения решения в области).

Почему существенно преждё чем решать задачу математи­ ческой физики, выяснить, корректно ли она поставлена? Иссле­ дуя, существует ли решение, мы выясняем, не переопределена ли задача, не являются ли наложенные на решение условия противоречивыми. Исследуя вопрос о единственности решения рассматриваемой задачи, мы выясняем, не является ли задача неопределенной, когда наложенные условия оказываются недо­ статочными для обеспечения единственности решения. Наконец, установление непрерывной зависимости решения от начальных и краевых условий важно по следующей причине. Если коэф­ фициенты уравнения, которое, как правило, выводится на ос­ нове физических законов, являются точными константами или функциями, то функции, входящие в начальные или краевые условия, находятся приближенно из эксперимента. Поэтому задача, в которой малая ошибка в экспериментальных данных вызывает большие изменения решения, практически бесполезна.

Решение, непрерывно зависящее от начальных и краевых условий, называется также устойчивым, а задача — устойчи­ вой.

Не всякая задача корректно поставлена. Примером некор­ ректно поставленной задачи является задача Коши для урав­

нения Лапласа относительно и(х, у) в полуплоскости у^>Q.

UXX~\~Uyy=0y

и (х,0)= у(х), иу{х>0)==tU).

Убедимся, что эта задача, неустойчива. Действительно, рассмот­ рим решения двух задач:

Л

* = 0 , У=Уо’> 0 отличаются на величину

I и (0, у0)- их(О, У)0|= 4 l eXÿ° »

|Л|

превосходящую любое наперед заданное число Л1 ;> 0 при соот­

ветствующим образом выбранном Х^так как lim ~ - e x*'« = ooj.

Приведенный пример некорректно поставленной задачи назы­ вается примером Адамара.

Некорректной также является задача Коши для гиперболи­ ческого уравнения с начальными данными на характеристике, так как в этом случае нарушается единственность решения.

ГЛАВА 3

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ «ЗАДАЧ

$ 3.1. ПОЛНОСТЬЮ НЕОДНОРОДНАЯ НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА. РЕДУКЦИЯ.

МЕТОД ДЮАМЕЛЯ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ

идля него начально-краевую задачу с начальными условиями

вобласти D в момент /= 0

35

и краевыми условиями на 5 = { * е Г , t^ . 0}, Г — граница облас­ ти D,

операторы дифференцирования по пространственным перемен­ ным Х\, ..., хп. В случае, например, начально-краевой задачи

(2.24), (2.27), (2.21) для волнового уравнения имеемМи= —— ,

Lu=a?àu или Lu— I div (Г grad й), начальное условие £*й=<р

?

представляет собой систему двух условий w l^o— ф, ш |Д«о=ф,

лее простым с единственной неоднородностью либо в уравне­ нии, либо в начальном условии. Сведение исходной задачи к более простым называется редукцией.

Исходную задачу редуцируют прежде всего к задаче с одно­ родными (нулевыми) краевыми условиями. Для этого подби­ рают достаточно гладкую функцию U, удовлетворяющую крае­ вому условию (3.3), и вычитают ее из решения. Тогда для раз­ ности й—и—U в силу линейности операторов М, L, Lt, Ls по­ лучаем

М и=М и —M U=Lu-\- f —M U =Ltt-\-LU - \- f —M Ut Ltu —Ltu — LtU =<p—LtU t Lyi—Lyi—LsU —(i—p = 0 ,

откуда следует, что в качестве v a w можно взять решения

36

§ 3.2. МЕТОД ФУРЬЕ РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

ДЛЯ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ С ОДНОРОДНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

Рассмотрим основные идеи метода.

1.Так как линейная комбинация решений однородного уравнения, удовлетворяющих нулевым краевым условиям, есть также решение данного уравнения, удовлетворяющее нулевым краевым условиям, то сначала находят бесчисленное множест­ во таких решений и из них конструируют решение, удовлетво* ряющее и начальным усло­ виям.

2.Отыскание указанного

выше множества решений сво­ дят к решению системы более простых краевых и начальных задач для функций меньшего числа переменных, представ­ ляя решение в виде произведе­ ния функции только времени t на функции только пространст­ венных переменных Хи

Рассмотрим сначала решение этим методом задачи о сво­ бодных колебаниях струны с закрепленными концами

utt= a 2uxx в 2 = { 0 < ^ < / , / > 0},

я |,-о=<?(*), а/|/-о=Ф (л) V *< =[0,/],

В уравнении (3.13) разделим переменные. Для этого разделим его на а2ХТ

Т" _ X"

а*Т ~ X

Левая часть полученного равенства зависит только от t, а пра­ вая— только от х. Это возможно лишь тогда, когда обе части равенства тождественно равны константе. Обозначим эту кон­ станту через —Я/. Тогда равенства

Т" _ _ Х " _ ^

(3.16) , (3.17) не имеет ненулевых решений.

При Х>0 характеристическое уравнение k2+X имеет мни­

мые корни k\t2= ± i п и общее решение уравнения (3.16) име­

ет вид

X (jr)=£i cos ÿr\x-j-c2 sin Y \x .

Согласно краевым условиям (3.17) получаем систему

Ci= 0 , с2 sin У X/= 0 ,

(Можно положить С2—1, так как решение задачи (3.16), (3.17)