книги / Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики

1°. Потенциалы простого слоя (6.98), (6.96) непрерывны во всем пространстве R3 (соответственно на плоскости R3).

2°. Потенциалы двойного слоя (6.97), (6.99) и нормальные производные потенциалов простого слоя терпят разрыв первого рода при переходе через поверхность S (кривую L).

Т е о р е м а о с к а ч к е п о т е н ц и а л а д в о й н о г о слоя .

Пусть

Я0е 5 ( 1 ) , и1(Р0) = Нш ^(Ж ),иДЯ0) = Пт и(М),

а в равенстве (6.101) — интеграл

L

Докажем справедливость равенства (6.101) в случае по­ стоянной плотности р(Р) = р о —const. Согласно (6.99), имеем

(6. 102)

L РМ

Пусть Mœ D, P œ L. Проведем окружность радиуса \МР\ с цен­ тром в точке М. Пусть а — угол между этой окружностью и кривой I в точке их пересечения Р (рис. 6.15). Тогда, очевид­

но, а+ {РМ, п7)=п. Пусть — угол, под которым видны из

точки М элемент dl дуги L и элемент ds=|AlP|d<p окружности. Очевидно, элемент ds, как проекция dl на дугу окружности, ранен d s = d l cos а. Отсюда

или

dl cos {PM, np) = —dy.

Используя теорему о скачках, можно решение краевых за­ дач для уравнения Лапласа свести к решению интегральных уравнений. Рассмотрим это на примере внутренней задачи Ди­

двойного слоя, плотность которого следует определить. Соглас­

/

Таким образом, внутреннюю задачу Дирихле удалось све­ сти к нахождению плотности р из интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Для внешней задачи Дирихле ана­ логично получим следующее интегральное уравнение относи­ тельно плотности потенциала двойного слоя

p(Po)= - - L С и и у . д + 1 ^

РРо

Решение внутренней и внешней задач Неймана ищем в ви­ де потенциала простого слоя, для плотности которого в соот­ ветствии с теоремой о скачке его нормальной производной по­ лучаем соответственно интегральные уравнения

Аналогично сводят к интегральным уравнениям задачи Ди­ рихле и Неймана в пространстве R3.

§ 6.7. РЕШЕНИЕ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ ГИДРОАЭРОДИНАМИКИ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

В § 2.2 было показано, что безвихревые установившиеся движения несжимаемой идеальной жидкости в области, свобод­ ной от стоков и источников, описываются уравнением Лапласа Д ц = 0, где и— потенциал скорости. В плоском случае потенциал скорости — гармоническая функция только двух координат и = = и ( х , у) и его можно рассматривать как действительную часть аналитической функции комплексного переменного. Таким образом, для изучения указанного класса течений жидкости можно использовать аппарат теории функций комплексного переменного. В этом параграфе будет изложено решение пло­ ской задачи полного обтекания профиля с помощью конформ­ ных отображений. Предварительно рассмотрим геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функ­ ции, конформные отображения, гидромеханический смысл про­ изводной аналитической функции, комплексный потенциал.

Пусть в области D комплексного переменного z определена комплекснозначная функция w = f ( z ) , т. е. каждой точке z =

—u{xt у) +iv(x, у ), где и{х, # ) = R e/ (*+«/) и v{x, y ) = I m f(x+

+ iy) — действительные функции действительных переменных

х и у.

Понятия предела и непрерывности функции f(z) (в точке, области) вводятся так же, как и для действительных функций действительных переменных, поэтому мы на них не останавли­ ваемся. Отметим лишь, что для существования предела

l i m w ( z ) = w Qt

где-£о=*о+11/о, Wo—tio+ivo, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы

зависеть от способа стремления к нулю приращения Дz, в част­ ности, не должен зависеть от направления, по которому Az-*-0.

Последнее обстоятельство накладывает весьма жесткие огра­ ничения на функцию /(г), подчиняет ее действительную и мни­ мую части определенным связям. А именно, пусть в точке z су­ ществует /'(г). Выражая приращения Aw и Az через их дейст­ вительные и мнимые части, запишем равенство (6.106) в виде

Ду)

Пусть сначала Ay=Q, Az—Ax (рис. 6.16). Тогда выражение (6.107) принимает вид

Комплексно-параметрическим уравнением этой окружности яв­ ляются

z = z Q-\-Re“, 0 < / < 2 я , z0= x 0+ iy 0.

Так как существуют производные х, у, то существует производ­ ная

Az, стягивающей дугу (2, z+Az) кривой Г (рис. 6.18), при

At->-0 стремится занять положение вектора, касательного к кри­ вой Г в точке z. Тогда argz'(t), равный углу между вектором zf(t) и положительным направлением оси Ох, также равен углу между касательной к кривой Г и положительным направлением оси Ох.

Выясним теперь геометрический смысл аргумента и модуля производной функции комплексного переменного. Пусть w== —f(z) — аналитическая в области D функция и f'(z) фО. Пусть также в области D через точку z проходит произвольная глад­

w = f ( z ) отображает область D в D' и кривую Г в Г: w =

= ги[г(0]= ® (0-

Согласно правилу дифференцирования сложной функции имеем

гладкая кривая.

Вводя обозначения

Из соотношения (6.113) видно, что аргумент производной ана­

аналитической функции w —f(z). В силу произвольности кри­ вой Г все кривые, проходящие через точку z, поворачиваются на один и тот же угол а. Следовательно, угол Между любыми

ряющие условиям Коши — Римана (6.111). Якобиан отображе­ ния (6.116) в силу условий (6.106) равен

ция w —z4 имеет в полукольце D : { 1 < | г | < 2 , 0 < a rg z< ;n } про­

изводную, отличную от нуля

dw = 4 г 3ф 0,' •

й г

а отображение D на Dr= {1 < |яи| < 2 4, 0<argo><4n} не взаим­

но однозначно.

Для обеспечения взаимной однозначности отображения вы­ деляют области однолистности функции. Область D называется

областью однолистности функции f (z), еслиУ^ь z2e D ,

f(zi)¥=f{Z2). В рассмотренном выше примере областями одно­ листности w = z 4 являются области D l—{\< i\z \< ^ 2}>< i - 74- <С

сохранения углов по величине и направлению и свойством по­ стоянства растяжений малых окрестностей отображенных то­ чек, называется конформным отображением. Проведенные вы­ ше рассуждения позволяют сделать следующее заключение: для того чтобы функция w=f ( z ) реализовывала конформное ото­ бражение области D, необходимо и достаточно, чтобы в этой области она была: 1 ) однолистной; 2 ) аналитической; 3) чтобы

Г( г) ф0 всюду в D.

При практическом использовании конформных отображений наиболее употребительна задача отыскания функции, реали­ зующей конформное отображение заданной области D на за­ данную область А. При этом возникают вопросы, связанные с существованием искомого отображения и его единственностью. Приведем некоторые результаты, дающие, ответ на постав­