книги / Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики

разования сильных разрывов решений квазилинейного уравне­

В этом случае с = и , Ъ— 1, / = О, дифференциальное уравнение характеристик (1.9) принимает вид

d a ___J_

а дифференциальное соотношение (1.10) на характеристиках — следующий вид:

du

■0»

d x

Отсюда следует, что на характеристике и(х, y ) —k = co n st и

dy 1

“^ ■ = ~ »т. е. характеристики — прямые линии. Используя ус­

ловие (1.12), найдем наклон характеристик:

где Хо — фиксированная точка оси Ох.

Пусть ф(х) имеет график, показанный на рис. 1.2; х* — точ­

должно принимать значение <p(*i), а в точке М, как принадлежа­ щей характеристике QM,— значение ф(*2). Таким образом, в

точке М пересечения характеристик решение и(х, у) терпит разрыв.

Введем теперь характеристики квазилинейного уравнения второго порядка. Рассмотрим сначала уравнение (1.2) относи­ тельно и(х, у)

Пусть на Г известны значения решения и его частных про­

Поставим задачу: найти на той же кривой Г значения частных

Это позволит, например, определить приближенно, с точностью до малых третьего порядка, значения решения и в точках Л1', близких к Г (см. рис. 1.1):

им*=им+РлАх + Ум^У+ гмЬх2 — 2sMà x b y + tMày\ (1.14)

dp\r =$'{x)dx, dq|г =y'(x)dx. Следовательно, для определе­ ния на Г трех величии г, s, t имеем систему трех линейных ал­ гебраических уравнений:

ческого типа. Если Ь = В 2—АС=0, то уравнение (1.2) в данной точке М — параболического типа. Если Ь = В 2—Л С < 0, то урав­ нение (1.2) в данной точке М — эллиптического типа. Уравне­ ние (1.2) гиперболическое (параболическое, эллиптическое) в каждой точке некоторой области, называется гиперболическим (параболическим, эллиптическим) в этой области..

Пусть уравнение (1.2) при выбранном и{х, у) относится в области G к гиперболическому типу. Тогда значения ta, ta ве­ щественны и различны, и мы имеем два дифференциальных уравнения

каждое из которых определяет в области G однопараметриче­ ское семейство характеристик. В этом случае через каждую точку М области G проходят две характеристики, принадлежа­ щие различным семействам и пересекающиеся под ненулевым углом.

В случае если в области G уравнение (1.2) является пара­ болическим, то значения ta, ta вещественны и совпадают, диф­ ференциальное уравнение

к эллиптическому типу в области G, то значения ta, ta комп­ лексные и уравнение (1.2) характеристик не имеет.

Приведенная выше классификация квазилинейных уравне­ ний (1.2) по знаку дискриминанта ô= В 2—АС по существу классифицирует их по числу принадлежащих им семейств ха­ рактеристик, наделяющих решения соответствующих уравнений рядом общих свойств.

Вернемся к равенствам (1.17). Можно показать, что неза­ висимыми из них являются только два, например Д = 0 , A i= 0 .

на характеристиках. Раскрывая определитель Ai, имеем соот­ ношение

Fdу2+ Cdxdp — Cdydq —2Bdydp = 0.

В случае уравнения (1.2) гиперболического типа в области G отсюда получаются два соотношения: на первом семействе ха­ рактеристик, где dy—Xidx, и на втором, где dy—X^dx.

Отметим, что (в силу неоднозначности определения на ха­ рактеристиках значений вторых производных решения через значения самого решения и его производных первого порядка) при переходе через характеристику по выводящему направле­ нию вторые производные могут терпеть разрыв, тогда как са­ мо решение и его производные первого порядка остаются не­ прерывными, т. е. снова характеристики — линии слабых раз­ рывов решений.

Рассмотрим пример. Определить тип одного из основных уравнений газовой динамики для плоского установившегося газового потока

звука, и указать области, в которых данное уравнение имеет этот тип.

Составим дискриминант уравнения. Имеем

В2—АС—{tijiyf— (а2—ul) (а2— a j)=

= a2 (ul -J-и2у—а2) —а2(|v I2— а2).

Отсюда в области дозвуковых скоростей ( |Р |< а ) уравнение газовой динамики эллиптического типа, в области сверхзвуко­ вых скоростей (|Р |> > а ) — гиперболического типа, на поверх­ ности раздела этих областей — параболического типа.

Рассмотрим теперь в области Gcz.Rn—{ x = (x i,... ,х„)} урав­ нение (1.4), которое запишем в виде

Коэффициенты щк(х) будем предполагать непрерывно диффе­ ренцируемыми.

Пусть в области G существует решение и(х) уравнения (1.4). Пусть также в области G расположена гладкая поверх­ ность 5 и пусть известны значения на S решения и(х) и его производных первого порядка. Поставим задачу: найти значе­ ния на поверхности 5 всех старших производных решения и(х).

Покажем сначала, что не при всякой гладкой поверхности 5 поставленная задача разрешима однозначно. Поверхности 5, на которых значения старших производных решения уравнения (1.4') находятся по значениям самого решения и его произ­ водных первого порядка неоднозначно, называются характери­ стиками уравнения (1.4). В силу неоднозначности определения старших производных на характеристиках они могут терпеть разрыв при переходе через характеристику по некасательному к ней направлению, тогда как решение и производные первого

(параболический в широком смысле тип).

Уравнение (1.4'), эллиптическое в каждой точке области, называется эллиптическим в области. Аналогично определяют­ ся уравнения гиперболического и параболического типов в об­ ласти.

В дальнейшем уравнение параболического в узком смысле типа будем называть параболическим уравнением.

ГЛАВА 2

ТИПОВЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ

§ 2.1. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Рассмотрим задачу о распространении тепла. При нерав­ номерном распределении температуры в теле возникают теп­ ловые потоки от участков с более высокой температурой к