книги / Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики

GMO= 0. Тогда и в плоскости £ поток на бесконечности будет направлен также: 0joo=O, причем в силу первой из формул (6.140) F;oo= Vzoo/2. Распределение скорости Уц на поверхности цилиндра Si определяется равенством (6.133), которое теперь принимает вид

На основании первой из формул (6.139), выражений (6.143) и (6.142) для скорости VP на руле Жуковского получаем соотно­ шение

последовательно получаем

T. e.

Kp= 2V ’z»|sin0|

(R cos 0— e)2+ R2sin2 0 W /?2cos 20— 2e/? cos 0+ e2

(6.146)

Формула (6.146) определяет распределение скорости на руле Жуковского параметрически в виде функции угла 0 на цилин­ дре. Поэтому необходимо выразить аналитически соответствие между точками Reie цилиндра Si и точками руля Жуковского S. Это соответствие устанавливает отображающая функция (6.141). Полагая в ней £=J?e‘° — е, получаем

Формулы (6.147) относят каждой точке (R, Q) на цилиндре Si точку (х; у) руля Жуковского S, а формула (6.146) определяет значение скорости в этой трчке (х, у). Таким образом, форму­ лы (6.147), (6.146) в параметрической форме определяют рас­ пределение скорости на руле Жуковского, т. е. обтекание руля Жуковского.

Рассмотренные примеры обтекания круглого цилиндра и профиля Жуковского относились к случаю безотрывного обте­

стины струи простираются до бесконечности; в застойной зоне за пластинкой устанавливается давление, равное давлению на бесконечности рж. Поэтому в соответствии с уравнением Бер­ нулли

устанавливающим связь между давлением р и скоростью v в любой точке потока, скорость жидкости на струе us=i/«. и, в частности, vs.oo = üco.

Найдем комплексный потенциал обтекания плоской пласти­ ны при указанных условиях. Использованный выше прием кон­ формного отображения области течения на некоторую канони­ ческую область, для которой комплексный потенциал известен, не может быть непосредственно применен в рассматриваемой задаче, так как граница течения в плоскости г, т. е. форма струй, неизвестна. Следовательно, для решения задач струй­ ного обтекания нужно выработать иной подход. Очевидно, что задача обтекания будет решена, если будет найден комплекс­

потенциала w в данной задаче легко устанавливается. Отме­

лексной скорости) легко устанавливается в данной задаче. Но тогда, если удастся конформно отобразить области изменения

максимума, установленного для гармонических функций в § 6.1, потенциал ср при движении от х = — сю до х —+оо вдоль любой линии тока tj?=const монотонно изменяется так же от —оо до +оо. Аналогично функция тока ф при движении вдоль любой эквипотенциальной линии <р=const монотонно изменяется или от —оо до +оо, или от — оо до 0, или от 0 до +оо (два пос­ ледних случая соответствуют движению по эквипотенциальной

и та же положительная часть действительной оси (на пластин­ ке и струях, где ф = 0, потенциал ф изменяется от 0 в точке А до +оо в точках С, соответствующих z —оо). Для того чтобы сделать соответствие взаимно однозначным, проведем на плос­ кости w разрез вдоль положительной части оси ф; тогда обла­ сти течения на плоскости z будет соответствовать (взаимно однозначно) вся плоскость w с разрезом вдоль положительной части действительной оси (рис. 6.29).

Установим теперь вид области изменения производной

где V, 0 — соответственно модуль и направление скорости. Оче­ видно, что на участке АВ угол 0=я/2, а 1/и, изменяется от оо

в точке А до 1/ц« в точке В. Следовательно, участку АВ плас­ тинки соответствует отрезок А'В' мнимой оси в плоскости Ç (рис. 6.30). Аналогичная картина имеет место и на участке AD.

на плоскости £ область D, лежащая правее контура A'D'C'B'A' (в силу сохранения направлений обхода при конформном ото­ бражении) . Остается установить конформное соответствие меж­ ду областью D на плоскости £ и плоскостью w с разрезом. Отобразим обе эти области на верхнюю полуплоскость вспомо­ гательной плоскости со (рис. 6.31)

Линия A'D'C'B'A' является нулевой линией тока при обтекании круглого ци­ линдра радиуса l/v*, потоком, который имеет на бесконечности направление, параллельное оси т). Поэтому комплекс- № . ный потенциал соответствующего тече­

где Voo— неизвестная пока скорость на бесконечности фиктив­ ного потока в плоскости £. При £=/г) и t>= e i0/voo имеем ImcD=0 (это сразу следует из (6.132) и преобразования £=щ, но мо­ жет быть проверено и непосредственно) и, кроме того, £ = о о

соответствует <о=оо. Следовательно, функция (6.150) действи­ тельно конформно отображает область D на верхнюю полу­ плоскость со при соответствии точек, указанных на рис. 6.30 н 6.31. Так как координаты точек В', D' равны (0, ±1/ооо), то

костью w, обеспечивающая указанное на рис. 6.29 и 6.31 соот­ ветствие точек, очевидна

Подставляя в формулу (6.150) выражения (6.151), (6.152), находим

Интегрируя полученное выражение на отрезке [0, w] и учиты­

Точке В пластинки соответствует г= й /2 , где h —: высота плас­

тинки. В то же время в точке В" имеем ю = —а = — 1 /|/”сГ В результате из формулы (6.154) находим

Ус — f "yVс

Формула (6.156) определяет параметрическое выражение для модуля скорости на пластинке. Соответствующие точки на ней находятся по формуле (6.154) при w = tp, z=iy.

=рJК f - f } J (4 —°

о о

и если подставить сюда выражение (6.156), то в результате элементарных вычислений получаем

где Сх — безразмерный коэффициент сопротивления пластинки.

ГЛЛВА 7

ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ

Весьма привлекательна идея сведения обыкновенного диф­ ференциального уравнения к алгебраическому, уравнения в частных производных относительно функции двух аргумен­ тов— к обыкновенному дифференциальному уравнению, уравне­ ния в частных производных относительно функции п аргумен­ тов— также к уравнению с частными производными, но отно­ сительно функции п— 1 аргументов, поскольку уменьшение числа аргументов в уравнении, как правило, упрощает его реше­ ние. Добиться уменьшения числа аргументов любого из этих дифференциальных уравнений (в случае их линейности) прин­ ципиально возможно с помощью интегрального преобразова­ ния. Рассмотрим построение интегрального преобразования на примере сведения обыкновенного линейного дифференциально­

Для того чтобы обратить в нуль первый член в правой час­ ти равенства (7.11) и обеспечить сходимость несобственного интеграла (7.12), следует наложить ограничение на функцию а(р) и поведение y(i) при /-►оо. Потребуем, чтобы

где Mo, so — постоянные, причем s0^ 0 , Л10> 0 . Число s0 назовем показателем роста функций y(t); для ограниченных функций показатель роста so=0.

При y(t), удовлетворяющей условию (7.16), имеем

e - a , ( s , 0)/ \ y ( t ) \ - * £ M 0

откуда видно,-что равенство (7.15) выполняется, если

Перейдем к нахождению изображения У2(р) второй производ­ ной. Записывая Yi(p). согласно (7.3), учитывая при этом (7.9)