книги / Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики

другую функцию Ф(а) по правилу

Преобразование (7.25) существует, если <р(t) на любом конеч­

Формула (7.26) определяет обращение функции Ф(сг) в каж­ дой точке непрерывности tp(t), С целью получения обращения преобразования (7.24) с помощью обращения преобразования Фурье необходимо:

1) заменить нижний предел /= 0 в интеграле (7.24) на t = —оо, что возможно, если потребовать

Требование (7.27) допустимое, поскольку решение задачи Коши однозначно определяется при tf>0 начальными условиями (7.10) н, следовательно, при /< 0 можно доопределить решение произвольно;

2) положить «2 (s, а )= а , и так как аь аг — соответственно

действительная и мнимая части аналитической функции а(р), то тем самым определяются à\(s, a )= s и а(р) = s - f io=p. При этом преобразование (7.12) принимает вид

7.1);

3) зафиксировать параметр s, положив s = s * > s 0-

+«•

j r(s* + /0)e'»'rf«

----00

y ( t ) = J - С K(s*-l-w)e('+«V«.

Рис, 7.1 Рис. 7.2

Переходя к первоначальной переменной p = s+ io и учитывая, что под интегралом s=s* фиксировано, в силу чего dp=ido, окончательно получаем

со

s * — I со

где интегрирование ведется в комплексной плоскости р вдоль любой вертикальной прямой, проходящей правее точки s0 (рис. 7.1).

Преобразование (7.28) называется преобразованием Лапла­ са, интеграл (7.28) — интегралом Лапласа, формула (7.30) дает обращение преобразования Лапласа (в точках непрерывности оригинала y(t)).

При построении преобразования Лапласа и его обращения на оригинал y(i) были наложены ограничения (7.16), (7.27). Если к этим ограничениям добавить упоминавшееся выше требо­ вание непрерывности или кусочной непрерывности функций y(t), Ф(/), то окончательно определение оригинала, не обязательно являющегося решением уравнения (7.1), выглядит следующим

образом.

Функцию y(t) назовем оригиналом по Лапласу, если

1) y(t) непрерывна на (0, оо) или кусочно-непрерывна на любом конечном интервале, принадлежащем (0, оо) ;

Sl — So

Как видим, интеграл Лапласа при s>So мажорируется сходя­ щимся интегралом, зависящим от параметра р (неравенство (7.33), где s = Rep), а при s > s i> s 0 мажорируется сходящимся интегралом, не зависящим от параметра р [неравенство (7.34)]. Следовательно, интеграл Лапласа не только сходится при s>s<j»

но и равномерно сходится при s^Si>So-

Аналйтичность изображения. Из курса теории функций ком­ плексного переменного известно, что если функция ф(р, i) аналитична по р и кусочно-непрерывна по t для всех р в одно­

равномерно сходится в области D, то он является аналитиче­ ской функцией в этой области и его можно дифференцировать по параметру р под знаком интеграла. На основании этого из доказанной выше равномерной сходимости интеграла Лапласа

в полуплоскости Rep^Si>So, кусочной непрерывности оригина­ ла f(t) и аналитичности функции е~р* следует, что F(p) аналитична в указанной полуплоскости и

т

О

или

т

(7.36)

О

Асимптотическое поведение изображения на бесконечности. Переходя в неравенстве (7.33) к пределу при R ep = s-> оо, по­ лучаем

Пере­

установим некоторые простейшие свойства преобразования Лапласа, определяющие, в частности, правила отыскания изоб­ ражений в различных случаях.

$ 7.2. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

где ch с2— произвольные постоянные.

Свойство линейности интегрального преобразования общего вида (7.2) отмечалось выше и с его помощью было получено изображение (7.4) дифференциального уравнения (7.1). Ис­ пользуем это свойство для получения изображений тригоно­ метрических и гиперболических функций.

где а — любое положительное число, также является оригина­ лом и

Действительно,

I l f (a t ) ] = ^ f { a t ) e r * 4 l t =

1

а

что соответствует формуле (7.40).

Пример. На основании формул (7.39), (7.40) находим изоб­ ражение sin at:

sinctf=—-------- !------- .

*a (p /а)2 + 1

Аналогично находим изображение cos a t, sh at, chat. В резуль­ тате имеем

Соответствия (7.42), (7.43) получены выше в более общем виде (7.20), (7.22). Если в этих формулах положить а (р )= р и за­ менить обозначения у, Y соответственно на /, F, то придем к соотношениям (7.42), (7.43), которые, как и (7.20), (7.22), по­ казывают, что (в случае /(0) = ... = /< Л_1>(0) = 0 ) операции дифференцирования оригинала соответствует при преобразова­ нии Лапласа умножение изображения на соответствующую сте­ пень р.

Найдем изображение по Лапласу решения задачи Коши (7.1), (7.10). Полагая в формуле (7.23) a *=р, имеем

где ^ л -1 (р) — многочлен степени не выше п— 1; F{p) — изобра­

жение правой части / уравнения (7.1).

4°. Умножение оригинала на минус аргумент (дифференци­ рование изображения). Если }{t) — оригинал а если f(t)= F (p )t то

Действительно, записав изображение для —tf(t) и исполь­ зуя формулу (7.36), получаем

что соответствует формуле (7.45). Формула (7.45) показывает, что умножению оригинала на минус аргумент соответствует дифференцирование изображения. Поэтому

Отметим, что в результате умножения оригинала на степенную функцию ik снова получаем оригинал.

где интеграл понимается в смысле (7.52). Из соотношений (7.54), (7.53) вытекает соотношение (7.51) и требуемое утверж­ дение доказано.

1 Ё

оригинал, так как lim - sln— = 1. Найдем изображение функции /-*.о t

sin t . Согласно свойству (7.51), t

Последний интеграл называют интегральным синусом и обозна­ чают