книги / Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики

в силу ее однородности находится с точностью до постоянного множителя.)

Решая теперь уравнение (3.15) при А,=ЯП получаем

виям.

Будем теперь искать решение исходной задачи (3.12) в виде ряда

коэффициенты которого выберем так, чтобы и(х, t) удовлетво рялоV / ДначальнымД М V A АТА JусловиямV * A V J ^ A A / i . Подставляя пока формально ря;

(3.20) в начальные условия, получаем

, . ^ . . п лх

<р(-*)=2 И * sm ~ i

л-1

09

• , ч V I Я/2Л п • Т1ТСХ

'i> w = 2 l ~т~в " sm —}— ’

л-1

т.е. разложения начальных функций q> и ф в ряд Фурье по полной ортогональной на отрезке [0, /] системе функций (3.19).

Отсюда имеем

I

о

Убедимся теперь в том, что при условии ф еС 3ДО, /]), MJœC2 ([0, /]), ср, ф" и ф обращаются в нуль на концах отрезка [0, /];

функция и{Ху t), определяемая рядом (3.20) с коэффициентами (3.21), дает решение исходной задачи (3.12). Для этого покажем, что ряд (3 .20), а также ряд, полученный почленным дифферен­ цированием его 2 раза по tt и ряд, полученный почленным его дифференцированием 2 раза по х, абсолютно и равномерно схо­

дятся.

Рассмотрим ряды

Интегрируя по частям в (3.21) выражения для Л„ трижды и для Вп дважды, находим

niAa= n * L L J ± Г ?'"(*) cos -HfL d*=c, -i- a„,

ство Коши — Буняковского, получим

откуда следует, что ряды (3.22) сходятся. Тогда сходятся абсо­ лютно и равномерно ряд (3.20) и ряды, полученные из него дважды почлененным дифференцированием. В этом случае функция и(х, t), определяемая рядом (3.20), дважды непре­ рывно дифференцируема.

Вернемся теперь к задаче типа А в (3.5) :

Разделим в равенстве (3.27) переменные., Для этого выполним деление на Tv. Имеем MTjT— Lvfv. Так как здесь левое отноше-- ние зависит только от /, а правое только от х — (* |...»хп), то это

равенство возможно, лишь когда оба отношения тождественно равны константе. Полагая ее равной —Я, придем к системе

q>0, с краевыми условиями первого, второго или третьего ро­ да) такова, что собственные функции и собственные значения задачи Штурмана — Лиувилля (3.30), (3.31) обладают свойства­ ми, необходимыми при решении задач методом Фурье. Приве­ дем без доказательства основные из них.

1°. Собственные значения вещественны и неотрицательны.

Их счетное множество.

Перенумеруем их в порядке возрастания: Я ^ Я г ^ —^ Я т ^ ...

При этом Ят->оо при т-^оо.

2°. В силу линейности и однородности задачи (3.30), (3.31) собственные функции определяются с точностью до постоянно­ го множителя. Но линейно независимых собственных функций, соответствующих одному и тому же собственному значению, лишь конечное число. (Их можно ортогонализовать.)

3°. Собственные функции, соответствующие различным соб­

ственным значениям, ортогональны.

4°. Существует полная ортогональная система (ОС) собст­

венных функций.

Будем говорить, что функция / принадлежит классу А, если она имеет непрерывные производные порядка, не ниже поряд­

Штурма — Лиувилля, который сходится к ней в области D аб­ солютно и равномерно.

Итак, пусть {Яш} — последовательность собственных значе­ ний и {vm} — ОС соответствующих собственных функций зада­ чи Штурма— Лиувилля (3.30), (3.31).

Рассмотрим теперь уравнение (3.29) при Я=Ят :

М Т + \тТ = 0 .

Его общее решение имеет вид

/71—1

коэффициенты которого подберем так, чтобы функция и(х, t) удовлетворяла начальным условиям (3.25). Предположим, что начальные функции <р0(ХК •••> q>k-i(x) принадлежат классу А. Тогда по теореме Стеклова они могут быть разложены в ряд Фурье по ОС функций {vm(x)} . Согласно (3.25), имеем равен­ ства

Определитель этой системы линейных алгебраических уравне­ ний относительно сш, ..., Ckm

^i/n(0 ) ••• Ты (0)

есть значение определителя Вронского фундаментальной систе­ мы решений, поэтому он отличен от нуля и система (3.33) име­ ет единственное решение с*\т, ..., c*km• Ряд (3.32) при найден­ ных значениях коэффициентов дает решение задачи (3.24) — (3.26).

В качестве примера рассмотрим задачу о свободных малых поперечных колебаниях мембраны.

Пусть мембрана в положении равновесия имеет форму пря­

момент /. В § 2.3 отмечалось, что колебания мембраны описы­ ваются уравнением (2.17").

Пусть в начальный момент мембрана находилась в положе­ нии равновесия и ей была сообщена начальная скорость Vo= —const. Пусть края мембраны закреплены. Определить и(х, у,

ОV (х, y)ŒD H V t>0.

Согласно условию, и(х, у, t) должно быть решением на­

чально-краевой задачи

Сначала находим частные решения задачи (3.34), (3.36). Пред­ ставим u(x, у, t) в виде произведения T(t)v(x, у) и подставим это произведение в уравнение и краевые условия. Имеем

T,,fü—Û?T(vxx-|- Uyy)1

Tv\x-o=Tv\x„i—T v \у„0=Тъ 1^—л= 0 V / > 0 .

Разделяя в уравнении переменные

замечая, что эти отношения тождественно равны константе, и полагая последнюю равной —Я, сведем уравнение к системе

Решение задачи Штурма — Лиувилля (3.38), (3.39) будем также искать методом разделения переменных. Положим о(х, у) —X(x)Y(y). Подставляя это произведение в (3.38), по­

D

.— Hi

аУ*тп —

г0 , если п или т четные,

аУШ{2k + 1)2 + /2{2j + 1)2{2k + 1)(2/ + 1) я2

Собственные функции и собственные значения задачи Штур­

от размеров / и h прямоугольника D. Но если бы мембрана была круглая, то при нахождении собственных функций и соб-

селя (о них и. об использовании их при решении задачи Штур­ ма— Лиувилля см. гл. 4 и § 6.5 этого пособия).

Убедимся теперь в том, что собственные функции и собст­

Тогда для собственных функций vmn и их собственных значе­ ний %тп вместо выражений (3.40) имеем выражения

§ 3.3. ДВИЖЕНИЕ вязкой жидкости МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ СТЕНКАМИ

В § 2.3 были получены уравнения (2.13) движения идеаль­ ной (лишенной вязкости) сжимаемой жидкости (или идеаль­ ного газа). Для несжимаемой (p==const) идеальной жидкости уравнения движения (2.13) принимают вид

Вязкость жидкости проявляется во внутреннем трении смеж­ ных ее слоев, текущих с различными скоростями, в прилипа­ нии жидкости к находящимся в ней твердым поверхностям. Количественно вязкость характеризуется коэффициентом внут­ реннего трения, или коэффициентом вязкости р. В простейшем случае прямолинейно-параллельного движения жидкости этот коэффициент является коэффициентом пропорциональности в

оси х (предполагается, что поток течет параллельно'оси х), и — скорость движения жидкости. Как видим, для вязкой жид­ кости характерно появление касательных напряжений. В иде­ альной жидкости касательные напряжения не возникают, в ней

существуют лишь нормальные напряжения, которые называют давлением.

Уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости (урав­ нения Навье — Стокса) отличаются от уравнений (3.41) дви­ жения идеальной несжимаемой жидкости (уравнений Эйлера) наличием в первом уравнении (3.41 ) слагаемого, учитывающе­ го влияние вязкости, и имеют вид [6]

ние неразрывности div F = 0 , как следствие уравнения сохране­ ния массы, справедливо и для вязкой и для невязкой жидко­

течение жидкости параллельно оси Ох и-пренебречь действи­

Итак, любые прямолинейные течения вязкой несжимаемой жидкости, параллельные оси Ох, описываются уравнением (3.45), в котором и—и(у, z, t). Если же начальные и краевые условия не зависят от у, то и решение и уравнения (3.45) так­ же не зависит от этой координаты и при рх—0 получаем урав­

нение

чу. Пусть покоящаяся жидкость заключена в канале конечной высоты с твердыми параллельными стенками бесконечной дли­ ны и ширины. Предположим, что. в начальный момент време­

Задача состоит в установлении закона развития поля скоро­ стей в жидкости. Принимая движение жидкости плоско парал­ лельным и прямолинейным со скоростью V=uï, u=u(z, t), дав­

В задаче (3.47), (3.48) краевые условия неоднородные. Реду­ цируем ее к задаче с однородными краевыми условиями, для чего (см. § 3.1) нужно подобрать функцию U, удовлетворяю­ щую только краевым условиям. Такой функцией является, нап-

Будем решать задачу (3.49) методом Фурье, следуя которому найдем частные решения уравнения (3.42) вида

удовлетворяющие только краевым условиям (3.49). Подставляя выражение (3.50) в уравнение (3.49) и разделяя переменные,