книги / Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики

Эта теорема указывает, в частности, что не существует ана­ литической функции, осуществляющей конформное отображе­ ние конечной области на кривую или точку.

Принцип сохранения границ. Если функция w=w {z) кон­ формно отображает область D на область Д, то эта функция отображает взаимно однозначно границу То области D на гра­ ницу Гд области Д с сохранением ориентации.

Теорема существования и единственности. Если границы од­ носвязных областей D u b . состоят более чем из одной точки, то существует и притом одна функция w—w(z), конформно отображающая область D на область Д так, что w(zo)=Wot

З а м е ч а н и я . Условия

w (z0) — W О, W (Zrz) ) = w c д ,

задающие соответствие пары внутренних точек z0, w0 и пары

граничных точек zjb, ^гд» обеспечивают единственность отобра­ жения. Без учета этих условий существует бесконечно много функций w —w(z), конформно отображающих односвязную область D с границей, состоящей более чем из одной точки, на однос^язную область Д с аналогичной границей. В качестве ус­ ловий, обеспечивающих единственность конформного отображе­ ния, можно использовать также следующие

w (zQ)= w 0, aigw' (zQ)= aQ

или

w (z-pui)=WrM, i = 1 »2,3.

В первом случае задается соответствие пары внутренних точек Zo, wo и угол поворота направлений (векторов) в точке ZQ. Во

втором — соответствие трех пар граничных точек.

В условии теоремы указано, что границы отображаемых односвязных областей состоят более чем из одной точки. Это означает, что теорема не распространяется на расширенную плоскость и расширенную плоскость с выколотой точкой, для которых конформное отображение на односвязную область во­ обще не существует (например, на единичный круг).

Из условия теоремы следует также, что она относится к односвязным областям. В случае неодносвязных областей воп­ рос существования конформного отображения является более сложным. Даже для простейших двусвязных областей не всегда существует конформное отображение.

Рассмотрим два примера конформных отображений, кото­ рые в дальнейшем используются для решения задач гидроаэро­ динамики.

листность, поскольку/обратная функция z —y w имеет п раз-

Рис. 6.21

личных значений в любой фиксированной точке w^O). Одно­ листность нарушается там, где одному значению функции w соответствуют, по крайней мере, два значения аргумента, т. е. там, где

Отсюда, полагая Zi=rie**', на основании правила вычисления корня находим, что

модуль, что и z u но аргумент, отличающийся на 2л/л (точки А, В на рис. 6.21, а). Следовательно, однолистность имеет место для

и, следовательно, ,

Рис. 6.23

Отсюда видно, что окружностям r= co n st> l соответствуют эл­ липсы с полуосями

угол <р изменяется от 0 до 2п, отрезок [— 1, 1] проходится дваж­ ды (рис. 6.23, б), т. е. однолистность нарушается, что отмеча­ лось выше. Если же сделать разрез вдоль отрезка [— 1, 1] и от­ нести (рис. 6.23, б) верхнему берегу разреза верхнюю полу­ окружность АВС, а нижнему берегу — нижнюю полуокружность CDA, то преобразование Жуковского станет однолистным в об­

ветствует вся плоскость w, которая, однако, «занята» образами точек внешности единичной окружности. Чтобы преодолеть это

вание Жуковского стало однолистным при любом z на постро­ енной двулистной поверхности, которая называется римановой поверхностью функции Жуковского. Применение функции Жу­

ковского в задачах гидроаэродинамики рассмотрено ниже. Рассмотрим теперь гидромеханический смысл производной

аналитической функции. Пусть течение идеальной несжимае­ мой жидкости в области D плоскости XOY стационарное и без­ вихревое и в этой области нет стоков и источников. Обозначим через V==uï+v] поле скоростей частиц жидкости. Тогда rot V— = 0 , div F = 0 . Следовательно, поле V потенциально и для его потенциала ф(дг, у) имеем

Vr=grad«>, div V = d iv grad <р=Дср=0.

Рассмотрим функцию ty(x, у), связанную с <р(х, у) условия­ ми Коши — Римана

т. е. ф(лг, у) — гармоническая функция.

Гармоническая функция ф, связанная с гармонической функцией <р условиями Коши — Римана,, называется сопряжен­ ной функции <р.

нее линии уровня функций ( риф также ортогональны. Но тог­ да линия уровня /: ф(я, #)==const (ортогональная gradгр) ка­

т. е. производная комплексного потенциала является сопряжен­ ной комплексной скоростью.

Рассматривая произвольную аналитическую функцию / (г) = как комплексный потенциал течения, устанавливаем гидромеханический смысл ее производной: /'(г) является со­

пряженной комплексной скоростью.

Заметим теперь, что при безотрывном обтекании твердой стенки идеальной жидкостью вектор скорости V направлен по касательной к стенке и, следовательно, она является линией тока. Поэтому в течении с каким-либо комплексным потенциа­ лом молено любую линию тока заменить твердой стенкой и

комплексный потенциал будет описывать обтекание этой твер­ дой стенки (принцип отвердевания). Поясним на примере.

Рассмотрим комплексный потенциал

Таким образом, линией тока рассматриваемого течения явля­ ется, в частности, окружность (6.129) радиуса R с центром в нуле. Следовательно (принцип отвердевания), комплексный потенциал (6.127) определяет обтекание бесконечного (в на­ правлении оси Oz) круглого цилиндра радиуса R. При таком обтекании поле скоростей определяется сопряженной комплекс­ ной скоростью

ние бесконечного круглого цилиндра плоскопараллельным по­ током жидкости, скорость которого на бесконечности равна Voo—k и параллельна действительнойоси. Формулу (6.127)

можно переписать в виде

. (6.132)

Из формулы (6.128) следует, что линии тока, соответствующие отличным от нуля значениям постоянной. С, располагаются, как изображено на рис. 6.25.

+ t il= I(л, У)+Щ(х* У)* что эквивалентно двум равенствам

реализует конформное отображение внешности профиля 5 на внешность профиля Si, причем бесконечно удаленные точки плоскостей z и £ переходят друг в друга. Рассмотрим аналити­ ческую функцию w(z) = w[t)(z)]i которая получается из ку(£) заменой £ на £(z), т. е. заменой переменных £, TJ функциями (6.136) . Выясним, комплексным потенциалом какого течения на плоскости z является функция w (z) =w[t,(z)]. Учитывая вы­ ражения (6.134) и (6.136), имеем

o>[£(z)] определяет обтекание заданного профиля S на плоско­ сти Oz. Из изложенного следует, что для получения потенциа­ ла w[£(z)], т. е. для отыскания потенциала обтекания контура произвольной формы, нужно знать функцию £(z), осуществляю­ щую конформное отображение внешности этого контура на внешность какого-либо канонического контура (например, круглого цилиндра) и комплексный потенциал о>(£) обтекания канонического контура. Предположим, что обе эти функции из­ вестны. Тогда комплексная скорость течения в плоскости z определится формулой

получаем следующие соотношения между абсолютными вели­ чинами и направлениями скоростей в плоскостях z и £:

Параметры потока на бесконечности в плоскости £ определя­ ются формулами, вытекающими из равенств (6.139)

после чего потенциал до(£) [см. (6.132)] полностью известен.