Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

14.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2120 21 > Следующая >>>

L If {t —T)] = f /	(t- x) e - p*dt= e~pz [ f { i - x ) z ~ p{l~x)d (i—x)=
°		о
oo		^
= e_pc j f	(и)е-р*с1и=е-Рх j f		(a)e-pud ti= e - pzF(p),
что. согласуется	с формулой (7.58). При			доказательстве	было
использовано свойство		3° оригинала: f(u) = 0 при и<С.О,			т. е.
при Ü œ [—т, 0).
8°. У м н о ж е н и е		о р и г и н а л а	на	п о к а з а т е л ь н у ю
ф у н к ц и ю . Если f{t) — оригинал и f(t)=F(p), то
		^ f ( t ) = F ( p - l ) ,			(7.59)

где Я— любое комплексное число.

Действительно, произведение показательной функции и ори гинала является оригиналом и

ô;

Пример. Найти изображение произведения e3*sin(/—4). По теореме запаздывания

sin(t —4) = е - ^ -----!----	;
Р* +	1
тогда согласно свойству (7.59)
е3/sin ( /—4 ) = е - 4^ - 3>------- !----------.
(/> - 3 )2 + 1
§7.3. СВЕРТКА
Пусть /(/), ф ( 0 — два непрерывных	оригинала.	Сверткой
оригиналов f(t), (p(tf) называют интеграл
/ * ? = [ f(T)<?(t~x)dx.		(7.60)
о

Очевидно, свертка /* ф является функцией параметра t. Сверт ка обладает свойством симметрии, т. е. /*ф =ф * /, или, под робнее,

(7.61)

В справедливости формулы (7.61) легко убедиться, положив, например, в интеграле в левой части равенства u—t—т.

Свертка оригиналов является оригиналом. Действительно, во-первых, интеграл (7.60) — непрерывная' функция параметра

t. Во-вторых, при отрицательных t переменная интегрирования

тпробегает отрицательные значения, т. е. аргумент оригинала f(t) отрицательный; тогда оригинал равен нулю (свойство 3°

Лн\|^	оригинала) и, следовательно,равна ну-
	лю свертка. Наконец, так	как /(/),
	ф (/)— оригиналы, то справедливы сле-

Ждующие оценки:

	Обозначая	iWo=max(Mi,		М2),	5 о =
Q фш/жшмтшмж^ = m ax(si,		s2),	получаем,	что для лю
Рис. 7.5	бых t
Рис. 7.5	I/ (О I < Мйе*о',		1? (О \| < М0е *		(7.62)
	I/ (О I < Мйе*о',		1? (О \| < М0е *		(7.62)
и	»	*
/•< Р \|=	J/(t)ûfT^(/ — r)^t\|< Г\|/(T)\|\|<p(/ —T)lû?t<
<	/ .	6
<	М20f &'es<‘- c)dx=M2estf< M 2e<+l>*,

T. e. свертка растет не быстрее экспоненты. Как видим, свертка (7.60) удовлетворяет всем трем свойствам оригинала и поэто му является оригиналом.

Найдем изображение свертки. Очевидно, что

••	t
L I / •ç]= J e - p,dt	f / (т) df {t - x) dx.	(7.63)

Рассматривая в равенстве (7.63) повторный интеграл как двойной интеграл по области, изображенной на рис. 7.5, т. е. по внутренности угла раствора я/4, и изменяя порядок интегри рования [что допустимо в силу абсолютной сходимости двой ного интеграла (7.63)], получаем

оо
£[/*<?]=!/(Т)д?Т Г	(t—x ) d t =

N O Ù

/(T)e-^rfT Г©(/—T)e-*<<- t>flW—т)=

Q~P*dX1? (и) erPad u = F (р) Ф (p)t

т . e .

где F(p), Ф (p ) — соответственно изображения оригиналов f{t), cp(t). Таким образом, свертка оригиналов /*ср имеет изобра жением произведение .РФ изображений этих оригиналов или, ко роче, свертке оригиналов соответствует произведение их изоб ражений. (Этот результат часто называют теоремой умноже ния.) Из теоремы умножения следует, что если некоторое изоб ражение можно представить в виде произведения F(p)(b{p) и для множителей оригиналы /(/), <р(/) известны, то оригиналом всего произведения является свертка. Следовательно, теорема умножения решает задачу обращения для изображения, имею щего вид произведения F(p)<b(p).

Пример. Найти оригинал по изображению------— г . Так как pi — 1

1	==sin	•= sh /,

p2 + 1

то в силу теоремы умножения

Г sin tsh (/—x)dx.

p i - \

Из теоремы умножения можно получить полезное следствие. Запишем формулу (7.64) подробнее

\ f ( . x ) f it - x ) d x ^ F ( p ) 0 ( p ) .	(7.65)
О
Дифференцируя свертку (предполагается, что /(*)» ф(0	непре
рывно дифференцируемы), получаем
t	( 7 .6 6 )
( 7 ( Т ) ? ' ( r - т ах)+ / (t)f(0)=pF ( р ) Ф (/?).	( 7 .6 6 )

Если воспользоваться свойством симметрии свертки (7.61) и пе реписать равенство (7.65) в виде

V - ï ) d x = F {p W W ,

( 7 . 6 7 )

[ 9№ / V —г) й т + ? ( 0 /( 0 ; = /) /Г(р)Ф(/)).

Формулы (7.66), (7.68) известны как формулы Дюамеля. Из них следует, что если некое изображение может быть приведе но к виду pF{p)Q>{p) и для множителей F{p), Ф(р) оригиналы f(t), <p(f) известны, то оригинал всего произведения рР(р)ф(р) определяется любой из формул (7.66), (7.68).

Пример. Найти оригинал по				изображению	------(P4 -	— .	Так
как					------(P4 -	1)
как	1
	1	ф sin/,		= s h f ,
	/>2 + 1			•	9
	/>2 + 1
то по формуле Дюамеля			(принимая f ( t ) = sin/, <pi(f)=sh/)				на
ходим
	t			t
—	^ Js*n T		~ T) dx—Jsh t cos (i —t) d t ,

причем первый из интегралов соответствует формуле (7.66), второй — формуле (7.68).

§ 7.4. ОБРАЩЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА. ТЕОРЕМЫ РАЗЛОЖЕНИЯ

Теорема умножения и формула Дюамеля позволяют найти оригинал для изображений частного вида F(p)Q)(p) и pF(p)Q){p) при условии, что оригиналы /(/), (p(f) известны. В общем же случае формула, обращающая преобразование Лапласа, имеет [см. (7.30)] вид

I
i* + to o		$ * + /< »
/ ( О = -^ 7 - j	F(p)eP>dp,	j	= lim j	,	(7.69)
s * — loo		S*— /оо	s * — ta
где S* > SQ — произвольно	фиксированное		значение	s.	Исполь

зуя методы теории функций комплексного переменного, можно получить компактные формулы для вычисления интеграла (7.69). Рассмотрим интеграл от F(p)eP* по замкнутому конту ру Гд, изображенному на рис. 7.6 и состоящему из отрезка прямой (s*—ib, s*+ïb) и дуги окружности Сл, причем предпо лагаем, что дуга CR не проходит через особые точки изображе-

ния F(p). По основной теореме о вычетах

!	s * + t b
	Г	F (р) ^Pdp-\ “ т f
2я/			* Pk
		cjj

(7.70)

где P* — особые точки изображения F(p), лежащие внутри кон тура интегрирования и пронумерованные в порядке неубывания их модуля. Будем теперь дискретно увеличивать радиус R ду ги cR так, чтобы в каждом ее новом положении на ней не ока зывалось особых точек изображения F(p). Предполагается, что это возможно. Формула (7.70) верна для каждого из новых по ложений дуги Сп и в пределе при <х> (очевидно, что тогда Ь-*-оо) получаем

J*+/~

—	Г F {р)£Р*d	p	——	f F (р) ер*с1р =	^	res F(p)epl.
2я/	J		2Kl	J	ь	Pk
				C n	R	(7.71)
						(7.71)
Можно доказать, что если изображение F(p)					аналитично в
бесконечно удаленной точке и				lim F (p)= 0, то
		lim	f F(p)e.ptdp —0.			(7.72)

■R

(Этот результат известен как лемма Жордана.) При этом ра венство (7.71) упрощается и, учи тывая соотношения (7.69), его мож но записать в окончательном виде

/ ( 0 = У г е з

(7.73)

ь pk

где суммирование ведется по всем особым точкам изображения F(p). Формула (7.73) определяет ориги нал в виде разложения в ряд из вы четов произведения F(p)ept и ее на зывают основной теоремой разло жения.

Рассмотрим частный случай, когда особые точки рн изображения F(p) — простые полюсы. В окрест

ности простого полюса F(p) представима в виде

P Pk

где ф(р)— аналитическая	функция, <р(р*).
е = ф ( Р й ) . Поэтому
Фf	=<р(/>*)
res F (р) еР‘= res	=<р(/>*)

Р> Pk

и разложение (7.73) упрощается:

/ W = 2 (i'V KsF(P)-

ф о и TesF(p) =*

Рк

res F (р) Рк

(7-74)

Рассмотрим теперь случай, когда изображение F(p), аналитичное в окрестности р=схэ, задано в виде лорановского разло жения в этой окрестности:

Т='С/')=2-£х - -

(7.75)

ft-I Р

Основная теорема разложения не может быть использована, поскольку особые точки F(p) явно не фигурируют в выраже

нии (7.75). Однако, учитывая равномерную сходимость ряда

(7.75) при больших \|р\|, его можно, умножив на	1	где
	2я/

t —любое положительное число, почленно проинтегрировать по

замкнутому контуру Гд, изображенному на рис. 7.6. В резуль тате получим

1	ф р ю	+ а р - ^	ф ^	а р .	(7.76).
2л/	г*	*-1	гд	Р
Так как	г*	*-1	гд	Р
Так как
		1	lim	d*-1
			p-fо dp

/а- l

( Л - 1)1’

то

TR *~l

Полученное равенство выполняется для любых достаточно боль ших \p\=R. Переходя в равенстве (7.76) к пределу при #-*-оо,

замечая, что предел интеграла в левой части равенства совпа дает с левой частью равенства (7.71), и учитывая равенство (7.72), получаем

/ « > = 2

g-а

й-i ( Л - 1)1

Итак, доказана теорема разложения оригинала аналитическо го в окрестности р = о о изображения (7.75). Оригиналом явля ется ряд (7.77), умноженный на т](/), который формально по лучается из ряда (7.75) применением известного [см. (7.48)] соответствия

1 ^

tk~ l

Р* ' ( * - 1 ) 1 *

Разложение (7.77) получено для любых положительных t, т. е. ряд. (7.77) сходится на всей комплексной плоскости t и пред ставляет, следовательно, целую функцию. Используя разложе ние (7.77) и известные оценки для коэффициентов ряда Лорана

/5 = 1 ,2 ,...,

легко проверить справедливость неравенства

|/(/)|< М /? е х р (/? |/|),

показывающего, что сумма ряда (7.77) растет не быстрее экс поненты, что и должно иметь место, поскольку /(/) — оригинал.

Пример. Найти оригинал изображения F ( p ) = — е*1/?.

Представляя е-1/^ в виде ряда Лорана в окрестности р = оо, по лучаем

	( — о*
*-о	к ! р fe+l
Применяя теорему разложения	(7.75), (7.77), находим ори
гинал

t»

/ w = 2 ( - I ) * (к !)2

*-о

Полученный ряд является функцией Бесселя первого рода. Дей ствительно, полагая t== (т/2)2, находим

	(х/2)2*
/ ( / f ) = 2 ( - 1)S	( £ ! ) 2 =У 0(т)=У0( 2 ^ ) .
»-о

± e - V ^ / 0 (2 ]/•<).

В заключение приведем без доказательства достаточные усло вия, при которых аналитическая функция является изображе нием [см. (4), (5)]. .

Если	F(p), p —s-^ia — аналитическая функция в полуплос
кости R e p > s 0 и ПРИ всяком
1) J	\| F(s*-{-ia)\da сходится;

—СО

2)F{p)-+0 при Rep ^ s* , |р|-мх>, то F(p) является изобра

жением, а функция

$ ♦ 4-/ со

/ ( / ) = _ J — С F (р)eptdp

J	2я* J
	S*— I со

— соответствующим ему оригиналом.

§ 7.5. ВРАЩЕНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА, ЗАПОЛНЕННОГО ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ

Пусть неподвижный круглый цилиндр радиуса а и бесконеч ной длины заполнен вязкой жидкостью (рис. 7.7). В момент Ь= = 0 цилиндр внезапно начинает вращаться с постоянной угло вой скоростью ш и под влиянием сил внутреннего трения при ходит во вращение и жидкость. Считаем движение плоским,

траектории частиц жидкости круговыми, а действием массовых сил пренебрегаем.

©что параметры движения не зависят от осевой координаты z. Наличие круговых траекторий у жидких частиц, в свою оче редь, означает, что радиальная и осевая составляющие скорости равны нулю, т. е.

vr= 0 и Vz= 0, и следовательно, единствен ной отличной от нуля составляющей скоро-Плоскопараллельность течения означает,

Рис. 7.7 сти является составляющая по касательной _к окружности Vo. При этом из уравнения неразрывности d iv y = 0 , которое в цилиндрических координа

тах имеет вид

àvr '	»	vr	I	1	dvQ .	àvz __n
dr	'	r	T	r	db '	dz U’

следует, что dvg/dQ=0, т. e. течение является осесимметричным и, следовательно, можно считать, что и др/(50= 0, где р — дав ление в жидкости. Так как течение плоское и осесимметричное, то

T. e. скорость и давление не зависят от координат z и 0. Как отмечалось, уравнение движения вязкой несжимаемой жидко сти в векторной форме имеет вид (3.42), откуда можно полу чить уравнения движения в цилиндрических координатах

'--1-г,

д.°г

v> dvr

<71

dvz

î _

I иг л

дг

1 v ,г

, -

- i £ - + v (

Avr—

98 /

Г2

dvo

—ГГ- H——

а1ч

Vz- д

vrvt

= < F .~

-|—v/iHn

V n

àvr

(30

~r2

âT

àitz

àvz

-\-V

duz _

___ L дР

(7.79)

dz i-1®r'

где оператор Лапласа

Д = . а*

9 2

9г2

1 • /■

9г

/*2

982

1 9z2

Если в этих уравнениях положить F—0, vr—0, vz= 0 и учесть зависимости (7.78), то получим (полагая v0= u ) следующие уравнения:

		у2 ___1_		dp т		(7.80)
		г '	р	dr	1

dv		d2v	,	1 dv		(7.81)
dt	f—		+
	\(	dr?*	‘1 r dr			Ï-*)1

Уравнение (7.80) определяет величину давления после того как найдено распределение скорости v и, следовательно, основной задачей является отыскание решения уравнения (7.81). Для скорости v имеются очевидные начально-краевые условия

*п(г,0)=0, v(a,t)=®a,

(7.82)

причем краевое условие (7.82) соответствует прилипанию жид

кости к стенке цилиндра.	(7.81) — (7.82) опе
Будем решать начально-краевую задачу
раторным методом, используя преобразования Лапласа
V (г, р)= J QrP*v {r%t)dt.	(7.83)

Переходя в краевом условии (7.82) от оригиналов к изображе ниям, получаем краевое условие для изображения

-о (а,/)= = К (а,р )= -----

(7.84)

Применяя преобразование Лапласа к обеим частям уравнения (7.81) , имеем

p V - v ( r , 0) = » ( - £ £

или

(7.85)

Уравнение (7.85) с помощью подстановки \~V~phr приводится к виду

dW	d V
£2 dt2	(Ê2+ 1 )^ = 0 .
£2 dt2	d%

Последнее уравнение является уравнением Бесселя при v = l и имеет общее решение

V = A I 1( t ) + B K l V;),

где /i(Ç)f tfi(Ê) — функции Бесселя мнимого аргумента первого,

и второго рода. Следовательно, общее решение уравнения
(7.85) имеет вид
V = A I x{qr)-\-BKi{qr)>	q=^TpjT.
Поскольку функция K\{qr) обращается	в бесконечность на оси

цилиндра г = 0 , в полученном выражении следует положить В = = 0 и тогда изображение искомого решения принимает вид

V —A îx (qr), q=Y~Ph-

(7.86)

Удовлетворяя краевому условию (7.84), получаем

AIx{qa)= (ÙÜ Ï	toа
р	P h {Яа)
и, следовательно,
V (г, р)—т h {Яг)	(7.87)
p iliq a )	*

Изображение решения найдено и остается выполнить об ратный переход к оригиналу. Как известно (см. § 4.7), функция 1\(х) имеет чисто мнимые корни, связь которых с корнями функции Бесселя действительного аргумента легко установить, используя соотношение

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2120 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
19.11.202333 Mб0Методы исследования надежности низковольтных аппаратов..pdf
#
12.11.202312.32 Mб9Методы исследования центробежных компрессорных машин..pdf
#
12.11.20237.68 Mб3Методы качественного анализа в динамике твердого тела..pdf
#
12.11.2023224.55 Кб1Методы лингвистического анализа..pdf
#
19.11.202353.4 Mб2Методы математического моделирования рудничных аэрологических процессов и их численная реализация в аналитическом комплексе Аэросеть..pdf
#
12.11.202314.42 Mб7Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики..pdf
#
12.11.20232.07 Mб4Методы нанесения покрытий..pdf
#
12.11.20235.52 Mб0Методы научных исследований..pdf
#
12.11.202310.92 Mб2Методы обеспечения надежности изделий машиностроения..pdf
#
12.11.20239.17 Mб7Методы оптимального проектирования..pdf
#
12.11.202313.27 Mб2Методы оптимизации эксперимента в химической технологии..pdf