книги / Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики
..pdfполучаем
T* 74
T Z ^ T Z \ — = — = _ x ,
vr Z
где X— постоянная. Отсюда имеем
|
|
|
|
|
7' + vXr=0,' |
|
|
(3.51) |
||
|
|
|
|
|
Z"+XZ = 0. |
|
|
(3.52) |
||
Подставляя выражение |
(3.50) |
в |
краевые условия (3.49), най |
|||||||
дем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z (0) = 0 , |
Z (A )= 0. |
|
|
(3.53) |
||
Для функции |
Z(z) |
получена |
|
задача |
Штурма — Лиувилля |
|||||
(3.52), |
(3.53). |
Решая |
ее подобно тому |
как |
в § 3.2 решалась |
|||||
задача |
(3.16), |
(3.17), |
получаем |
|
|
|
|
|
||
|
Z n — sin |
Л2£ - , |
|
Af |
п = 1 ,2 , .... |
(3.54) |
||||
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
Уравнение (3.51) |
при |
Х=Хп имеет общее |
решение |
Tn(t) = |
||||||
= с пехр(—Xnvt) |
и функция (3.50) |
принимает вид |
|
|||||||
|
|
vn(z ,t)= c ne~Xn',t sin |
|
, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
где сп — произвольные постоянные. Учитывая линейность и од нородность уравнения и краевых условий (3.49), решение за дачи (3.49) будем искать в виде ряда
т;(г,0 =у2 |
X/,V*sin |
пт |
(3.55) |
|
' л-1
коэффициенты которого следует подобрать так, чтобы функция (3.55) удовлетворяла и начальному условию (3.49), т. е. чтобы выполнялось равенство
пт |
2 |
.2 с" sin ~ |
0 Л » |
которое является разложением в ряд Фурье на отрезке [0, Л]
функции — и0 |
. Поэтому |
|
|
пяг |
( — 1)я2ор |
|
А |
ля |
Подставляя выражение для коэффициентов сп в ряд (3.55) и учитывая равенство u ^ U + v, получаем
u (z,i)= u 0 |
( - 1)" e Л« sin |
j . (3.56) |
|
П |
|
Можно показать, что ряд в (3.55) равномерно сходится в обла сти 1 > = {£ > е> 0, 0<Е1< г< Л —гг<к}, где е, еь ег— произволь ные числа, Е2<h, и допускает в этой области почленное диф ференцирование по 2 и по t любое число раз. Поэтому u(z, t) —
решение уравнения (3.47). Далее, так как при t= 0 ряд в (3.56)
сходится к —«0 -^-,то u(z, t) удовлетворяет и |
начальному |
|||
условию и\(=о~0. Наконец, м|г=о=0, и= \г=н—Щ- |
{3.56) |
стре |
||
Заметим в заключение, что при t-*-oo решение |
||||
мится к функции |
• Но |
именно такое решение имеет |
рас- |
|
h |
|
|
|
|
сматриваемая задача |
при |
стационарном движении верхней |
||
пластины: |
|
|
|
|
игг—0 , |
u = u (z), а(0 ) = 0 , и (Л )= «0. |
|
|
Следовательно, при /-*-оо между пластинами устанавливается течение, соответствующее стационарному движению верхней пластины с постоянной скоростью «о- Как видим, влияние на чальных условий с течением времени исчезает и в потоке уста навливается стационарный режим [факт, типичный для реше ния уравнения параболического типа, к которому принадлежит уравнение (3.40)]. «Физически» такое «выравнивание» потока связано с влиянием вязкости, демпфирующей начальные воз мущения.
§ 3.4. О КОРРЕКТНОСТИ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
ИУРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Вэтом параграфе рассматриваются вопросы о единствен
ности и устойчивости решении
I\t
начально-краевых задач для волнового уравнения и урав нения теплопроводности.
При доказательстве един ственности и устойчивости ре шений начально-краевых за дач для волнового уравнении используются так называемый интеграл энергии, закон со хранения энергии, энергетиче ское неравенство.
Пусть Dcz.Rn— ограничен ная область с границей Г,
Q = {Xœ D, / < 0} 5 = { х е Г , |
0}; D t— сечение Й плоскостью |
|
const; Г/ — граница этого |
сечения (рис. 3.2, случай л = 2). |
|
Рассмотрим в области Q волновое уравнение |
|
|
utt=a?àu. |
(3.57) |
|
Интегралом энергии Dt называется величина |
|
|
£ (*)=-—J [р«5+ а 2р gradua] dx, |
(3.58) |
где gMd ^ = |(- g - )’ . р — ПЛОТНОСТЬ.
Название интеграла (3.58) не случайно: он определяет пол ную энергию колеблющегося тела D в момент t. Покажем это, рассматривая для наглядности случай п= 2 (случай колебания
мембраны). Очевидно, что (çu\dxxdxàl2 — кинетическая энер
гия мембраны в момент /. Покажем, что |
J T gï2L^2Jtdxxdx2a |
(здесь Г = а 2р — величина силы натяжения) |
является ее потен |
циальной энергией. Действительно, потенциальная энергия рав на работе, которую надо совершить, чтобы перевести мембрану из фиксированного положения в данное. В качестве фиксиро ванного положения возьмем положение, когда мембрана зани мает область D на плоскости Ох\Х2. (Выбор фиксированного
положения не важен, так как потенциальная энергия опреде ляется с точностью до константы.) Разобьем область D на ячейки векторными линиями поля gradin и линиями, им орто гональными (рис. 3.3). Элемент do (с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости относительно диаметра ячей ки do) — прямоугольник со сторонами dh и dl (рис. 3.4). В мо мент t он занимает положение прямоугольника со сторонами dh и dl'. Элемент Ло мембраны сопротивляется растяжению с силой Tdh. Поэтому элементарная работа по перемещению do
в do' равна Tdh(dl'—dl), т. е. пропорциональна |
увеличению |
|
площади ячейки do: |
|
|
dh(dl'—d l)—m . do'— пл. do=(Ÿ~ 1 - f l |
) |
пл. da. |
Суммарная работа по перемещению мембраны из положения D в положение D' равна
Т (}/" 1 |
— 1^ dxxdx%~ |
T (uxl’\ ‘ttxi)dXidX2*=s |
= Y |
J Tgradludxxdx2. |
|
|||
|
|
|
D |
|
|
Рассмотрим, как изменяется интеграл энергии E(t) с изме |
|||||
нением времени. Докажем следующие две теоремы. |
|
||||
Т е о р е м а . |
|
|
|
|
|
dE |
) |
С |
(aV/grad^H, |
— |
(3.59) |
у - = |
|
|
|||
где п — единичный вектор внешней нормали к S в |
точках Г# |
||||
(см. рис. 3.2). |
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Умножим уравнение |
(3.1) |
на р«/• |
Имеем |
|
|
|
pututt= a 2putha. |
|
(3.60) |
|
Очевидно, что |
|
|
|
UtUit=—^- {U()ti |
i=={U'xjU’t)xi — ' 2 |
» |
|
ft
J ^
« ^ = 2 «<»x|jp/= d iv («*gradua) — y — (grad* i-i
и равенство (3.4) может быть записано в виде
у ( я ? ) / = л 2р р 1 у ( й / g r a d u a ) — |
- у ( g r a d ^ a ) J . |
Интегрируя его по сечению Dt и преобразуя, получаем
Г (pul-)-л2рgradua)dx\ = j* 02pdiv(#* g ra d e d * .
J ь/
Выражение в квадратных скобках в левой части равенства со
гласно |
(3.58) |
есть полная энергия E(t). Применяя к интегралу |
|||||||||||
справа |
формулу |
Остроградского— Гаусса, |
получим |
доказыва |
|||||||||
емое равенство (3.59). |
|
|
|
|
|
Пусть и — решение |
|||||||
Т е о р е м а |
(закон сохранения энергии). |
||||||||||||
волнового уравнения |
(3.57) |
в области |
П, |
непрерывно |
диффе |
||||||||
ренцируемое в Q= Q\JS[)DO- Пели u|s = 0 |
или — |
|s = 0, то |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dn |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Е {t)= const. |
|
|
|
|
|
(3.61) |
||
Если |
|
|
=0 , о > 0 , mo V ^ > 0 . |
|
|
|
|
|
|
||||
( ■ £ + “*) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Е (/)-{—i- о J |
a2pu2d s= E (0) -J— |
о j* afyuPds, |
(3.62) |
|||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . В случае n |s = 0 имеем M<|S= 0. Тогда, |
|||||||||||||
согласно (3.59), |
ci/? |
|
|
|
|
|
|
|
dix |
= 0 |
имеет |
||
---- = 0 |
|
и £(ï)= con st. В случае-^- |
|||||||||||
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
дп |
$ |
|
место |
равенство |
(gradx«, Я) |s = 0 и, |
согласно |
(3.59), |
снова |
||||||||
— = 0 |
и E (t)= const. |
|
В случае |
{-^Е.-у0ц\ |
= 0 |
а > 0, |
имеем |
||||||
dt |
|
1 |
|
|
|
|
\ dn |
|
) |
|
|
|
|
да I |
, |
Подставляя |
это |
значение |
|
в |
равенство |
||||||
|
|
дп |
|||||||||||
(3.59), |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dE |
J (a2ç>utgradua, n)ds— —J a2puutds — |
|
||||||||||
|
dt |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
a2p«2d sj . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dE |
|
|
|
LTt |
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя |
no t |
на отрезке [0, t{\ |
при произвольном / i> 0, |
||||||||||
имеем |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
) = |
—a 2çui2d-sa- { - - JY a |
j*a2ÇU2d s , |
|
||||||
|
|
— |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Ttt |
|
|
|
*0 |
|
|
|
откуда следует равенство (3.6). С помощью интеграла энергии и закона сохранения энергии нетрудно доказать единственность решения начально-краевой задачи для волнового уравнения
vtt= a 2ku -\-f в области 2 ,
й | / - о= ? ,
я<|/-о=Ф в области D , |
(3.63) |
*!•= « * ( или - ^ \ г ь или' ( 1 г + в “ )1. *"**)
Действительно, пусть щ, и2— решения этой задачи. Поло жим и—щ—и2. Тогда и будет решением этой же задачи с / = 0,
Ф=0, ф=0, р=0.
Если ü\, Uz — решения первой или второй начально-краевой
задачи, то H | S = 0 и |
соответственно |
дп |
s= 0 . |
Тогда по закону |
|||
сохранения энергии {см. равенство |
(3.61)] |
получим £ (7)= con st. |
|||||
Но Е(0 )= - у J<ptt?4-a2pgrad^|<e0flf^=0 |
при |
f=0. |
Следова |
||||
ло |
|
|
|
|
|
|
|
тельно, E (t)= 0. Из |
(3.58) имеем, |
что ы*=0 и gradxws=0 в Q. |
|||||
Таким образом, w=const. Но при |
/= 0 |
и= 0. |
Следовательно, |
||||
ы==0 и щ = и2 в области Q. Если |
щ, и2— решения третьей на- |
||||||
чально-краевои задачи, то (l7+0“) = 0, |
а> 0 . Тогда |
по зако- |
|||||
ну сохранения энергии |
|
|
|
|
|
|
|
E(t)-\—1 |
j* a*vu2ds=E($))-\— |
|
Д2рti2d s . |
(3.64) |
|||
|
г, |
|
|
|
г. |
|
|
Так как и\^ 0= ^ | / = о = 0 в D, то |
gradxa |/=0= |
0,в D. Тогда, сог |
ласно (3.58), £ ( 0 ) = 0 и из равенства |
(3.64) |
получаем 0^ .E (i)^ |
|
< 0, т. е. E (t)= 0. |
Отсюда и из |
(3.58) |
получаем^ и*=0 и |
gradxu= 0 в области |
Q, поэтому и= |
const в области Й. Но при |
7 = 0 и—0. Следовательно, и = 0 и wi= w2 в области Q.
Рассмотрим вопрос об устойчивости решений начально-крае вых задач для волнового уравнения. Не проводя полного обос нования в общем случае, покажем, как можно доказать непре рывную зависимость решения от начальных условий. Для про стоты записи при этом будем считать р = 1 , а —1 .
Рассмотрим класс дважды непрерывно дифференцируемых в области Й функций. Расстояние между любыми двумя его функциями / и q определим равенством
р (/, ÿ)=fllax |
1/2 |
Y к / ■-?)*■+ёга(£ </■“ я)+ ( / - Я)2dx |
|
<€10, А] |
|
(3.65)
где А> 0 — произвольное фиксированное число.
Т е о р е м а . Пусть щ и и2— два решения уравнения иц=Аи, удовлетворяющие начальным условиям ÜI | /=о==ф1^ Си1)<|/=о=ф1
и соответственно Ц2|/=о= Ф2, |
|
/=о=ф2, |
и одним и тем же |
краевым условиям |
|
|
|
(иЛИjM |
= - ^ _ |
s |
|
\ |
дп |
\s дп |
Тогда Y е>О Я0(e) такое, что из неравенств
ш ах^ -ср гК В , |
max|gradx(cp1 T-cp2) | < 8) т а х |<!>,-<|>2| < 8 (3.66) |
|||
D |
|
D |
D |
|
следует неравенство |
|
|
||
|
|
|
Р (Яц й2) < е . |
(3.67) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Согласно закону сохранения |
энергии |
||
V /> 0 |
получаем |
|
|
|
J [(«1 - |
и2)?+ grad" |
- и2)]dx < Г [(^- ф2)=+ grad* (?1 - |
Ï2)]dx ■ |
|
Dt |
|
|
D |
(3.68) |
|
|
|
|
(в случае первой и второй краевых задач имеет место равен
ство). Далее имеем.
t
их{х, t) — u2(x, |
— («1 — «2) ^ + ? i U ) —<р2(*) |
о |
|
и |
|
/ 1 |
\ 2 |
j («! — K2)2ÜU < 2 j* М |
- ^ - ( Й ! — K2) û f / | + 2 j* (ft — ъ ) 2 й х , |
|
(3.69) |
Согласно неравенству Коши — Буняковского,
j- à{ui -u-1)_dt \ < t j Г à(ut - at) J d t< A j \ ± & . - a*)-Jdt\
используя энергетическое неравенство, имеем
Dt \ 0 * 0 \D t J
< A j |
j* [( |
d(Ui~ U2) J + g ra d li^ — u ^ d À d t ^ |
|
0 |
'Dt |
J J |
|
|
< Л 2 |
f КФж—4»a)a4-gradî («Pi—«p2)]£/JC. |
(3.70) |
|
|
b |
|
Из (3.68), (3.69), (3.70) и (3.66) следует, что
Р («к |
e2)< |
f f [(t! - W + grad ï (?! -<p2)]rf*+ |
|
+ 2 да f |
'b |
|
|
[Ch - |
1 <2)2+ g rad i (<f, - f 2)] ( /л + |
||
|
D |
|
|
+ 2 J (ïi - |
<p2)V x|I/2 < |
5 [^4+A2 + 2 j nûjI,2= c 5 < e |
при 5<e/c, где c = iï 6+Л 2| pü|‘/2, pD — мера области D.
Тем самым теорема доказана.
З а м е ч а н и е . Можно получить оценку максимума модуля изменения решения. Доказательство в этом случае несколько сложнее, а в случае п^Ъ еще необходимо потребовать, чтобы были малы максимумы модулей производных от tpi—фд до по рядка £=[я/2] включительно.
Единственность и устойчивость начально-краевых задач для уравнения теплопроводности является непосредственным след
ствием принципа максимума. |
|
|||
Пусть QT= {X^D , |
0 < ^ 7 } (верхнее основание DT присое |
|||
диняется |
к области |
Qr) |
5 г = {л е Г , /œ [0, Т]}. |
Поверхность |
2 = S T-UA)/ |
состоящая |
из |
боковой поверхности |
ST и нижнего |
основания D0 цилиндрической области Йг, называется парабо |
||||
лической границей этой области, так что |
|
|||
|
|
QJT==2 J- IJ2 , |
|
|
Будем рассматривать в области Йг уравнение теплопровод |
||||
ности |
|
|
|
|
|
|
|
ut= a 2La. |
(3.71) |
Т е о р е м а (принцип максимума). Пусть и(х, t ) — решение уравнения'(3.71) в области Пт, непрерывное в области йг. Тогда Y (*, t) œ Q
minu(x%t)^ u (x , /)< ш а х й (л , |
t). |
(3.72) |
||
s |
a |
|
E>0. |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Фиксируем произвольное |
По |
||
строим вспомогательную |
функцию ve=u—eto. |
Покажем, |
что |
|
V(x, t)ŒQT |
|
|
|
|
v,(x, /)< тах'У ,. |
|
(3.73) |
||
|
a |
|
|
|
Действительно, предполагая, что тахт;, достигается в неко §г
торой внутренней точке Р о(х°/°)е й г , получим dv
= 0 при /0< 7 \
di Ра
|
|
« |
> 0 |
при |
i0= T , |
|
|
|
|
dt |
|
||||
|
|
Pо |
|
|
|
|
|
|
d2v |
< 0 , |
/ = |
1,..., |
fi. |
|
|
|
dxi |
|
|||||
|
PO |
|
|
|
|
||
Тогда (-—7— à?Дт>.) |
!>0, что противоречит неравенству |
||||||
' ot |
J p0 |
|
|
|
|
|
|
du. |
|
|
|
|
|
0. |
|
dt |
■а2Дг|,= ut— e— a2âu= —e < |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Из неравенства |
(3.73) |
имеем, 4TOV (X, /) œ QT- |
|
||||
|
и (л;, |
/ ) — е * < т а х ( и ( л \ |
t) — et) |
|
|||
|
|
|
|
s |
|
|
|
или в силу произвольности Б>0 |
|
|
|
|
|||
|
|
и(х, / ) < m a y a U , |
t). |
(3.74) |
|||
|
|
|
|
Я |
|
|
|
Применяя доказанное к функции —и, получаем, что V (х, i)Œ.
|
|
—и(х, t)cCmax(—u(xt t)). |
(3.75) |
|
|
я |
|
Из |
(3.74), (3.75) |
следует (3.72). |
|
Т е о р е м а (о |
единственности и устойчивости решения пер |
||
вой |
начально-краевой задачи). Пусть ,щ, Цг — два |
решения |
уравнения ut=a2Au+f в QT, непрерывные в Qт, и удовлетворя ющие условиям
й1|/-0= 9х» И2|/-0= ? 2»
« i|s = th > й 2|5= р 2.
Если VJCGÛ \TI —T2I < |
е и V(JC, t)ŒS |
|Pi —|*2| < е , ШО |
||
VC*, / ) е 2 г |«1 —Й2| < |
6. |
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Полагая |
и=щ — |
ф= ф1*—ф2* р — |
|
= p i—р2, получаем, что и — решение задачи |
|
|||
ut= a 2ùai, и | * - о = < р , |
« | s = l 1 » |
|
где |ф |< е, | р |< е . Согласно принципу максимумаV (х, t)Œ Qj |и|<шах^шах|<р|, m ax|n]j<e
и, следовательно, \и\—и2|< е . Полагая е= 0, получаем единст
венность решения первой краевой задачи.
Единственность и непрерывная зависимость решения второй краевой задачи от начальных данных может быть получена,
как следствие второй теоремы |
о |
принципе |
максимума: если |
и(х, t) — решение уравнения (3.1) |
в области Йг, непрерывно |
||
дифференцируемое в области Йг и |
= 0, |
T O V (*, / ) е й г |
|
minи(х, 0) < й (л:, |
/)< ш а х й (л , |
0). |
|
D |
|
D |
|
ГЛАВА 4
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Применение метода Фурье для решения многих линейных задач математической физики приводит к обыкновенным диф ференциальным уравнениям, решение которых не выражается через известные элементарные функции. Подобные решения называют специальными функциями. В частности, решение за дач для уравнений Лапласа, теплопроводности, колебаний в цилиндрических или сферических координатах методом разде ления переменных приводит к обыкновенным дифференциаль ным уравнениям указанного типа.
В этой главе рассмотрены цилиндрические функции, или функции Бесселя,' через которые выражаются решения многих, в том числе и упомянутых выше, уравнений математической физики, записанных в цилиндрических координатах. В начале главы дается представление о Г-функции, с помощью которой строятся цилиндрические функции.
§4.1. ГАММА-ФУНКЦИЯ
Интегралом Эйлера второго рода или Г-функцией (гаммафункцией) называют следующий интеграл, зависящий от пара метра s:
T (s )= f e~xx s~ldx, s > 0; |
(4.1) |
Г-функция входит в так называемые цилиндрические функции, широко используемые при решении различных задач матема тической физики. Интеграл (4 .1)— несобственный, так как верхний предел бесконечен и при s < l и * -> 0 подынтегральная функция неограниченно возрастает. Однако при s > 0 интеграл
(4.1) сходится. Для того чтобы в этом убедиться, перепишем интеграл (4.1) так:
1 «•