Из полученного равенства видно, что Xk—'kk/U где Я*— корни функции h ( x ) f являются корнями функции 1\{х). Следователь но, корни функции Ii(qa) определяются равенством
А = 1,2,..., |
(7.89) |
откуда |
|
|
А2 |
£ = 1,2,..., |
(7.90) |
Р ь = — V—4-, |
а |
|
|
где Я* — положительные корни |
функции Ji{x), |
пронумерован |
ные в порядке их возрастания. |
|
|
Далее заметим, что решения у(х) уравнения Бесселя могут иметь только простые корни, так как если бы Я' был, напри мер, двукратным корнем решения у{х), то такое решение удов летворяло бы начальным условиям у(%)= 0, #'(Я )= 0 и было бы тождественным нулем в силу единственности решения задачи Коши. Отсюда следует, что изображение (7.87) имеет простые полюсы в точках (7.90). Кроме того, изображение (7.87) имеет
простой полюс и в точке |
р ~ 0, |
поскольку |
из разложения |
(4.94) имеем |
|
|
|
( |
lim_Mg£L = lim (<к/4И1+0(р)1 |
р-+о fliqa) |
р -о |
(ge/4)[l + о(д)] |
а |
Наличие у изображения |
(7.87) только простых полюсов позво |
ляет применить теорему разложения (7.74) : |
|
|
|
оо |
|
|
® (**,/)=res V (г, д) + V |
res \ V (г, р)exp(pbtj[. (7.92) |
0 |
|
Л-1 рк |
|
Приступим к вычислению вычетов (7.92). На основании фор мул (7.87), (7.91) имеем
res V (г, р)—lim pV (г, р ) = т Нш-^1 ^ = шг. (7.93)
о р + о р+о I\(q a )
Далее, согласно формуле (7.87) и равенству dqfdp=l/(2 ]/v/j),
обозначая Ÿ PtJ4 через <7*, получаем
. . . . |
mall (qr) |
|
res V (г, р) = ——- ш — |
|
pk |
— |
W i (^)l |
р-н |
|
dp |
|
(4kr)
1
hiP qk) + - Г aqkl[{aqk)
Для дальнейшего рассмотрения полезны следующие соотно шения, получающиеся из равенства (7.88). Заменяя в (7.88) х на ix, имеем
Il ( — ix)— —iJi(x)i |
(7.95) |
а дифференцируя (7.88), находим
I[(x)=J[(lx). (7.96)
Согласно формулам (7.89), (7.95), (7.96), получаем
А < « ■ )= /. ( « ■ £ - ) = / , ( - / - ^ - ) = - ' A ( A f ) . /J (qka)=J[ (qkia)=I[ (ХЛ), aqkJ2=Xkl{2i).
В результате выражение (7.94) для res У(г, р) принимает вид
Подставляя выражения (7.93), (7.97) в формулу (7.92), нахо дим решение задачи (7.81)— (7.82)
v(rit)=u>a |
г |
+ 2 2 ехР |
(7.98) |
а |
|
|
ft-i |
|
Из формулы (7.98) видно, что при t->-оо скорость v принимает значение o=tor, т. е. асимптотически закон вращения вязкой жидкости, заключенной в цилиндре, приближается к закону вращения твердого тела. Отметим также, что при / = 0 выра жение (7.98) принимает вид
•v(r,0)=m |
* |
и так как в силу начального условия |
(7.82) i/(r, 0 )= 0 , то |
должно выполняться равенство |
|
т
г
~ •
Д- 1 W 1 (W а
Всправедливости этого соотношения можно убедиться, раз лагая в ряд Фурье — Бесселя функцию г/а.
§7.6. РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЕ
Пусть на входе в круглую полубесконечную цилиндрическую трубу имеется стационарный поток с постоянной по сечению скоростью (рис. 7.8). Под влиянием сил вязкости по мере дви жения жидкости вдоль трубы профиль скорости деформирует (поскольку на стенках цилиндра согласно условиям прилипа ния скорость равна, нулю). Выясним закон изменения профиля скорости или, иначе, закономерность развития течения вязкой жидкости в цилиндрической трубе. Поставленную задачу (ста ционарную, так как речь идет не о развитии течения во време ни в отдельных сечениях трубы, а о развитии течения вдоль
|
|
|
|
|
|
|
|
|
трубы |
при стационарном |
потоке на входе) |
естественно решать |
в |
цилиндрических |
координатах г, ф, |
|
z. Уравнения движения вязкой несжи |
|
маемой жидкости и уравнение нераз |
|
рывности в цилиндрических координа |
|
тах |
приведены |
в^ предыдущем |
пара |
|
графе. |
Эти уравнения |
можно |
упро |
|
стить, |
исходя из следующих |
сообра |
|
жений. |
Поток |
на |
входе |
прямолиней |
Рис. 7.8 |
ный и |
осесимметричный, |
краевые ус |
ловия прилипания |
F |r= a= 0 |
также не |
|
зависят от угловой координаты 0, поэтому течение вдоль трубы является осесимметричным (djdQ= 0 ) и составляющая скоро сти по касательной к окружности ÜO==0. Уравнение неразрыв ности в этих предположениях можно переписать так:
|
|
г |
|
|
*!г-= 0 |
(7.99) |
|
|
|
|
дг |
|
|
(здесь |
учтено, |
что |
—1—— = |
~ |
д |
. Из уравнений |
|
|
дг |
г |
г |
дг |
j |
(7.79) |
остаются |
лишь |
|
первое |
и |
третье |
уравнения, кото |
рые можно несколько упростить, а учитывая условие стацио нарности (д /д /= 0 ) и пренебрегая массовыми силами ( F = 0), их можно еще упростить. Кроме того, полагая радиальную со ставляющую скорости vr много меньше осевой Vz(v<g.vz, tv « 0 ), в уравнениях движения можно пренебречь слагаемыми, содер
жащими vr\ тогда из первого уравнения (7.79) |
получим |
т. е. p ~ p ( z ) , |
(7.100) |
а в третьем уравнении не будет слагаемого |
Нако- |
нец, полагая, что изменение vz в радиальном направлении про
исходит быстрее, чем в, осевом, можно в |
третьем |
уравнении |
(7.79) пренебречь производной d2vz/d z2 |
(оставляя |
d2vz/dr2). |
Кроме того, с целью линеаризации третьего уравнения заменим
|
множитель ÜZ в произведении vz {duz/dz) |
средней |
по |
расходу |
|
скоростью, которая равна UQ. В результате всех этих упрощений |
|
третье из уравнений |
(7.79) принимает вид |
|
|
|
|
|
|
, |
дуг |
______ I |
др |
. у |
д |
/ |
диг |
\ |
|
(7.101) |
|
0 |
дг |
р |
дг |
г |
дг |
\ |
дг |
) |
* |
|
|
|
|
Итак, для определения трех |
неизвестных |
функций |
vz (r, z), |
|
vr(r, z ), p(z) получена система |
трех |
дифференциальных |
урав |
|
нений (7.99) — (7.101). Система |
решается |
при |
очевидных |
крае |
|
вых условиях |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vs( a , z ) = 0, vr( a , z ) = 0, |
vg(r,O)=u0, т>Дг,0)=0; |
|
|
|
|т/г(0,2:)|< оо, vr(0 ,z )= 0 , |
|
|
|
(7.102) |
причем в первых двух условиях z > 0 . Для дальнейшего удобно использовать не само уравнение (7.99), а получающееся из него интегральное соотношение. Умножая уравнение (7.99) на /*, интегрируя по г в пределах от 0 до а и учитывая второе и чет вертое из условий (7.102), получаем
Попытаемся теперь исключить давление из уравнения (7.101). Умножая уравнение на г и интегрируя по г в пределах от 0 до а (учитывая, что p = p ( z ) ) , имеем
duz d r —
• f дг
На основании соотношения (7.103) заключаем, что левая часть этого равенства равна нулю и поэтому
др 2ру / dvz Л
(7.104)
Подставляя выражение (7.104) в уравнение (7.101) и раскры вая производную d/drt получаем уравнение с единственной не известной vz (для упрощения записи в дальнейшем полагаем vz—v, v/w o=a)
|
|
__ 2а / d v \ |
_о_ dv_ |
(7.105) |
|
дг |
в \ й г /д ' |
дг2 ' г дг |
|
|
Для решения уравнения (7.105) воспользуемся операторным методом (преобразование Лапласа). Полагая
|
У (Л P ) —J « (Г, г) |
|
|
(7.1Об) |
|
|
о |
|
|
|
|
имеем |
|
|
|
|
|
p V — v ( r , 0> i= |
2a_ZjfH_\ . |
. |
g |
rfK |
|
a \ dr ja |
d r2 |
r |
d r |
|
|
или, учитывая, что n(r, 0 )= ы о и умножая обе части уравнения на /У а , получаем
г2 |
I |
|
__ |
“о^2 I |
2г2 |
Иг1 |
(7Л07) |
rfr2 |
dr |
а |
|
а |
а |
Сравнение левой части уравнения (7.107) с уравнением (7.85) показывает, что ограниченное решение однородного уравнения (7.107) имеет вид [см. в частности, формулу (7.86)]
Уош—AI^qr), q=Ypla.
Частное решение V* неоднородного уравнния (7.107) равно у » _ ио __ 2а I dV \
р pa \ dr )а *
В результате общее ограниченное решение уравнения (7.107) имеет следующий вид: У = У 0дн4-У*, т. е.
V (r ,p )= ^ /„ (?r ) + ^ _ J i ( - i £ - ) . |
(7.108) |
р |
ра \ dr Ja |
|
Дифференцируя равенство (7.108) по г и полагая |
г —а%полу |
чаем |
|
|
( - ^ - ) г Ач!'м а ) -
Тогда равенство (7.108) при г= а , учитывая, что на основании соотношений (7.106) и первого из равенств (7.102) V{a, р) = 0 запишем в виде
О = ^ /0( ? a ) + - 2 s ~ i“ Aqrt (qa),
|
P |
pa |
|
^ |
______________«о_____ |
- |
откуда |
|
|
|
(p [(2/««)/;(? » )-/0(Î «)])
Теперь равенство (7.108) |
перепишем в виде |
|
р ) = |
- |
Л>( Я Г ) - / ( д а ) |
(7.109) |
d |
|
(2/a q )l'Q( q a ) - I 0 (qa) |
|
|
Известно, что h ( x ) = h { i x ) t JQ'(x) = —Ji[x) [формулы |
(4.103) |
и (4.65)]. Поэтому |
|
|
|
J'Q(x)=iJ'0(ix)=iJi (/-«)= /! (je). |
(7.110) |
Известно, что J2(x)—2x~ïJi (x)—/ 0(x), поэтому, заменяя здесь |
х на ix и умножая обе части равенства на 1/i2, после простых преобразований получаем
|
|
/ 2 (х) = |
— 2х~Чх(х) + / 0 (JC). |
|
(7.111 ) |
Используя |
соотношения |
(7.110), |
(7.111), |
выражение |
(7.109) |
можно привести к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
К (г,/> )= — |
|
h(qa) |
. |
|
(7.112) |
|
|
|
P |
|
|
|
|
Итак, изображение искомого решения найдено. |
решения |
Перейдем к |
отысканию |
оригинала, т. е. |
самого |
п(г, z). Знаменатель дроби |
(7.112) имеет простой нуль в точке |
р = 0, так как в соответствии с разложением (4.94) |
|
l i m |
h {яа)-~hi.gr) |
_ |
| i m 2 |
? 2 ( д 2 _ |
Г2) +о(р2) _ |
|
р->о |
|
^2 {Яа) |
|
р *■ о |
{ 1 -f- о ( / 7)] |
|
|
|
|
|
|
О при г<^а |
|
|
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
resV ( r 1p ) = U m p V ( r i p ) = 2 u 0f |
1 — |
. |
(7.113) |
|
0 |
/>->0 |
|
\ |
|
а2 / |
|
Кроме того, знаменатель дроби (7.112) I2(qa) = —J2(iqa) и тог да при
(7.114)
где Я — корни функции Ji(x), имеем
/2( ^ - ) = л а „ ) = ° ,
т.е. числа (7.114) являются корнями знаменателя дроби (7.112).
Известно, что все корни функции 7v(x), v > — 1, простые и чис то мнимые (см. § 4.7). Поэтому
res V(r. Р)=ио Пт <*г>- ,
Pm |
P *Pm h (qa) - 12 № ) qaf i |
откуда, учитывая равенства |
(7.114), находим |
res V ( г ,р ) = и й- /о ( ^ я |/0 — Л> Q^mr Ito) |
Рп |
I? (^ш/0 + ^2 (WO ^m/2* |
Так как
/о0-Jh=MK)< h(.^M=Jta,j-/a), /,(Хя/ 0 = - Л а я)= о ,
/j(je )= _ y 2(ijc), Г2(х)= ~ U'2(ix), l'2O Ji)= ~ U '2i\m),
то
| Г / Г _ч |
orr ^o(W /a) — /o(W |
• |
res К {г, р)— |
------- . ------ |
Prr, |
Х / « / 2 \ ^ я ) |
|
о |
002 ом |
0,06 |
0,08 |
|
0,10 |
0,12 |
0,16 |
0,1Ô_Z_ |
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
a Re |
|
|
|
Рис. 7.9 |
|
|
|
|
|
|
|
Если воспользоваться формулами |
|
|
|
|
|
|
|
у; (AT)= л (х) —2У2U)/jf, |
/ 0(* )+ Л |
(•*)=2/! (Х)!х, |
|
то последнее |
выражение |
для |
res V можно переписать в виде |
|
res К ——4йо~ \ I — /0) »~fl |
1 • |
|
(7Л15) |
|
Рт |
|
L |
|
'«(VJ |
J |
|
|
|
По основной теореме разложения (7.74) |
|
|
|
|
|
V(г, 2 ) = res V (г, /0 + |
У exp (pmz) res V"(г, /?) |
|
|
|
П |
|
т=*1 |
|
|
пт |
|
|
|
|
и, следовательно, учитывая формулы |
(7.113)— (7.115), имеем |
v(r,z) |
|
jN |
1 |
/o (W /g) |
|
|
|
|
«о |
|
|
|
^2т-1exp ( — — —) . |
|
|
|
Jo(\т) |
J |
*4 |
Re |
а/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.116) |
где введен безразмерный параметр Re=Woû/v, называемый чис лом Рейнольдса.
На рис. 7.9 показано развитие |
профиля безразмерной |
ско |
рости |
/ ( — , — ) по длине |
трубы, рассчитанное по |
фор- |
муле (7.116). Видно, что по мере удаления от начального се чения профиль скорости приближается к параболическому
получающемуся из формулы (7.116) при z-*-оо. Отметим, что ре зультаты расчета, приведенные на рис. 7.9, хорошо согласуют ся с экспериментом.
ЛИТЕРАТУРА
1.Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функ ции. М., 1974.
2.Котляр Я. М. Методы математической физики в прикладных задачах,
М., 1978.
3. Котляр Я. М. Построение общих алгоритмов решения задач матема тической физики. М., 1980.
4. Лаврентьев М, А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексно го переменного. М., 1973.
5.Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М., 1970.
6.Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и спе циальные функции. Преобразование Лапласа. М., 1973.
7.Слезкин Н. А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М., 1965.
8.Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики, М., 1972.
9.Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа, T, 1, II. Мч
I960,
