книги / Основы математической теории термовязкоупругости
..pdfпричем амплитуда напряжения з^тп и фаза его относительно деформации (24.17) имеют выражения
$т« = ет»ЯШ, ЬёФ» = Л с»/Л . И . ; |
= У Я* (со) + Я2$(со). |
|
(24.22) |
Частотный модуль В& = 26?^ и фаза фюнепосредственно измеряются в опы те, как отношение амплитуд 8тп1етп и времени запаздывания амплитуд ного значения 5ГПП= з^п относительно амплитудного^значения*деформа-
ции етп = втп- Опыты |
повторяются с различными частотами со, и стро |
|||
ятся частотные |
зависимости В ш и |
фо, |
|
|
= / |
И , |
^§фсо = 8 И - |
(24.23) |
|
Теперь находятся |
|
|
|
|
п с(со) = |
Я шз т |
= Яш |
?(<й) = |
, |
|
|
У 1 + ? 2(») |
(24.24) |
|
В 3(со) = |
С08фо — 7?о) |
+ ё2И |
. |
|
|
|
У 1 |
|
|
После этого, используя интегральные соотношения Фурье, из (24.20) на ходим функцию релаксации материала по любой из формул
00
д |
(*) = |
оЛс(й>) С08(0*“^Г* |
|
|
|
оо |
|
д |
(0 = |
Д ,(® )зт ю * -^ р , |
(24.25) |
|
|
О |
|
|
|
оо |
|
Я (*) = |
Яш31П. (со* + <рш) |
. |
|
|
|
О |
|
Для представления о характере зависимостей (24.23), которые изу чены для различных полимеров [40], рассмотрим экспоненциальную кри вую релаксации
Я (() = г20е~е‘. |
(24.26) |
Из (24.20) находим
2(2 |
= |
со ^ е ^ |
со8 со* |
_ |
со|3 |
|
|||
|
Р2 + |
со2 |
’ |
||||||
|
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
* .И |
|
|
1 |
|
|
со2 |
|
|
|
= |
со |
^ зт(0%сН |
|
|
|
||||
~~ |
Р2 + |
С02 |
• |
||||||
2О, |
|
|
|
|
|||||
Следовательно, на основании (24.22), (24.23) имеем
В «« = Д(ю) = 2Ссо/Ур2 + о>2,
^ > со! = ^ ( со)1=:р/ со.
(24.27)
9
( • '
На рис. 22 даны эти частотные зависимости модуля / (со) и фазы # (со) от периодов колебаний, точнее от р/со. При со —^ оо из кривых находят мгно венный модуль сдвига 20.
Рис. 22.
Частотная [зависимость модуля сдвига и запаздывания фазы для экспоненциальной функции ВЦ)
По аналогии с электротехникой в механике вязко-упругих колеба ний введено понятие импенданса; это комплексная величина
Ж (со) = А- [Е с(со) - Ш, (со)], |
(24.29) |
вполне определяющая вязко-упругие свойства материала. Если рассмот реть колебания с периодическим изменением скорости деформации ётп —
=ётпе1<*г, то легко находим
^тп^тп — И7 (СО).
Существенная роль |
частотных |
характеристик |
материалов К* (со), |
|
Е* (со) для сдвиговых и объемных |
свойств обнаруживается в теории коле |
|||
баний и распространения волн. |
|
|
|
|
§ 25. Вязко-упругие колебания |
и |
волны |
|
|
Три типа динамических |
явлений |
|
в вязко-упругой |
среде могут быть |
изучены сравнительно просто: явления на фронтах сильного разры ва, явления вынужденных установившихся колебаний и асимптотические свободные колебания.
На фронте волны сильного разрыва, возникающем в результате мгно венного приложения нагрузки или сообщения скорости на границе тела, деформации и напряжения изменяются скачком, т. е. скорость их изме нения во времени очень велика в бесконечно тонком слое, нормальном к скорости распространения фронта волны. В момент 1г мгновенно изме
няются |
деформации |
|
|
|
|
|
|
|
ей (к + 0) - еи (к - 0) = |
Аеи , |
0 (к + |
0) - |
0 (к - |
0) = Л0. |
|
В окрестности I = |
следовательно, е^ получают приращение |
(25.1) |
|||||
(2 — т^); |
|||||||
0 — приращение |
Д0/г (I — *х), |
их |
дифференциалы |
Аеи8 (2 — *х) ей, |
|||
Д06 (2 — ^)ей, и |
потому приращения напряжений |
от момента I — ^ —0 |
|||||
до I — |
+ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
^ П |
( к — т) А ец б (т — к ) й х = Я (0) Де^, |
Да = Я г(0) Д0, |
||||
(25.2)
т. е. для скачков имеет место идеальная мгновенная упругость с мгновен ными модулями Е (0) = 2 О и Е г (0) = К . Следовательно, существуют два известных типа волн — волны сжатия и волны сдвига, распростра няющиеся со скоростями
К + -О-0
С1 У |
р |
с2 = УО/р, |
(25.3) |
измерения которых используются, как уже отмечалось в § 3, для нахож дения (0) = К и В (0) = 20. Таким образом в вязко-упругом теле скорости волн такие же, как и в идеально упругом, но их интенсивность затухает, энергия фронтов рассеивается [41].
Установившиеся вынужденные колебания вязко-упругого тела под действием периодических нагрузок и перемещений границы подобны пе риодическим квазистатическим деформациям, рассмотренным в § 24, но они могут существовать в телах конечных и бесконечных размеров при неодноррднйх напряженных состояниях.
Перемещениям среды
Щ(2, х) = и\ (х) С08(О* + Щ(х) 8Ш со* |
(25.4) |
соответствуют деформации
8у (г, х) = е'ц(х) соз со* + еу (х) з т со* |
(25.5) |
и напряжения
С|? (*, х) = Су (х) С08(О* + Су (х) 31П (0^, |
(25.6) |
причем по прошествии некоторого времени, как уже отмечалось, <уу и (Ту не будут зависеть от времени I и будут выражаться через деформации
еу, еу законом Гука, в котором модули упругости будут зависеть от частоты со
|
|
+ (Гю- 4- гс) 0'*« - |
[г,«ч,- + (г15—4 г*) Ы = |
||
|
фус |
бу$» |
|
|
(25.7) |
= |
Г38у + (Г15---- ^ Г.) 0'6у + |
^Гс8у + ^Г1с---- Гс^ 0"6у^ = |
|||
= |
бу* Ч- буо |
|
|
|
|
|
|
оо |
|
оо |
|
|
Гс = |
^ Г (т) соз сот йт, |
Гхс = |
§ Гх (т) соз сот^т = |
Я18, |
|
|
о |
|
о |
|
|
|
оо |
|
оо |
|
- Л с |
Г3 = |
^ Г (т) 8Ш (ОТ (2т, |
Г15 = |
^ Гх (т) 81П (ОТ д.%= |
— Я1с. |
|
|
о |
|
о |
|
Внося (25.4), (25.5), (25.6) в уравнения движения и полагая, что массо вые силы отсутствуют, получим систему шести уравнений
— рсо2и- = |
су, 5= |
Ьс (щ) — Ь8 (щ), |
(25.8) |
|
|
|
|
Р(02^г = |
= |
Я8(Щ) + Ьс (щ), |
|
причем Ь (и) — оператор статических уравнений Ляме, в котором по стоянные Ляме выражены либо через Гс (со) и Г1с((о), либо через Г8 (со) и Гц (со):
Ь (и) = (X + ц) 0Д+ рДиь
К = Т1С---- |- Г с, |
\1С= |
Гс для |
Ьс(и), |
(25.9) |
1 |
Щ= |
1 |
Ь$(и). |
|
^8 = Г«1 ---- з“ Г8, |
~2~Г8для |
|
Граничные условия должны быть заданы в виде иг = и'ю созсо2 + иг0зто)^
на 2 и и 8 г = |
соз о>2 4- |
з т ю2 на 2<д, т. е. |
щ = и[о (х), щ = щ0(х) на 22,
(25.10)
— *5*г0 (х), 0^1^ = 4$*го(х) на 2§,
следовательно, на каждом элементе поверхности задано 6 граничных ус ловий
В системе уравнений (25.8) можно исключить любой из векторов щу после чего получим для любого из них уравнение
II (щ) + Ь\ {щ) + 2рсогЬс(и*) + (рсо2)2 щ = 0. |
(25.11) |
Векторная форма оператора Ляме позволяет переписать систему урав нений (25.8) в виде
Ьс(и') + р«>2и' = Ь, (и"),
(25.12)
Ьс (и")+рсо2и" = ; - ! ,> ') •
Поскольку |
|
|
|
(Ну Ь (и) = |
(X + 2|х) Д0, |
0 = |
сИу и, |
тоЬ Ь (и) = |
2[хАЯ, |
262 = |
го1 и, |
то, применяя эти операции к (25.12), получим уравнения для 0
(г1с + |
4 Гс) Д0' + рю20' = |
(г18 + |-Г в) Д0", |
||
(Гю + |
1 |
Гс) Д0" + Р®20" = |
- (Г18 + 4 Г.) Д.0' |
|
и для 62 |
|
|
|
|
ГсАО' + |
2рсо2Й' = |
Г8Д62'\ |
(25.14) |
|
ГСАЙ" + |
2рсо2й" = |
|
||
— Г8Д62'. |
||||
Для примера рассмотрим задачу о периодических сдвиговых колеба ниях слоя (рис. 21). Граничные условия для перемещения и2 = и (2, у) = = м'соз со2 + и " зт 0)2 принимаем в виде
у = |
0, |
и' = и" — 0, |
|
||
у = |
а, |
иг = 0, |
и" = 2ае\^ = и0, |
(25.15) |
|
и = |
2ае\2зш 0)2 = |
щ з!п со2. |
|
||
Так как другие компоненты вектора и равны нулю |
(иг = и3 = 0), та |
||||
(Пу и = <Ну и' |
== <Ну и", и потому уравнения (25.8) принимают вид |
||||
|
+ Р * и = - § |
а2и" |
|
||
<1у* |
йу1 |
(25.16) |
|||
(Ри* |
|
р и = |
<Ри/_ |
||
|
|
||||
&УЪ |
|
Лу2 в |
|
||
|
|
|
|||
Здесь обозначены:
ГЯ
Решение, удовлетворяющее условиям (25.15), имеет вид
и' = |
|
|
|
3Й_Р*»8 |
Ь |
^ ** С08 ^ с Ь ртузщРгЦ |
||||||
и" = |
«>аг0 8Ь Р1а |
Р*8ЬР1У сов р*у + сЬргазшргаСЬ |
|
(25.18) |
||||||||
|
|
|||||||||||
где обозначены |
|
|
|
|
8 Ь*/>1« + зт* ръа |
|
~ |
■- |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Р1~ Р |
у щ |
г г & |
У Т + у г ^ ' |
Рг = |
Р-3^1 + |
У* + Е- |
||||||
„ |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
>^2(1 + г2) |
(25.19) |
|
|
|
|
|
|
составляющие |
о[~ |
|
|||||
Напряжение |
а12 (25.6), т. е. его |
В ы ч ^ ™ « |
||||||||||
формулам (25.7) на основе |
значений перемещений (25 Ш |
|||||||||||
при у = 0, для чего находим сначала деформации |
|
' |
' Ь1ЧИСЛИМ их |
|||||||||
е;2 |у=0 = |
1 |
( ^ 1 \ |
|
= |
ае°12 |
Р} |
Р* зш Рга + р^ |
ь р1аС03 |
, |
|||
1 |
|
2 \ * / / у = о |
|
12 |
|
8Ь2р 1а + з т 2^ --------- — |
||||||
4 |у=0 = |
4 |
(% г) |
= |
йео„ .^ Ь р 1а соврга + р.сЬ^ ав1п р,а |
(25.20) |
|||||||
|
||||||||||||
|
|
2 |
\ ау /у=о |
12 |
|
зЬ2 р\а -(- 81п2 р^а |
------ • |
|
||||
. после чего имеем при у = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
012 ^ |
|
“Ь |
= -^в (^12 Ч” #^12)» |
|
|
|
(25.21) |
|||||
^12 = |
*^се12 Ч“ «^8е12 ^ |
^8 (— 8^12 |
4" ®12)« |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
Производя вычисления |
и |
обозначая |
|
|
|
|
|
|
||||
зЬ2 />1Д 4 - з т 2/>га |
У 2 |
__ |
^ /лЛ# |
|
д |
|
г («). |
(25.22) |
||||
У Т + Т г + 7 |
ра |
~ |
{*0)' |
|
1 + У Т+72 |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Он/ (<»)/Л8е?2 = г сЬрхозгпр2а + зЪрха созр2а, |
|
|
(25.23) |
|||||||||
Он/ (®)/^8812 = сЬрха зш р2а — г зЬрха соз[р2а. |
|
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||
При условии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ра = |
аю у^р/Я , < |
1/3 |
|
|
|
|
|
|
(25.24) |
|||
выражения |
(25.23) |
совпадают с квазистатическими, |
найденными в § 24, |
|||||||||
с ошибкой не более 3%, так как амплитуда напряжения а®2 = У а^ + о^,
вычисляемая |
из (25.23) при условии (25.24) с указанной точностью, будет |
||||
($12 — ^12^6 У*1 4“ §2“ 812 У-Йз + |
= в?2Л<0* |
(25.25) |
|||
Это следует из точного выражения |
амплитуды напряжения при у = О |
||||
°12 _ |
д |
а р у / Т + ё Г 2 |
|
|
(25.26) |
<3®2 |
8 |
К зЬ2/>1« + 81П2 Рга |
* |
|
|
|
|
||||
если с точностью ра2/3 сравнительно с единицей заменить синусы аргу ментами.
На плоскости у а деформации, соответствующие перемещению (25.18), имеют выражения
(е12 )у—а —
(^12)у=1 =
аи \ |
о |
^ ) а ~ агП' |
|
/ Ли”\ _ |
а&12 |
V йу /а ~ |
|
зЬ2 р га + |
з т 2 Рча |
(25.27) |
р \ зЬ р гд сЬ р га 4 , р 2 8щ р 2д соз р 2а |
||
зЬ2 р га + |
з т 2 рча |
|
напряжения выражаются формулами (25.21). |
|
|
|
|
|||||
Для неограниченно |
толстого |
слоя, |
заменяя амплитуду перемещения |
||||||
2аЕх2 = и0 (25.15) и полагая |
а = |
оо, получим из (25.27) деформации |
|
||||||
(е12)а = |
МоРг/2, |
(ец)в = |
и0рг/2 |
|
|
|
(25.28) |
||
и из (25.21) напряжения |
|
|
|
|
|
|
|
||
(ви)а = |
у |
+ в'л) = |
1 + |
У 1 + |
ег, |
|
|
||
(би)в = |
у Н °и <>( - 8Рг + Рх) = — |
2 1^2 |
8 |
~ ~ г . |
^ |
^ |
|||
|
1 |
|
|
|
/ 1+ТЛ1 + ^ |
|
|
||
Их амплитуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А = - У * Г +7[1 =^ у Т + Т г^^гр-У П :- |
(25.30) |
|
|||||||
Как видно, например, из рис. 22, амплитуда напряжения достигает мак
симума при |
некоторой частоте сош, определенной |
равенством |
© = |
©т. |
(25.31) |
Это — резонансная частота, измерение которой в |
опыте является не |
|
сложной задачей, если такие резонансные частоты, определяемые для раз личных конечных толщин слоя а, позволяют определить характеристики
•йсо, Я (О* Свободные затухающие колебания. Пусть некоторое время на тело
действуют силы Рг, после чего тело совершает свободные затухающие колебания. В таком случае силы, перемещения, деформации, напряжения будут иметь интегрируемые квадраты в бесконечном интервале времени
и потому могут быть представлены интегралами |
Фурье |
|
|||||
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
ип(I, х) = |
-У- ^ ип(со, х) е~ш й<й, |
|
|
|
||
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
етп (*, х) = |
- у |
^ е*шп(®, х) е~^<Зсо, |
|
|
(25.32) |
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
®тп (г, Х) = |
4 " |
^ ° ”1П |
Х) |
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
П р И Ч е М |
— 1^7п ,П |
^71,777? ^ |
= ^771 ,771? & Т П П |
®771П |
^ |
^ Д Л Я Н З “ |
|
пряжений, например $тп, получим |
|
|
|
||||
|
|
г |
|
|
оо |
|
|
к(*, X) = ^ Г(т) <?тп (< — г) с/т = |
§ Г (со, I) етп(со, х) <г*"'Ло, |
где при достаточно больших I
|
со |
|
Г (со, I) —з- Г* (со) = |
^ Г (I) е™41, |
|
|
О |
(25.33) |
|
оо |
|
|
|
|
Гх (со, *)-► Г1 (со) = |
Л 1\ (I) е**А. |
|
|
о |
|
Следовательно, для достаточно больших I |
|
||
°тп (СО, X) = (Г! - |
Г*/3) 0*бтп + Г *8*тп, |
(25.34) |
|
и уравнения движения принимают вид |
|
|
|
Р* (нп) ~Ь рсо2ип |
рВп = 0. |
|
(25.35) |
Оператор Ляме |
|
|
|
и (и1) = (г; + Г/6) е;п + Г /2Ьип. |
|
(25.36) |
|
Граничные условия в напряжениях имеют обычный вид |
|
||
Зтп^п — ^Ш| |
|
|
(25.37) |
причем силы Рп (I, х), З т (г, х), как уже |
говорилось, исчезают при неко |
||
тором 1 = 10 и потому |
|
и |
|
оо |
|
|
|
Рп (со, х) = - ^ |
Рп (I, х) е~ш (к = |
(*> х) е~ш <И, |
|
о |
|
о |
(25.38) |
и |
|
|
|
Рп(со,х) = 4 ^ « ( г ,х ) е - - 'А 0
конечны. Из (25.35) при <Иу Р = 0 и го! Г = 0 получаем уравнения Гельм гольца для дилатации 0* и вихря го! и* = 2Й*
де* + (^.уе* = о, |
< ■ ,= ]/} ( г ; + | г ) , |
(25.39)
А&*+(— |2Й’= 0, \ с2/
В качестве примера вновь рассмотрим полупространство, на границе которого в момент I = 0 приложен импульс (ось хх = х в глубь полу пространства)
|
|
оо |
|
51 = |
а11 = Ф (0> |
«1 = я ^ б (I) еш й1 = |
(25.40) |
|
|
о |
|
причем их = их (I, х), |
0 = и1л (I, х), Оц = Оц (со, х) = (Гх |
2Г73) 0* |
|
и потому из |
(25.39) |
|
|
Решение этого уравнения
гоох |
гоох |
|
Оц - А е ~ |
+ Ве~ ~ , |
(25.42) |
удовлетворяющее условию (2.40) и исчезающее при х —> оо, имеет вид
ах з!п ср |
шх соз <р„ |
|
---------+1 |
----;—~ |
(25.43) |
Оц = че |
|
где с — модуль с1, фс — аргумент сх с обратным знаком
с1 = се |
с(со)= ] / } } / ( п и + ^ п е}2+ ( п 1 с + * .всу . |
(25.44)
Как видим, Фурье-образ ап,— убывающая функция со. Картина рас пространения волн по глубине х и по времени ^ дается обращением (25.43)
оо
Оц (*, х) = |
Ке ^ о*х (ю, х) е-*“Усо = |
|
||
|
о |
|
|
|
|
ОО |
ХОО 31П ф |
/ |
|
= Л - П е [ е |
с |
4Г '” |
= |
|
я |
^ |
|
|
|
|
о |
|
|
|
оо |
хоо 31П Фс |
|
хлосоз ф |
|
|
= ~ ^л\е |
с |
003 (ю*---- |
(24.45) |
||
йа>. |
В случае пропорциональных экспоненциальных ядер релаксации
Л(1) = Л0е~^, |
Лг = Лые ^ , |
(25.46) |
входящие в (24.25) величины имеют следующие явные выражения через со:
|
|
|
|
1 / |
Лю>Н“- |
2 |
И,. -= Л„ ~ „ш, |
|
= |
(ЗСО |
-д~ Ло |
||
’ |
с0= К |
----- |
|
|||
0 со2 + р2 |
|
со9- + З2 |
|
|
|
|
|
|
^2срс = |
со |
|
|
(25.47) |
|
|
|
Т ’ |
|
|
|
< В 3 1 П ф |
Уо |
|
Переходные процессы. Периоды образования стационарных вынужден ных колебаний, рассмотренных выше, и перехода к предельному процес су, описываемому уравнениями (25.35), (25.39), являются более слож ными для исследований и могут быть изучены, в частности, тремя мето дами. Первый — прямой метод решения системы уравнений рйг = + + Рг вместе с основными соотношениями между напряжениями — дефор мациями — временем — температурой, записываемыми в конечных раз ностях.
Другой метод основывается на представлении решений в виде рядов или интегралов Фурье (25.32), причем не делается предельного перехода
(25.33), а выражения напряжений
ОО
«тп (*, х) = |
г (со, I) етп (со, х) |
|
|
|
О |
|
|
|
оо |
|
|
5 (*>х) = |
§ Г1 |
е* |
(25.48) |
|
о |
|
|
г (со, I) = |
г |
|
г |
^ Г (х) е'^йх, |
1\ (со, I) = |
^ Гх (г) е1а>Чх, |
|
и перемещения ип (2, х) (25.32) преобразовываются к двукратным интег ралам с помощью замены Г (со, *), 1\ (со, I) на
|
оо |
Т(со, Ь) = Г* (со) — Г (со, I) = |
\ Г (т) е^Чх, |
|
ч |
|
оо |
Гх(со, I) = Гх(со) — Гх (со, *) = |
$ Г1(т) е™Чх, |
|
г |
это — функции с интегрируемым квадратом модуля, и потому они мо
гут быть представлены интегралами |
Фурье |
|||
|
|
|
оо |
|
г (со, I) е~ш |
= |
|
^ ё' ((о, р) е-^Чр, |
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
оо |
|
Гх (со, 0 е~ш = |
1 - |
(со, р) е^Чр, |
||
оо |
|
|
О |
оо |
|
|
|
||
§(<■д,р) = 5 |
Г(<М)е1(р"“)*<#, |
§1(<*>’Р) = ^ Г1(со, |
||
О |
|
|
|
о |
Врезультате можно получить систему уравнений, аналогичную (25.35),
скоэффициентами, зависящими от у (со, р).
Распространен метод преобразования Лапласа, непосредственно при водящий основную систему динамических уравнений к виду, внешне сов падающему с (25.35), (25.36), если положить со = 1р. Решения этой сис темы могут быть построены для многих случаев, но переходы к оригина лам будут достаточно сложными, хотя формально решения и записыва ются в виде интегралов Мелина.
Нелинейные задачи линейной теории термовязко-упругоети
К таким задачам мы, во-первых, относим так называемые связные зада чи, в которых температурное поле не определяется независимо от поля напряжений и деформаций вследствие нагревания вещества за счет дис сипации энергии, а поле механических величин вследствие зависимости ядер ползучести и релаксации от температуры не определяется независи мо от температурного поля; во-вторых, контактные задачи с переменными границами площадей контакта, зависящими от времени как вследствие ползучести релаксации, так и вследствие изменений нагрузок во времени. В этой главе дается также одна специальная линейная задача — о рас чете выгорающего полого цилиндрического заряда, заключенного в упру гую тонкостенную оболочку.
§ 26. Связные задачи термовязко-упругости. Метод последовательных приближений
Здесь мы дадим только постановку квазистатических связных задач и принципиальную схему общего метода решения, отличного от конеч но-разностного, который с помощью счетных цифровых машин также позволяет решать некоторые простейшие задачи [42]. Допустим, что не стационарное неоднородное поле температуры О = Г — Г0 задано функ цией координат х г и истинного времени ^и, а значит и приведенного мест ного времени I (§ 5). Уравнения медленного ползущего движения среды
+ 9^г = 0 и законы связи напряжений с деформациями в приведен ном времени
— X) йец (т), |
о =•§ К г (* — т) Й0Т (т) |
О |
о |
лишь постольку содержат явное выражение Ф (^, х), поскольку массовые силы Р ь и поверхностные силы *5’^0 или перемещения и 10заданы как функ ции истинного, а не приведенного времени.
Предполагая пока заданные внешние параметры (Р*, 8 иь) и 6* изве стными функциями координат и приведенного времени I, мы с помощью преобразования Лапласа — Карсона получим в изображениях обычную задачу термоупругости: решение дифференциальных уравнений
2 + со* Зсо*