книги / Основы математической теории термовязкоупругости

Выражение энтропии получим, дифференцируя с обратным знаком выра­ жение (7.5) по температуре и используя соотношения (8.11)

получим условия, накладываемые на коэффициенты, в термодинамичес­ ких функциях

где Е г, К — положительные убывающие функции. Требования

имеют физический смысл: напряженность 1-то упругого элемента пропор­ циональна ег*; при постоянной деформации образца и температуре, т. е.

сматриваемом линейном случае необходимо представить однородной квад­ ратичной формой по 8тг с точностью до аддитивной функции температуры

(9.8) является фундаментальным его свойством, приводящим ко многим важным следствиям.

Из основного термодинамического соотношения, с другой стороны, он равен

Для получения выводов из сравнения (9.10) и (9.11) теперь мы исполь­ зуем свойство модели тела; допустим, что она является мгновенно упру­ гой, т. е. мгновенная деформация обратима и для такой деформации рассеяние равно нулю; при этом выражение не содержит слага­ емых

Действительно, при варьировании параметров в мгновенном процессе

Из (9.8) и (9.15) следует, что ядро релаксации К , которое мы считаем известным, представимо суммой положительных монотонно убывающих функций. Такое разложение, конечно, неоднозначно, так как суще­ ствует бесконечное множество обладающих этим свойством полных си­ стем функций ф*.(х), линейный агрегат которых с любой точностью ап­ проксимирует заданную К (,х).

По свойствам Кг (х) любую систему ф* (х) можно нормировать так, чтобы

Понятно, что если вместо более простого выражения И7 (9.26) мы возьмем

функция рассеяния ТУ* (9.22) не изменится.

Положительность функции ф + с№12Т^ очевидна по построению яд­ ра З5 (х> у). Поскольку, согласно второму началу термодинамики ТУ* долж­ на быть неотрицательна,

это условие накладывает дополнительные ограничения на функции Я 1 (х) или фг*(х)у поскольку ет (0 может быть произвольной. Требование убы­ вания Кг (х) по модулю, т. е.

мы будем предполагать выполненным для любого х ]> 0.

Полные системы функций ф* (#), позволяющие представить практи­ чески встречающиеся кривые релаксации К (х) в виде (9.18), существуют, причем они таковы, что условие (9.28) будет заведомо выполнено. Дей­ ствительно, если бы мы для определения функции рассеяния воспользо­ вались скоростями изменения во времени параметров еТ, т. е. записали бы

IV* в виде

Значит должно существовать преобразование (9.26) к виду (9.33), где У* (я) какая-то система функций. Это требование накладывает ограничения на системы ф* (#).

Заметим, что вместо (9.5), и (9.30) можно было бы взять более общие положительные квадратичные формы

но они приводимы к (9.5), (9.30), и потому важно только существование

или несуществование определяющего выражения е* в виде (9.31), которое можно было бы взять и в более общем виде, не выявленном при рассмот­

Мы не станем заниматься по аналогии с данным выше построением тер­

Отметим лишь, что приводимость формы И7* к виду (9.28) является до­ статочным, но не необходимым требованием, налагаемым на вид функций

Фг (^)•

Достаточным условием РТ* ^ 0 является практически более удобное требование положительности каждого отдельного слагаемого в (9.28), т. е. для любого <г = 1,2,...)

г г

Теорема. Требование (9.28) всегда выполняется для любого практичес­ ки задаваемого ядра релаксации Я (#), поскольку оно представимо в виде (9.18), т. е. существует по крайней мере одна система функций <р* (#), для которой условие (9.28) выполняется для любого Я (х).

Для доказательства покажем, что существует система ф* = фг0 такая, что каждое слагаемое суммы (9.19) равно соответствующему слагаемому суммы (9.33)

— С{ф«(у)ф| (я) = Уг (у)У1(х). Отсюда имеем единственное решение

и мы уже знаем, что в таком виде представимы все практически задавае­ мые ядра. Из (9.6), (9.20) и (9.28) получаем

I I

где

и теорема доказана.

Достаточным условием положительности IV* (9.28) для любой допу­ стимой системы функций ф* вследствие положительности коэффициентов С% является

для всех значений г, для которых Сг Ф 0. Возможно, что это условие и необходимо.

причем IV* 0 для всех допустимых В (*). Такой же результат получит­ ся, если вместо (9.43), (9.44) принять все В г одинаковыми, с точностью до множителя совпадающими с В [25]

т. е. предположить, что все внутренние параметры состояния с точностью до множителей релаксируют одинаково.

§10. Сплошная вязко-упругая среда максвелловского типа

Линейная теория вязко-упругости сплошной начально изотропной среды приводит к соотношениям Больцмана между напряжениями — деформа­ циями — температурой (если, конечно, использовать приведенное время)

ляются девиатор ец, скаляр 0 т и параметр состояния— температура Т =

ний не возникает. Эти же параметры являются порождающими и для функ­

Можно было бы повторить рассуждения предыдущего параграфа о

внутренних параметрах состояния типа е* и параметрах типа причем относительно первых свободная энергия должна быть квадратичной функ­ цией, а скорости изменения вторых определяют рассеяние. Но эти внут­ ренние параметры в линейной теории будут линейными операторами ос­ новных порождающих параметров, и потому свободная энергия с точ­ ностью до аддитивного слагаемого и рассеивание будут однородными ин­ вариантными квадратичными функционалами порождающих параметров,

т.е. двухкратными свертками вида

*I

Из основного термодинамического соотношения

для мгновенно упругой среды максвелловского типа получаем

*

0

I

с = ^ 5й» (* — т>°) С*),

О

I

‘* = -5Т + 3 а $ 5&в(*“ !С,О)Й0т(Т)’ (107> 0

* I

Поскольку правая часть равенства (10.3), определяющего свободную энергию г|э, образована как сумма квадратов параметров состояния типа

$г, причем вследствие ее инвариантности (невозможности произведений типа йвц (т2) й§т (т2)) эта сумма состоит из двух сумм квадратов, функции Зье (х, у) и Фо (#, у) должны быть представимы суммами .