книги / Основы математической теории термовязкоупругости

стве, если с репером ет (ттг = 1,2,..., 5) связать ортогональную декартову систему координат и откладывать по ним компоненты векторов согласно (1.21). Тогда процесс деформации некоторого элемента — тела изобразится траекторией деформации э = э(2) и значениями скаляра 0(г) = Зе в раз­ личных ее точках, а процесс нагружения этого же элемента — траекторией нагружения о* = сг(2) и значениями скаляра о(2) в ее точках (рис. 1). Если репер параллельно переносить по траектории деформации, то вектор на­ пряжения а можно изображать в местном репере в текущих точках траек­ тории деформации (рис. 2). Тогда получаем пятимерный образ процес­ сов деформации и нагружения элемента тела, который является аналогом известному изображению движения материальной точки под действием силы. Этот образ особенно полезен для теории начально изотропных тел.

Тензор скорости деформации получается дифференцированием тен­ зора деформации гц по времени, т. е. выражается через вектор скорости V = ди/дЬ формулами Коши

Аналогично тензор скорости напряжений

Их интенсивности

связаны с длинами дуг траекторий деформаций и нагружений

т. е. Vи, Уи суть скорости движения изображающих точек (концов векторов э и ог) по траекториям; длины дуг

иО

суть их первые инвариантные геометрические характеристики, связан­ ные с первыми дифференциалами векторов э и сг. Единичные векторы

причем на основании (1.31) 5 и 2 взаимно однозначные, монотонно воз­ растающие функции времени I, и потому э (I) и а (2) можно рассматривать как однозначные функции 5 и 2 соответственно.

Процессы в момент I (и траектории в точках 5 и 2) называются анали­ тическими, если существуют все производные векторов э и от по $ и 2 и в окрестности этих значений они представимы рядами Тейлора, так что

единичные векторы главных нормалей. Дифференцирование по 5 и 2 свя­ зано с дифференцированием по I соотношениями

Поскольку из пяти скаляров |эт ] один равен единице (|эх| = 1), траектория деформации в каждой точке имеет четыре параметра кривиз­ ны и кручения х 1? х 2, х 3, х 4 и скаляры зависят от них и их производ­ ных по 5, как и все другие скаляры видаэД э* • эр (1,р= 1,2,..., сю). Тож­ дества (1.37) называются соотношениями размерности; для компонент девиатора е^ они имеют тот же вид

<1 = 1 , 2 , . . . , оо>, (га = 1 , 2 , . . . , 5).

(1.38)

Пять взаимно ортогональных единичных векторов рх, р2,..., Рв> построен­ ных на базисе эт(т = 1,2,..., 5), образуют естественный ортогональный репер в текущей точке траектории деформации. Они связаны между собой

Процесс деформации в некоторой точке М тела называется простым, если направляющий тензор деформации ё ^ не зависит от времени, и, сле­ довательно, изменение тензора деформации в соответствии с первой фор­ мулой (1.13) происходит только за счет изменения во времени объемной де­ формации е и интенсивности деформации еи (или модуля вектора деформа­ ции э (1.22)). Единичный вектор деформации э° в процессе простой дефор­ мации остается постоянным, т. е. траектория деформации в пятимерном пространстве деформаций есть прямой луч, выходящий из начала коорди­ нат. Длина дуги траектории деформации при этом равна модулю вектора деформации э. Аналогичное определение простого процесса можно дать и для любого физического симметричного тензора второго ранга. Для тен­ зора напряжений простой процесс называется простым нагружением [2].

функция У и не существует какого-либо другого тензора-константы. Ка­ кой вид будут иметь ковариантные (иначе — изотропные) соотношения

Но на основе 8^ можно построить только два симметричных тензора-кон­

т. е. первые инварианты пропорциональны и соответствующие компонен ты девиаторов пропорциональны, следовательно, девиаторы пропорцио нальны.

Теперь найдем наиболее общие линейные соотношения между тензора­ ми напряжений и деформаций для изотермических процессов нагружения начально изотропного тела. Из изложенного выше следует, что объемнаядеформация Зе = 0 будет зависеть только от процесса изменения во вре­ мени среднего напряжения а, а девиатор деформации Ое ~ (еу) — толь-1

1 Левые и правые части ковариантных соотношений одинаково преобразуются при преобразовании системы координат х$.

или 6^(2). Поскольку мы рассматриваем малый элемент среды (или обра­ зец), в котором температура постоянна, напряжения и деформации одно­ родны, а других физических воздействий (притока энергии) нет, то зада­ ние ф(т) на интервале 0 ^ т ^ I ^ ^ вполне однозначно определяет ф(2) в момент I. Мы называем это утверждение принципом макроскопической определимости, некоторые авторы — принципом детерминизма. По-види­ мому, первое название лучше соответствует смыслу этого предположе­ ния, ибо принцип детерминизма, по своему существу являясь более об­ щим, должен включать зависимость ф(2) в момент I не только от макроско­ пических величин ф(т) (во все предшествующие времена т), но и от их раз­ личных градиентов и других параметров, носящих, может быть, микро­

Аппроксимирующий процесс нагружения (2.6) однозначно определяет деформацию фп(0* Общий видфп(^), если она линейная функция процесса

Если при неограниченном увеличении числа разбиений п (и А) при усло­ вии, что шах (Дтт )-> 0, существует предел для правой части (2.7), равный1

I

^ ЛГф(*, т) ф(т) с?т,

о

где а — положительное число. В литературе нижний предел интегрирования в этом

г+

случае обозначают 0“, т. е. Такое определение интеграла позволит нам исполь-

о- зовать аппарат обобщенных функций.

функциональных пространствах [5]. Для связи между напряжениями и деформациями в одномерной линейной теории вязко-упругости эти соот­ ношения были получены в работах [6], [7] и обобщены на случай трехмер­ ной модели вязко-упругой среды в [8].

Рассмотрим совокупность функций ф(т), определенных на отрезке [О, И и назовем эту совокупность пространством Нг. При фиксированном 1двум функциям пространства Нг <рх(т) и ф2(т) поставим в соответствие некото­ рое число, которое обозначим (ф19 ф2). Если выполняются следующие свой­ ства:

и ввести метрику, т. е. для каждой пары функций фх и ф2 определить число г (фх, ф2), аналогично тому, как в евклидовом пространстве определяется расстояние между двумя векторами

Н„ если для любого числа е О найдется номер А^(е) такой, чтог(фп,фт )<^е при /г, т №(е). Пространство называется полным, если всякая фундаментальная последовательность сходится к некоторому пределу, являющемуся элементом того же пространства. Пространство Я*, в кото­ ром введено скалярное произведение, удовлетворяющее свойствам а), б), в)\и г), и которое является полным по метрике (2.15), называется гильбер­ товым пространством. Важное свойство гильбертова пространства — пред­ ставимость произвольного линейного функционала ф[ф] в виде скалярного произведения

числа) называется линейным, если он обладает следующими свойствами:

произведения для любых двух функций фх и ф2, определенных на отрез­

ке [0,1]

г

гдер(^,т) — некоторая положительная функция памяти, т. е. функция, которая позволяет учитывать неравномерное влияние на ф в момент I величин ф(т) в различные моменты времени т 0 < т < ^ [9]. Нетрудно по­ казать, что введенное таким образом скалярное произведение удовлетво­ ряет требованиям а), б), в) иг) и пространство Н х будет полным относи­ тельно метрики (2.15), порождаемой скалярным произведением (2.17). Поэтому можем воспользоваться выражением общего вида линейного функционала (2.16) в этом пространстве. Согласно (2.17) имеем

где принято обозначение р(2, т)ф* (т) = Кф (2, т) .Выражение (2.18) полно­ стью совпадает с выражением (2.8).

Применим теперь полученные результаты к установлению зависимо­ сти между напряжениями и деформациями в линейной вязко-упругой изо­ тропной среде. Так как общая линейная зависимость между двумя произ - вольными симметричными тензорами 7 и 2 (2.1) сводится к двум скаляр­ ным соотношениям (2.5), связывающим отдельно девиаторные и шаровые составляющие тензоров У и 2, то, выбирая в качестве У , например, тен-

.зор напряжений 5, а в качестве 2 тензор деформаций Е, получим, исполь­ зуя соотношения (2.8) или (2.18), следующие зависимости:

Ядра уравнений (2.19) и (2.20) К(1, т) и Кг(1, т) называются ядрами сдви­ говой и объемной ползучести соответственно. Поменяв теперь местами тензоры напряжений и деформаций, т. е. принимая в (2.5) вместо У тен­ зор деформаций Е, а вместо 2 тензор напряжений, получим, используя формулу (2.8) или (2.18), следующие соотношения:

Ядра уравнения (2.21) и (2.22) Г (I, т) и Гх( *, т) называются ядрами сдви­ говой и объемной релаксации соответственно.

Предположим теперь, что состояние материала не зависит от начала отсчета времени. Это означает, что если, например, девиатор напряжений 8^(1 — |) некоторого процесса напряжений равен девиатору 8Х^1) (рис. 4),

О