книги / Основы математической теории термовязкоупругости

Величины Р (а0, I) нам известны из опыта 1 , величины Р2 (а0, I) определя­

Таким образом, мы получили все материальные функции, используемые в теории как функции параметра о0в виде набора экспериментальных кри­ вых. Так как все эти функции монотонно убывают по I вместе со своими производными, то их можно хорошо аппроксимировать набором экспонент

(40.18)

2=1

хотя бы методом наименьших квадратов. Число п в (40.18) принимают обычно равным от 1 до 3.

Сделаем теперь замечание относительно метода экспериментального определения ядер К , К 2, К г, К±, входящих в уравнения (32.23), (32.24) главной кубичной теории ползучести [3].

Легко убедиться, что в одномерных опытах, когда только одна компо­ нента девиатора является произвольной (например, в случае растяже­ ния — сжатия или чистого сдвига), все пять ядер не могут быть определе­ ны, а могут быть найдены лишь четыре независимых:

* (*). («) = К г (*) + (О, (40 19)

(*) —2^а(0 + К2{1), Ка(1).

При этом опыты на ползуч,есть позволяют найти только ядро К (I) и сумму ядер: К 1Ъ(I) + К12 (г) + Къ {I). Одномерные опыты при постоян­ ной скорости нагружения достаточны для определения всей группы ком­ бинаций ядер (40.19). Следовательно, если в экспериментальном обоснова­ нии теории ограничиться только результатами одномерных опытов, то ядра К г, К2 или К 3 можно отбросить. Например, при К3 = 0 из (32.23)

имеем

I

причем А имеет прежнее выражение (32.24).

§ 41. Метод последовательных приближений для задач нелинейной термовязко-упругости

Рассмотрим связь между тензорами напряжений и деформаций самого об­ щего вида. Пусть, например, имеют место операторные соотношения (33.7) и (33.21)

(41.8) и (41.9) Вг= 0, т. е. В^{и} = 0. Тогда получается линейная задача,

Эту задачу можно решить одним из методов, рассмотренных в пятой главе.

Пусть и(0) — решение соответствующей линейной задачи, так называе­ мое нулевое приближение поставленной нелинейной задачи. Определяем теперь «фиктивные» массовые и поверхностные силы как выражения, стоящие в правых частях соотношений (41.8) и (41.9) соответственно. Тогда

Решение последующих приближений осуществляется с помощью введения «фиктивных» массовых и поверхностных сил по схеме

и справедлив для нелинейной среды с анизотропией произвольного вида. Если, например, уравнения связи между напряжениями и деформациями имеют вид суммы интегралов возрастающей кратности (34.30), то для по­ лучения операторов Ри (А1Л) в этом случае нужно в соотношениях (34.30)

всюду под Ец понимать е17*, которые необходимо заменить на их выраже­ ние через вектор перемещения и и температуру Т по формуле (41.5).

Если рассматривается изотропная среда, то в этом случае тензором теплового расширения будет дельта Кронеккера, умноженная на скаляр­ ную величину а (см. § 4). Поэтому соотношения (41.5) для изотропной среды можно записать в следующем виде:

(41.10)

0= 0—Заг = Щ'Ь — ъ&т.

Итак, операторы Рц (41.4) для изотропной термовязко-упругой среды получаются подстановкой в соотношения (35.17) — (35.19) выражений

еи и 0 (на которые следует заменить еи и 0 соответственно) по формулам (41.10). В качестве примера выпишем операторы Р ^ для квазилинейной

Если в качестве уравнений связи между напряжениями и деформация­

00 0

Если же воспользоваться уравнениями (39.17) главной кубичной теории

Ва {и} = 4" Гзв(«{,; + Щ,г),

где оператор Вгбудет одним и тем же для обоих случаев, а под оператором

Г3 следует понимать тройной интеграл в (41.16), если рассматривается кубичная теория вязко-упругости, и одинарный интеграл в последнем вы­ ражении (41.17), если рассматривается главная кубичная теория вязко­ упругости с мгновенной линейной упругостью.

Если добавить к соотношениям (37.17) или (39.17) еще линейный упру­

Вводя некоторые функциональные пространства для функций, равных нулю в некоторой пограничной полосе, и определив с их помощью поня­ тия обобщенного решения поставленной задачи квадратичной теории вяз­ ко-упругости, можно аналогично тому, как это делается в работе [86], до­ казать для рассматриваемой задачи сходимость метода упругих решений.

§42. Задача о расширении сферической полости

внелинейном вязко-упругом пространстве

Применим метод последовательных приближений, изложенный в § 41 г к решению задач главной квадратичной по девиаторам теории термовязко­ упругости с мгновенной линейной упругостью. Воспользуемся соотноше­ ниями (41.13)'. Тогда уравнения равновесия (41.8) примут вид

пространство со стороны сферы 170]. Пусть на сфере радиуса г = а дейст­ вует давление р (г), изменяющееся со временем. Предположим, на беско­ нечности давление отсутствует. Пусть температурное поле нам известно из решенной задачи о распределении температур по заданным гранич­ ным и начальным условиям. (Решение последней задачи для сферической полости в неограниченной среде имеется, например, в [87].)

Пусть функция П3 (/) найдена каким-либо образом. Тогда метод упругих решений позволяет получить каждое приближение поставленной задачи в квадратурах.

Заметим, что функцию П3 (2) можно найти приближенно методом ап­ проксимаций или точно, если известно ядро ^2/з (г) для данного материала.

Для этого обозначим через 6 итерированный оператор П1Г (6 = ПХГ). Тогда оператор П3 можно представить следующим образом (см. § 20):

Если ядро ^ /з (г) неизвестно, то можно воспользоваться методом аппрокси­ маций

где а, Ъ, с находятся методом наименьших квадратов [28]. Таким образом, ядро П3 (I) имеет следующий вид:

I

а

где константы Сх и С2 определяются из граничных условий. Удовлетворяя линейным краевым условиям (42.5), получим в качестве

нулевого приближения