книги / Основы математической теории термовязкоупругости
..pdfформулам |
|
|
|
|
|
3 |
= |
2 + |
4 - / г а ; = 2- |
згГд* |
|
1 + V* |
|||||
V* |
• |
3 - |
_ ЗП*Д* - |
1 |
(17.9) |
|
|||||
1 — V* |
|
3 + |
2Д*П* ~~ ЗП*Д* + |
2 |
' |
Как видно из (17.3), (17.4), (17.8), температура0 явно не входит в диффе ренциальные уравнения, она может входить только в граничные условия задачи.
Рассмотрим контактные граничные условия двух типов на поверхности тела 2, причем одни из них (первого типа) задаются на определенной не изменной во времени части 2 Х, другие — на Е2 (2Х+ Е 2 = 2).
Граничные условия 1-го типа в точке 2 Х: задаются три определенных взаимно ортогональных единичных вектора гх, г2, г3 и компоненты век тора перемещения и и вектора поверхностной силы 8
и*гт == |
щгт1 = |
итг, |
щ гт * = итГ1 |
(17.10) |
8-Г^ = |
3}Тп1 = |
== Зп |
=== Зпг^ |
|
где итГ1 З пг — заданные |
величины, причем общее число заданных в точ |
ке величин итГ1 8пг равно 3, так что либо т = 1, 2, 3 и тогда 5пг не зада
ны (задан вектор перемещения), либо п = |
1, 2, 3 и тогда итГ не заданы |
|||
(задан вектор напряжения), |
либотгг = |
1,2, |
п = 3, либо т = |
1, п = 2, 3, |
т. е. заданные части векторов и, 8 ортогональны. |
|
|||
Граничные условия 2-го |
типа в точке 2 2: задаются гх, г2, г3 и связь |
|||
между 8 и и |
|
|
|
|
5*гг — Е2и*гг = |
|
|
|
|
~~~^2^0 ^и — N |
(оц1] |
щ) тц = N 1, |
(17.11) |
где N 1 — заданные величины, причем либо I = 1, 2, 3, так как заданы три условия (17.11), либо I = 1, 2 и тогда одно условие может быть типа (17.10) либо I = 1 и тогда два других условия — типа (17.10). В (17.10), (17.11) // — направляющие косинусы нормали, гк1 — направляющие косинусы векторов гк, Е2 — постоянная или функция координат, имеющая размер ность модуля, деленного на длину.
Полученные выше в изображениях дифференциальные уравнения, со отношения и граничные условия с точностью до обозначений совпадают с системой уравнений классической теории упругости.
Задачу при граничных условиях (17.10), (17.11) общего вида можно ре шать либо на основе уравнений (17.4), либо на основе (17.3), (17.8) с ис пользованием формул Коши (17.2) и соотношений (17.1). Для краткости мы часто будем иметь в виду первую постановку, как содержащую мень шее число дифференциальных уравнений (одно векторное уравнение Ляме для вектора иг), а напряжения аи будем считать выраженными через пере мещения по формулам
0 |
1+V* |
(17.12) |
4 - 1 —2V* |
||
где входящие операторы выражаются через основные |
|
|
V* |
1+V* |
|
Граничные условия (17.10) на основании (17.12) в перемещениях при нимают вид
(«Уз + ! ^ 2 у~ |
= ГГ‘5"Г+ 1~2\* |
(17.14) |
|
а граничные условия (17.11) приводятся к виду
(е«г,- + т ^ г ^ г _ 7?2П*“ ') Гн ~ П^ 1+ |
«ОVI*. (17.15) |
Коэффициент Пуассона V* выражается через основные операторы:
з - л пг зп д; —1
(17.16)
6 + Д*П* “ 6П*.Д* + 1
Усложнения, вносимые контактными граничными условиями (17.15), весьма существенные, определяются оператором, с точностью до множи теля совпадающим с П*
Г * = я 2п \ |
Г = |
Я,П(0 |
|
|
(17.17) |
|
и входящим коэффициентом при искомых функциях щ . |
||||||
Задача теории |
упругости получается путем |
отбрасывания звездочек |
||||
в (17.4), (17.12), (17.14) и других, т. е. заменой |
|
|
||||
Е*->2С, |
П*—> |
1 - |
’ |
V *—> V, |
7 |
-+Г = Ш , |
|
|
20 |
|
|||
|
тт*_* |
1 |
|
|
|
(17.18) |
* |
111 ^ |
~К ’ |
|
|
* |
|
0* —»• 0, |
|
&гз > 8^, |
вц |
|||
1^1 ^ , |
|
ва |
и обратно: первая и вторая задачи термовязко-упругости в изображениях получаются из задачи теории упругости заменой, обратной (17.18): 2(7
-►Я*, К -+ г -^ л Л ..
Следовательно, и решение нашей задачи в изображениях получается из решения задачи теории упругости путем восстановления звездочек, т. е. обратной заменой (17.18). Будем считать, что задача теории упруго сти решена, т. е. будем пользоваться многочисленными результатами, полученными в статической теории упругости и строительной механике упругих систем.
Вместо коэффициента Пуассона V и оператора V* введем более удобный
параметр со0 и оператор со* формулами |
|
|
|
|
|||||
«0 |
20 |
1 —2\ |
» |
® |
1 |
*-*Т |
1 |
1 —2V* |
X |
3 тг |
4_!_ *, |
з |
отт* г,* |
4 ! |
|||||
|
3К |
1 + V |
’ |
|
|
|
|
|
(17.19) |
|
1 — соо |
|
|
|
И — со* |
со*д* = |
1. |
||
|
* |
|
|
|
|||||
|
2+ооо |
|
|
2 + |
со* * |
|
|
|
Тогда коэффициенты, входящие в дифференциальные уравнения (17.4),
(17.8) и граничные условия |
(17.11), |
(17.14), |
(17.15), запишутся |
в виде^ |
||||||
1 |
__ 2 + |
со* |
|
3 |
_ |
о , |
* |
V* |
1 — со* |
|
1 — 2V* |
Зсо* |
8 |
1 + V* |
|
|
Ю ’ |
1 — V* |
1 + 2со* |
2 |
|
V* |
1 1 |
— со* |
1 + V * |
_ |
1 |
|
- |
--------- |
(1 7 .2 0 ) |
|
1 — 2V* |
3 |
со* |
8 |
1 - ^ * |
|
со* |
2 |
Т* = |
ЕгП \ |
|
|
|
|
|
а сами уравнения и граничные условия — в виде |
|
|||||
2 + ю* |
< |
г |
Щ, уу — -2 р П * ^ ; |
(17.21) |
||
Зсо* |
1 |
|||||
* |
|
р?1; |
|
(17.22) |
||
У= •- |
/1 — со* |
|||||
^гУ, кк + |
(2 |
СО) 0, гз ~ |
Рг, к&из -Ь Рз, кбм^; |
|||
Р \1 + 2(0* Рц, к&Ц + |
||||||
|
И'тгч* |
|
|
(17.23) |
||
и\гтХ= |
|
|
(17.24) |
+Гпг — П 8 п г +' —03* ®%Гпй
(®1^У *Ь |
- |
гн = П’ЛГ, + |
-?-гЪ%гп... |
(17.25) |
Последние два граничных условия при у* = |
0 (т. е. Е2 — 0) совпадают |
с точностью до обозначений и потому для целей дальнейшего анализа важ
но только |
первое условие |
(17.24), |
не |
вытекающее из (17.25), |
и |
условие |
(17.25). у* |
существенно |
входит |
в |
левую часть уравнения |
(17.25), |
|
как и со*. Выражение напряжений через перемещения (17.12) |
примет вид |
|||||
О* = в* (4- + |
е*а„ - |
± г <>*««). |
|
(17.26) |
Рассмотрим задачу теории упругости на основе уравнений Ляме (17.21) и граничных условий (17.24), (17.25), воспользовавшись линейностью си
стемы и принципом суперпозиции. Вектор перемещения щ в некоторой точке х тела является линейным функционалом правых частей перечис ленных уравнений; коэффициенты входящих в них слагаемых П*, ай^/со*
не зависят от координат и потому и* |
будет линейной функцией этих коэф |
||||
фициентов, |
причем неоднородной, |
так как в |
первое условие (17.24) в |
||
правой части входит коэффициент 1. |
|
|
|||
Значит, общее решение задачи всегда будет иметь вид |
|||||
Щ = / г + П фг + |
фТгФ |
, |
|
|
|
в ц =■ |
В * 1 а + ф?у 4 ' З а 7 ? 1ф т’г7'в’* + |
|
|||
-ь [(1 — «о д ;/;, * |
+ |
Ф; , , + а |
д ;ф« . *<>•] ^ - |
||
— За#;Г6*,-. |
|
|
|
(17.27) |
|
Все функции |
/* и ф* будут |
зависеть только от «упругих характеристик» |
со*, у* и координат и будут линейными функционалами по координатам
«нагрузок» и*тг, 8 пг,* |
Оператор |
со* входит в левые части уравнений |
|
Ляме и граничных условий только в комбинациях |
|
||
2 + со* |
1 — со" |
(17.28) |
|
Зсо* ’ |
Зсо |
|
|
|
|
Вид формулы (17.27) для компонент напряжений вытекает из вида щ, формул (17.2) и выражения (17.26), причем все двухиндексные коэффициен ты выражаются через Я , Ф? , фт! оператором «деформация», т. е.
/ « |
= |
(/Ь- + |
/5.0/2, |
ф& = ( ф Ь - + ф * ,; ) /2 , |
ф Т У |
= |
(фТг,з |
+ Ф Г з ,г ) //2 , |
|
а — обычная дивергенция.
Поскольку мы считаем задачу теории упругости уже решенной, зна
чит в (17.27), в |
случае, если решение дано в перемещениях, векторы /; , |
|
ф* , |
фхч известны, а в случае, если решение дано в напряжениях, тензоры |
|
Я м |
фг*, ФЬ-> |
и скаляры Яд Ф ц и фЬд известны как функции |
координат и, что особенно важно, операторов со*, у* на основе обратной замены (17.18).
Отметим, что вектор /| в (17.27) возник в связи с заданием на границе вектора перемещения итг, согласно первой формуле (17.24), и он будет равен нулю, если все итг не заданы или равны нулю, вектор ф; возник в связи с заданием хотя бы одной из сил Рг (17.21), д5пг (17.24), N I (17.25) и он обращается в нуль, если массовые силы Рг равны нулю и не задано ни
одной из сил |
8пг, N I, т. е. заданы только граничные условия в переме |
щениях; вектор |
фу* возник в связи с заданием граничных условий в напря |
жениях (17.24) или контактных (17.25) и он становится несущественным только при ф = 0.
Чтобы подчеркнуть связь функций /, ф, фг с заданными внешними пе
ремещениями, |
силами и температурой, переобозначим векторы |
|
|||||||||
0*’= /! , |
|
|
|
|
|
т 1 ^ ? ^ гч>т1 |
|
(17.30) |
|||
введем новые |
обозначения |
|
для тензрров |
|
|
|
|||||
тт* |
и* |
| |
1 |
ю* ,* |
|
о |
|
|
|
|
|
и а =\/у -!— з^т—а |
, кОц, |
|
|
|
|
||||||
Рц — ФV Н |
3^ |
|
ф/с, А л |
|
|
|
|
||||
/71* |
* |
|
,1 -- (0* |
• |
л |
|
|
|
(17*31) |
||
1 и ~ |
Фта |
^— з^*--фтк, |
|
|
|
||||||
которые в отличие от (17.29) выражаются |
через векторы |
(7;, |
Р;, Т* опе |
||||||||
ратором «напряжение», что видно из (17.26); |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Зсо* |
|
|
|
|
р*. — _ Г Р * . л, р* |
л |
1 —со* |
Рк, А л |
|
|
||||||
Зсо* |
|
|
|||||||||
ЪЗ— |
о |
' |
г>] |
‘ |
^ 1’ |
1/ |
|
г?’ |
|
|
|
т'и= |
4 - ( К } + |
|
|
3— Тн,кЬц. |
|
(17.32) |
|||||
г,!.Р) + Ц # - г * . л |
|
|
|
||||||||
Система равенств |
(17.32) |
определяет тензоры С/;*-, Р;;*, |
2#, |
если из |
|||||||
вестны перемещения (17.27), т. е. функции |
(7;, Р*, Т\ в формулах |
||||||||||
Т]\ + |
П*Рг + |
|
|
|
|
|
(17.33) |
||||
при этом напряжения а% находятся по формулам (17.27)] |
|
|
|||||||||
= |
К'1Г*} + |
р Ъ + |
3 аЯ1 2^#* . |
|
|
(17.34) |
Напротив, если известны напряжения (17.27), т. е. тензоры, входящие в правые части (17.34), то перемещения и* выражаются формулами (17.33), причем должна быть решена известная система дифференциальных урав нений
4 - К з + 2*. О = 2*; - (1 - со*) 2*аи, |
Г = 4 - %А) = 4 - 2кк |
при |
однородных граничных условиях, исключающих движение тела, |
||||||||
как абсолютно твердого; это решение имеет вид |
|
||||||||
|
^ |
= |
2* - |
(1 - |
со*) |
2Г, |
|
(17.36) |
|
где |
'* |
|
"М |
— известные линейные |
интегральные операторы |
по коор |
|||
2,1 , |
2ъ |
||||||||
динатам |
от 2ц, 2*. Уравнения (17.35) и решения (17.36) справедливы для |
||||||||
любого из |
векторов |
С/*, Р*, |
|
|
|
||||
|
VI |
= |
и'* - |
(1 - |
со*) |
С/Г, |
|
|
|
|
Р\ = Р? - |
(1 - |
со*) |
Р?9 |
|
(17.37) |
|||
|
|
Т\ = |
Т1 - |
(1 - |
со*) |
Т\\ |
|
|
|
Если заданы 11ц, |
Р*ц, |
Тц, |
значит |
заданы и входящие в (17.37) векторы |
|||||
со штрихом и двумя штрихами, и зависимость последних от со* |
опреде |
ляется только зависимостью соответствующих первых от со* {II{ , —
от 17ц и т. д.)
В сопротивлении материалов и строительной механике определяются некоторые величины V типа прогиба (прогиб, перемещение, угол поворота, деформация, искривление ...) и величины <5 типа напряжения (напряжение, перерезывающая и сжимающая силы, реакции, изгибающий и крутящий
моменты, ...) по |
заданной системе величин Р типа сил (внешние силы |
|
и моменты, давление, |
вес, квазистатические силы инерции и коэффициен |
|
ты перегрузки,...), величин V типа перемещения (перемещения, углы по |
||
ворота, выбираемые |
зазоры в опорах и креплениях,...) и температуре#, |
|
которая в первых |
двух типах задач равна нулю или одинаково изменяется |
по времени во всех точках конструкции. Решение, т. е. формулы для вы ражений V, 5 через II, Р, # , всегда имеет вид
V = IIу + |
Ру + &ТV Ф, |
|
«У= 2Сг118 + Р8 + ЗаК |
(17.33) |
где а — коэффициент линейного расширения; С — модуль сдвига; К — модуль объемного сжатия; 17у, 88 — некоторые известные линейные функ ции от Л и коэффициента Пуассона V; Ру, Р8 — то же от Ри V, и Т8 — от V, причем все они, конечно, зависят от геометрических характеристик тела и от положения точки в конструкции, для которой находятся V к 8.
Чаще вместо модулей О и |
К в |
(17.38) входят модуль Е и V, т. е. |
|||
1 р |
_ 1 |
п |
р |
_ |
т + 7 - |
~2С |
- - ё |
Ч у, |
^ |
- |
|
20118 = Е У 8, |
|
^ 8 = |
( И ^ ) Г 8, |
||
ЗК Тв = Е в в, |
Т 8 = (1 — 2у) е 8. |
В изображениях, следовательно, получаем соотношения вида (17.33), 17.34)
V* = |
Пу + |
П*Ру + |
лТ*уЪ*, |
|
|
я* = |
К*и1 |
+ |
+ |
З а Я ^ Г , |
(17.39) |
лям и коэффициенту Пуассона и переходом к со* (17.19), (17.20), причем
|
|
р 'у= ( 4 - + 4-ю*^ (?*у, |
^ |
V |
I |
|
||
|
|
3 |
3 |
|
|
|
2 + со* |
|
|
|
Зсо* |
©з |
|
|
|
(17.40) |
|
|
|
т: = 2 + со* |
|
|
|
|||
|
Все трудности обращения соотношений (17.33), (17.34), (17.39) связаны |
|||||||
только с тем, насколько |
сложно зависят входящие в них функции |
{/% |
||||||
Р\ |
Т* |
от коэффициента |
Пуассона, |
т. е. от оператора со% и от у* (в слу |
||||
чае контактных граничных условий 2-го тина). |
|
|||||||
§ 18. |
Обращение некоторых операторов |
|
|
|||||
§ * |
Теорема свертки: |
даны изображения |
двух функций времени |
(р), |
||||
(р) и дано уравнение, определяющее изображение искомой функции |
||||||||
/(*) |
Г(р) = л ”0(р)Г (р). |
|
|
(18.1) |
||||
|
|
|
|
|||||
Тогда функция / (*) определяется в виде |
|
|
||||||
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
/(() = ж0(0)^ (I) + |
{I — т)^Жо(т) = § (0)Жв(ОЧ-. |
|
||||
|
|
X |
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ $Ж0( г - т ) ^ ( т ) . |
|
|
(18.2) |
|||
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
Тождественность двух последних выражений вытекает из интегрирования
по частям, что |
предполагается допустимым для § |
и ЛГ0. Из симметрии |
|||
(18.2) относительно $ и |
Ж |
следует, что операторы Ж*, — коммути |
|||
рующие, т. е. выражения |
|
|
|
|
|
•^о(р)^ *(/>) = Зг*(р)^'1(р) |
|
(18.3> |
|||
дают изображение одной и той же функции. |
|
||||
Применяя (18.1), (18.2) |
к |
функции |
со * = Я* Пх/3, находим два выра |
||
жения оригинала со (О |
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зсо (I) = |
К (0) Пх {I) + |
^ Пх {I — т) йЯ (т) = Пх (0) Я (I) + |
|||
|
х |
|
о |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
— т)<ш1(т). |
|
(18.4) |
|||
|
о |
|
|
|
|
Обратная функция л* = |
1/со* = ЗП*7?Химеет оригинал |
||||
|
|
|
х |
|
|
4 - я (0 = П (0) Л, (0 + \ Дх (* - |
X) <Щ (т) = |
Л, (0) П ({) + |
|||
|
X |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1иЦ — х)<1Л1(х). |
|
(18.5) |
||
|
о |
|
|
|
|
Как уже отмечалось, операторы (/?*, 1Г) и (Ни Пх) являются по парно взаимно обратными
Д*П* = |
Г Г Д * = 1, |
— . = п*, |
= |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
А |
|
' Л |
|
А + ВП* |
_ АВ* + |
В |
__ АП.* + ДП*2 |
|
|
||||
с + шГ — ев* + Д _ |
СП* + шГ2 |
|
|
||||||
и аналогично для Ни П^. Далее имеем |
|
|
|||||||
АП* + |
ЯП* ^ |
А + |
з# д / _ |
Л п * + |
зВ |
|
|
||
СП* + |
ЯП* |
С + |
ЗЯсо* ~~ Ся* + |
ЗЯ |
|
|
|||
и вообще с операторами |
|
|
со*, |
я* можно обращаться как с числами |
ипроизводить различные алгебраические действия над функциями опе раторов.
Взадачах теории термовязко-упругости наряду с ядрами ползучести
ирелаксации рассматриваются еще только известные функции ср (хк1 *)
типа нагрузок (перемещений, температуры), которые обращаются в нуль
в начальный момент ср (хк, 0) = |
0, а также суммы выражений |
(хк, |
|||
для которых известны только изображения |
|
|
|||
/* = Ж’оФ*, |
|
|
|
(18.6) |
|
где Жо — оператор-функция из |
основных |
К* (или |
П*) и со*. Если обра |
||
щение Жо*, т. е. Ж0(2) — известно, то |
|
|
|
||
|
г |
|
I |
дФ (*. в X) |
к |
|
С |
|
г* |
, |
|
/ (*». 0 = 5 *^0 (ХЛ>* — т) <*Р (®». = |
5-^0 (**. * — *) — ^ — |
* • |
|||
|
о |
|
о |
|
(18.7) |
|
|
|
|
|
|
В соответствии с § 17 мы представим Жо в виде |
|
|
|||
|
Жо = Ж*Ф* (со*, г*), |
|
|
|
(18.8) |
где ж * |
— один из операторов, |
|
|
|
|
а |
Ж* = (1, Н \ П*,Л1Пх) |
|
|
|
(18.9) |
Т* = еП*, |
|
|
|
(18.10) |
|
|
|
|
|
||
причем |
е — независимый числовой параметр. Уравнение (18.6) имеет вид |
||||
|
/* = ;\Гф*ф\ |
|
|
|
(18.11) |
Излагаемый ниже (§ 19) метод аппроксимаций [28], [35] для решения за дач вязко-упругости основан на аппроксимации Ф* некоторыми простейши
ми операторами, в первую очередь — степенями со*, я*. |
Ф* предста |
|
1* Обращение |
степеней со*, я*. Пусть у* = 0, (е = 0) и |
|
влено суммой |
|
|
п2 |
|
|
ф * = 2 |
ф » (в>т. |
(18.12) |
71= — |
П \ |
|
где фп — постоянные (или функции координат хк). Для обращения
(18.11) |
необходимо знать обращение функций |
|
|||||
|
ч* = лг (ш*)" ф\ |
|
(18.13) |
||||
так |
как |
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
П2 |
|
|
(18.14) |
|
|
1 = |
2 |
ф пЧп- |
|
|
||
|
|
п=—п1 |
|
|
|
||
|
Из (18.13) имеем рекуррентные формулы |
|
|||||
|
фп = СО* фп-1 = |
|
|
(18.15) |
|||
|
Поскольку ф0 легко определяется |
|
|||||
|
|
|
|
|
х |
|
(18.16) |
|
фо = |
|
, |
Ф0(0 = 5N {I — т) Ар (т), |
|||
|
|
|
|
|
о |
|
|
то для положительных степеней |
1 из (18.15) имеем |
|
|||||
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
ф1 = |
®*ф0, Ф1(0 = ^ © (* — Т) Йф0(Т), |
|
||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
фп = |
(0*Ф^-Ъ |
фп(() = § (О(I — т) Лрп_! (т). |
(18.17) |
|||
|
|
|
|
|
о |
|
|
Для отрицательных степеней п < |
0 из (18.15) имеем |
|
|||||
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
ф^Х^Я'фо, |
ф-1 (<) = $ « ( < — ^Ф оСО . |
|
||||
|
|
|
|
|
О |
|
(18.18) |
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф-п = Я*ф1„+1) |
Ф_„ ( I ) = |
5 Я ( I —Т) ^ф_п+1 (г). |
|
|||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
На |
основании |
(18.14) |
находим |
|
|
||
|
|
|
х |
|
|
|
(18.19) |
|
/ |
|
( |
о |
т) ^ф (т). |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
где ядро |
Л^0 (2) получается суммированием итерированных ядер |
|
|||||
|
^0 (0 = |
Ф0ЛГ (() + Ф, [ЛГ (0) О) (I) 4- |
|
||||
|
|
|
|
X |
|
|
(18.20) |
|
|
|
4- § ю (* — т) <1М(т)] 4 - ... 4- Ф—1 [ЛГ (0) я (0 4- |
4- ^ я (I— т) сЩ(т)] 4 - . . .
где N (I), со (0-, я (0 известны. Выписанные явно выражения в (18.20) относятся к сумме трех членов
_Ф_: |
(18.21) |
ТТ' ”Ь Фо 4~ Ф 1О*. |
|
со' |
|
При N = № = 1, пг — щ = 1, т. е. для уравнения
/* = ( - ^ " + Фо + ф 1®*)ф*. |
(18.22) |
имеем оригинал (18.19), причем
^0 (0 = Ф0 + ф 1« (0 + Ф-1* (*)• |
(18.23) |
2. Обращение рациональных функций со*. Пусть Ф* в (18.11) — ра циональная функция со* (при е = 0). Тогда она представима в виде суммы элементарных дробей и полинома. Полином по степеням уже рассмотрен выше, следовательно, остается рассмотреть уравнение (18.11) при
Ф*(со*) |
2 |
|
|
Сп |
|
|
|
1 + Рп<о* |
(1+Э„ «V |
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
Пз |
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
Эп + я* |
Ь .. |
(18.24) |
|
|
|
|
|
|
|
||
где Рп — действительные |
числа. |
|
|
|
|
||
Достаточно рассмотреть только правильную дробь, |
т. е. обратить |
||||||
оператор |
|
|
|
|
|
|
|
& = 1/(1 + Р«0 = я*/(Р + я*) = 1 - |
р/(р |
я*), |
(18.25) |
||||
так как степени |
|
, |
обращаются так |
же, |
как со*п. Возьмем урав |
||
нение |
|
|
|
|
|
|
|
Г = |
|
|
|
|
|
|
(18*26) |
которое, согласно (18.25), переписывается в виде |
|
|
|||||
/* + рсо*/* = |
ф*. |
|
|
|
|
(18.27) |
Переходя к оригиналам, получаем для / интегральное уравнение в нор
мальном |
виде |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(0 = |
'Ра(0 — $ <*>' (г — т) / 00 |
(18.28) |
||
|
|
о |
|
|
|
где обозначены |
числа |
|
|
|
|
Я.0 = Р/(1+Рю(0)), |
ю(0) = |
ю0= ( 1 - 2 г ) /( 1 + г ) « 1 /4 |
(18.29) |
||
и функция |
|
|
|
|
|
$ а= |
|
|
|
(18.30) |
|
причем V — мгновенный коэффициент |
Пуассона вещества; со" — произ |
водная со по аргументу.
Для нахождения резольвенты ядра со' (*) в уравнении (18.28) сущест вуют известные методы; согласно (18.4), (18.5)I
I
ограничена по модулю вследствие того, что ограничены и положительны не только все В и Г1, но и все П'(^) и (—В ').
Пусть построена резольвента Гр (2) ядра —Х0со' (0 уравнения (18.28),
т. е. его решение имеет вид |
|
|
/ (0 = |
Фх (0 + 5 ГЭ(* — т) Ф* СО |
(18.32) |
|
О |
|
причем Гр (0 есть производная от нормированной функции |
Гр ($) |
|
1 = 0, |
Гр (0) = 1. |
(18.33) |
Тогда изображением (18.32), согласно (18.2) и (18.30), будет |
|
* = Грф! = -у - г ; ф*.
Сравнивая с (18.26), находим изображение #р и #р (I)
* |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 + |
[Зсо (0) ■Гр. |
|
|
|
|
|
|
8» (0 = |
|
1 |
Гр (0 |
= 1 + |
1 |
1 4- ( Гр (о а |
(18.34) |
1+рсо (0) |
рсо (0) |
||||||
где резольвента Гр (I) равна сумме итерированных ядер |
|
||||||
Гр (0 = |
2 |
АЭт (0> |
|
|
|
|
|
т=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
(18.35) |
Кцт+1 = |
5 |
(* “ |
Т) |
(Т) |
|
А0г (0 = — V 0' (О |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
и со9 определена (18.31).
Другой метод построения #р (I) основан на важном свойстве функций со (I) и л ((): представимости их в виде сумм экспонент с действительными декрементами. В самом деле, ядра В , В19 П, Пх представимы такими сум мами (§ 3), значит согласно (18.4), (18.5) со и л; также представимы. Те перь из (18.34), (18.35) следует, что в таком же виде представима резоль
вента Гр (г) и значит #р(0- Но все полюсы изображений таких функций со*, л*, #р, лежат на дей
ствительной оси плоскости комплексной переменной р, так как для функ
ции ехр (а1) при |
действительном а изображение определяется правиль |
|
ной элементарной дробью |
|
|
[ехр (<х*)Г = |
= 1 + Т ^ Г ’ |
(18>36) |
и значит все полюсы указанных функций действительны.
Для действительных р (т. е. для полюсов) функция #р (р) (18.25) мо нотонна, так как со* и л* монотонны. Значит #р (2) имеет единственный полюс рр в точке
оГ (Ра) = —1/Р- |
(18.37) |