книги / Основы математической теории термовязкоупругости

Следовательно, повышение температуры на 70° имеет показатель (5.11) /г4х= 4, т. е. «ускоряет течение времени» в 104 раз.

Использование принципа эквивалентности для проведения экспрессиспытаний и для других целей очень заманчиво и является одной из не­ многих возможностей прогнозирования поведения материалов в тече­ ние длительного времени. Однако условие его справедливости и точности, т. е. возможность преобразования серии кривых (5.20) к виду (5.21), должно тщательно проверяться на прямых опытах с достаточно большим диапазоном изменения истинного времени. Реалистической оценкой ошиб­ ки в значениях показателя преобразования времени тг12 (5.11) будет 10— 20%, т. е. при сокращении масштаба времени на /г12 порядков за счет по­ вышения температуры ошибка в истинном времени может быть на (0,1

— 0,2) щ 2порядка.

III.Некоторые термодинамические функции

изаконы сохранения

§ 6. Простейшие вязко-упругие модели

Система дифференциальных уравнений движения вязко-упругого тела с учетом установленных в предыдущих параграфах соотношений напряже­ ния — деформации — времени — температуры является замкнутой при условии, что температура задана. Но в некоторых задачах температура может быть и неизвестной. Тогда для замыкания системы уравнений не­ обходимо использовать еще уравнение баланса тепла или другое, связы­ вающее температуру с уже введенными механическими параметрами.

Рассмотрим термодинамику простейших моделей (Максвелла и Фохта) [23]. Для всех моделей изотермические физические соотношения одинаковы

Упругие элементы моделей подчиняются закону Гука, и поэтому их внутренняя энергия и энтропия будут зависеть от температуры и упругой деформации. Свободную энергию вязких элементов можно считать зави­ сящей только от одной температуры.

Обозначим разность между температурой Т и некоторой фиксирован­ ной Го в начальный момент

С учетом теплового расширения физические соотношения (6.1) примут вид

где а — коэффициент теплового (линейного) расширения.

Таким образом, термодинамические функции моделей Максвелла и Фохта: энергию, энтропию, свободную энергию можно рассматривать как функции температуры Ф и упругой деформации е \ Свободную энергию любой из моделей Т (Г, е') представим в виде разложения в ряд Тейлора, сохранив только квадратичные члены с Ф и е'

где первый член правой части представляет собой приток тепла, а второй — работу.

Второй закон термодинамики утверждает существование энтропии

Рассматриваемые нами модели вязко-упругого тела могут быть только мгновенно обратимыми, так как при очень больших скоростях деформации вязкие элементы практически не деформируются. Вообще же процессы в них необратимы, и работа вязких элементов полностью и необратимо переходит в тепло. Поэтому для рассеяния ТУ* имеем

Подставляя выражение притока тепла (6.9) в (6.8) и используя (6.7), получим основное термодинамическое соотношение, одинаковое для обеих

Константа ^ аддитивно входит в выражение энтропии (6.12) и потому мо­ жет быть отброшена. В результате получаем следующие выражения 4% Я и и = У + № + Т08 + с:

2Т = - [— ■+ ^ Е ) № + Ев1

причем через е'т обозначена упругая составляющая полной деформацшГе' упругого элемента

Применяя его к ненапряженной модели в начальном состоянии при тем­ пературе Т — Г0 (Ф = 0), т. е. при а" = 0 и а' = Е (е' — аФ) = 0, и давая этой модели свободно расширяться за счет сообщаемого тепла 6()»

Уравнение (6.9) теперь дает закон изменения температуры модели при

Поскольку в любой модели произвольно мы можем задавать лишь внешние (порождающие) параметры, т. е. либо а (2) и б(}/А1, либо е (2) и Ь(11А1, либо их комбинации, то уравнение (6.21) должно быть дополнено структурными соотношениями (6.2) или (6.3) и физическими (6.5), после чего уравнение (6.21) может быть разрешено.

Свободная энергия, энтропия, внутренняя энергия являются всегда функциями параметров состояния (в наших моделях любой пары д, е'

или *&, ет, или Ф, а')- Но сами параметры состояния всегда являются не~

которыми операторами над порождающими параметрами (д, а, е), причем операторы эти и отражают физические свойства тела [1].

Оператор дифференцирования по приведенному согласно температур­ но-временной аналогии времени I' будем по-прежнему обозначать буквой Д

Д = (Ц йЬ', й11 = Ж/ах, р = [х0а?- (6.22)

Для модели Максвелла из структурных и физических соотношений

Из (6.10) и (6.20) теперь находим выражения рассеяния, свободной энергии и энтропии через общую деформацию е {I') и температуру д (^')

Связь между напряжением а и деформацией е для этой модели имеет

вид

Решения таких уравнений при нулевых начальных условиях имеют вид

*О

ивыясняют смысл стоящего перед етдробного оператора. Теперь для сво­ бодной энергии, энтропии и рассеяния рассматриваемой модели имеем [24]

Справедливость полученных соотношений можно проверить непосредственно

интегрального слагаемого свободной энергии дифференцированием пос­ леднего по времени и умножением на —1.

Если вместо (7.12) пользоваться выражениями функций состояния че­

порождающими параметрами а, 8, входящими в уравнения механики сплош­ ной среды. Согласно (7.9), (7.11) получаем

е; — а# = ъ’тг = 1 +8^ = 5 А т (т),

го

&*= = со^гь &т — 8 — ад, <г = 1, 2, ..., тг>. д (7.15)

Единственное здесь ядро, как видно из (7.12), служит базисным для всех других ядер.

§ 8. Сложная линейная модель

Рассмотрим теперь общую модель, составленную из М упругих и N вяз­ ких элементов, которые связаны так, что нет свободных элементов и нет непосредственной связи между любыми дву“мя однотипными из них, так как такие пары образуют единичные элементы. Свободная энергия модели равна упругой энергии гуковских элементов с точностью до аддитивной функции температуры, т. е. имеет прежнее выражение (7.5). Рассеяние также равно мощности всех вязких элементов, т. е. имеет выражение (7.6).

Пусть модель определена 5 структурными динамическими

М N

соотношения могут быть на основании физических законов (7.3) сведены

кследующим:

МN

где и Р — дифференциальные операторы. Их вид разбирался в предыду­ щей главе. Из системы (8.1), (8.3) или из рис. 15 видно, что эти соотноше­

ния могут быть разрешены относительно о\ и

ческих соотношений Ь меньше или равно числу упругих элементов М, либо

причем, если отсутствует упругий элемент, соединенный параллельно с •остальной системой, то среди этих корней нет нулевого. Если порядок опе­ ратора Р (Д) равен яг, то имеем пг корней