книги / Основы математической теории термовязкоупругости
..pdfгде 8е, $ о — некоторые ядра. Внося выражения (50.1) в (50.3), после прос
тых преобразований найдем следующие выражения 8е и 8ц через |
и 8а1 |
|||
1 |
Д(«) |
|
|
|
8е(() |
$,(0) |
|
|
|
1 |
Д!(<) |
л , « - , > 4 ^ ] . |
(50.4> |
|
■V*) |
^о(°) |
|||
|
|
|||
Аналогичные |
выражения |
и 8а через 8е и *$е получаются из |
(50.2) и |
|
(50.3) при замене ядер Д, Ег на П, Пх. |
|
|||
Таким образом, в линейной теории критерии прочности с равными ос нованиями можно выразить как через процесс нагружения, так и черев процесс деформации, так как выражения мер повреждений через тензор* Рц сохраняются в обоих случаях одинаковыми.
Переходя к некоторым оценкам особенностей линейной теории, мы рас смотрим различные процессы нагружения цилиндрического образца про дольной силой и сопоставим линейную теорию с критерием повреждений (47.2).
В случае простого растяжения гладкого образца напряжением
линейная теория приводит к уравнению |
|
р ? == ^_ * !Ф _ = 1, |
(50.5). |
*•*,(*—*)
критерий же (47.2) — к уравнению |
|
!<*(*)] - 1 . |
(50.6> |
|
причем функции 5Г(г) и Ьг (о^) взаимно обратные: при ползучести первая дает разрушающее напряжение аг = 5Гв функции времени, вторая — вре мя разрушения I = 1Гв функции напряжения ах.
Примем известную степенную аппроксимацию
М |
« 0 ^ |
( < ) - 0 |
. ( - ^ ) В. |
«Э=1 |
(50.7). |
и перейдем к безразмерным |
|
|
|
||
* — |
Ь |
Ч— 5-. |
5 = | - , |
|
(50.8> |
так что дано текущее напряжение *5 = т5 (ц) и находятся моменты времени | 2, определяемые соответственно из уравнений
Рх] = |
$ & “ Л)****?(л) = |
1» |
|
О |
(50.9> |
|
|
|
р !2) |
[5(г1)]айт1 = 1. |
|
Заметим, что обычное* > 1, Р < |
1, причем сф = 1 всегда. |
|
Рассмотрим несколько существенно различных процессов нагружения- в случае ползучести, т. е. при 5 (ц) — 80Н (ц), из (50.9) следует точной
совпадение времен | х = ^ = >$оа, что естественно.
1. Нагружение с постоянной скоростью 5 (т]) = Уг\. Из (50.9) имеем
с _ / |
1 "Ьа |
\ 1+а |
V |
1+а |
Ь = (!+<*) 1+“ У |
(50.10) |
|
б 1 - г |
“ г г - ] |
|
|
|
|
||
т. е. зависимости от скорости V одинаковы, а отношение |
|
||||||
и = а |
а |
(1 + |
а) |
1-а |
|
|
|
~1+а |
1 + а |
|
|
||||
|
|
( а . |
ч |
|
|
||
равно 1 при а |
|
= 0, а = |
1 ,а |
= |
оо, причем максимальное отклонение от 1 |
||
для любого а |
|
0 составляет менее 20%. |
|
||||
2.Мгновенная нагрузка и затем разгрузка с постоянной скоростью
+5 (л) = (50 — Ух\)1г (г)). Из (50.9) имеем
|
+ Ч Т Г |
= 5 о. |
|
П г = ^0 - |
[^о+а - (1 + |
сс) У]1"1^ |
• (50.11) |
|||
Причем, |
конечно, для |
$ = 1,2 |
должны |
выполняться |
условия 50а < |
< |
||||
< $ 0/7, так что 5 0 > |
[(1 + |
с с ) т 1+а>. |
8 0 (1 + т з т |
сот)) К (т]) причем [ т [ ^ 1. |
||||||
3. |
Циклическая нагрузка^ (г|) = |
|||||||||
•Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щ = 2я]Ух = |
со^х, |
п2 = 2яN 2= |
со|2, |
|
{50.12) |
|||||
где N 1, N 2 — числа циклов, определяемые соответственно по первой и вто |
||||||||||
рой формулам (50.9) при данных 5 0, со и т. Находим |
|
|
|
|||||||
&1 (Ш , ТЬ) ^1^0 — |
1 , |
к 2 (т п ) ^2*^*0 — |
1 > |
|
(50.13) |
|||||
где |
|
|
|
N 1-1 |
а |
|
|
2п |
|
|
кг (т, п) = |
1 + |
т |
|
|
|
|
||||
2 I* |
к2(т) = - ^ - |
^ + тз\о.х)айх, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
(50.14) |
|
причем Д |
определяется формулой |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2лк + х \Э |
, |
(А = 0, 1 , ... , ТУх— 1). |
(50.15) |
|||||
|
|
- Ш Т ~ ) |
005 хйх |
|||||||
Как видим, первая формула (50.13) дает зависимость времени разрушения ^х от среднего напряжения 5 0, амплитуды т и частоты со, вторая же — только от д50 и т .
Приведенные примеры показывают, что линейная теория и критерий {47.2) для многих процессов нагружения ог ($) дают сопоставимые значе ния времен разрушения, и в этих случаях линейная теория дает возмож ность учесть влияние сложного напряженного состояния при сложном на гружении, т. е. имеет преимущество общности. Только опыт может уста новить область и границы ее применимости, но при надлежащем выборе мер повреждений М (П) она, по-видимому, будет давать подходящие оцен ки запасов прочности.
Все недостатки линейной теории, которые легко обнаруживаются на специально подбираемых существенно негладких функциях нагружения <ух ($) типа одиночных отдаленных по времени импульсов, связаны только •ее линейностью.
где Р п, (?п — инварианты, представляющие суммы тг-кратных интегралов
*
р п = |
1™йТп, |
(51.4) |
к—1о |
О |
|
Нп I |
I |
|
(?П = 2 |
1 - Х ъ . . . , 1 ~ Х п) 1 ^ й Т п , |
|
к— 1 о |
О |
|
и /п ) — полная свертка по всем индексам типа «Ь> |
(инвариант) тензора |
||||||
порядка 2п |
|
|
|
|
|
|
|
Оиь (т1) |
(тг) • |
• • °1п1п (*«)> |
|
(51-5) |
|||
N п — число независимых |
сверток, Р ^ \ |
Р ^ — некоторые функции влия- |
|||||
ния. Например, для п = 2 имеем |
= |
2, |
|
||||
№ |
= |
<*** (*х) отт (т2) = |
9о (Тх) а (т2), |
(51.6) |
|||
Д2) |
= |
в*т (Ч)Окт (т2) =' 5 (Тх, т2). |
|
||||
Заметим, |
если |
в выражении |
(51.1) |
выполнены |
условия взаимности |
||
(28.7), то на основании результатов § 31 в (51.4) будут входить только два
инварианта 1^Р вида (51.6) и их различные степени.
Главная нелинейная теория получается при сохранении в (51.4) функ ций РЬП), отражающих наиболее сильные взаимодействия, т. е. про
порциональных произведению |
(п — 1) б-функции Дирака |
[3]. В резуль |
тате из (51.2) получаем |
|
|
г |
I |
|
РЦ = Л 4 Р ° к к (*) Лх + ^<?<343-(Т)ЙТ, |
(51-7) |
|
О |
О |
|
где Р, (} — произвольные функции I — т и значений трех инвариантов тензора Оц в точках I и т:
Р = Р{1 — т; о (*), <з (т); 5{(, I), з (I, т), з (т, т); / 3). |
(51.8) |
<2 — аналогично; / 3 — совокупность невыписанных явно инвариантов, которые не входят в Р и (), если выполнены условия (28.7) [59].
В частности, мы получим достаточно общую главную теорию, полагая
р = |
р 1 (<3 (Т), |
8(т, т ))+ |
/ ’(( — т)Р 2(о(т), |
8(т, т)), |
(51.9) |
<? = |
<?1(<3 (Т), |
3(X, т)) + |
Р Ц — х) <?2 (о (Т), |
3 (т, т)), |
|
причем функции Р1УР2, (2г, (}2 и Р, Р могут быть найдены из опытов на чистый сдвиг или растяжение в камере с регулируемым давлением. При Р2 — О-ч = 0 эта теория дает обобщение на сложные напряженные со стояния критерия (47.2), так как из (51.7), (51.9) получаем
*Рц (<) = [РкОп (*) «« + <2А,- (01 Л. |
(51.10) |
Р\ = Р\ (О(^), 5 (^, ^)), (2ч = (^1 (<3 (I), 5 (^, ^)). |
|
Е с л и в (51.9) Р , (} считать зависящими также от а (г), 5 (I, т), то тензор Рц может оставаться постоянным после прекращения действия нагрузки.
Меры повреждений и критерии разрушения в нелинейной теории могут быть выбраны теми же, что и в линейной теории [105].