книги / Основы математической теории термовязкоупругости

Мы отметим еще удобные для расчетов представления ядер с помощью суммы экспонент, причем и В -функция может быть взята в виде

и константы а, Я, О находятся из (3.44), (3.45). Регулярное ядро # г(0 в (3.35) можно взять в виде

причем выбор .О-функции вида (3.49) будет удачным, если окажется а г Имеются некоторые соображения [18], показывающие, что времена

а г возрастают пропорционально квадрату индекса

и тогда нахождение коэффициентов А х в (3.50) по опытной кривой Л(1) значительно упрощается. Модельной назовем функцию релаксации, по­ лучающуюся из (3.35) при а, X, О, определяемых на основании (3.49) из (3.44), (3.45), и при а г—согласно (3.51), где положено аг = а . Она имеет вид

(3.52)

Входящая в эту формулу сумма представляет монотонно возрастающую во времени неотрицательную функцию, причем

(3.53)

п=1

представляет собой длительный модуль сдвига. Модельная функция пол­ зучести, соответствующая функции релаксации (3.52), имеет вид

(3.54)

где Ьп находятся из системы 2N уравнений, получаемых приравниванием коэффициентов при различных степенях р

Важным вопросом экспериментального изучения ползучести-релакса­ ции является вопрос о границах линейности свойств материала. Уже от­ мечалось, что эта граница с заданной точностью 6 определяется независи­ мостью экспериментально определяемых функций (3.5), (3.7), (3.16),

сти напряжений и деформаций, а также инварианты а и 0 не выходят за указанные в опытах на ползучесть и релаксацию максимально допусти­ мые значения, то следует ожидать, что ошибка расчета не будет больше б. В действительности диапазон линейности может оказаться еще шире в тех задачах, когда выходящие за максимальные пределы напряжения и де­ формации действуют сравнительно малое время и дают незначительный вклад в процесс. Строгие оценки точности рассматриваемой нами линей­ ной теории относятся к теории нелинейных вязко-упругих свойств, которая будет рассмотрена позднее.

II.Механические модели вязко-упругих тел

итемпературно-временная аналогия

§ 4. Простейшие модели вязко-упругой среды

Физическая природа вязкости твердых тел значительно сложнее, чем жидких и газообразных. Однако существуют математические модели элементарной ячейки тела, позволяющие независимо от структурного строения вещества достаточно правильно описывать реологические соотно­ шения между физическим и геометрическим параметрами этой ячейки. Элементарным Гуковским элементом таких моделей является пружина единичной длины, сила натяжения которой Р' пропорциональна ее удли­ нению е'. Пусть имеется однородное параллельное поле таких пружинок, заключенное между удаленными на единицу длины параллельными плос­ костями, ортогональными полю, и пусть М *— число пружин, приходящее­ ся на единицу площади. Тогда М 'Р ' = а' мы называем напряжением по­ ля гуковских элементов. Оно, очевидно, пропорционально е'

причем постоянная Е называется модулем упругости. Пачку М ' пружин, согласно (4.1), можно изображать как одну пружину, имеющую напряже­ ние а'.

Простым вязким (ньютоновским) элементом модели является либо пара наложенных друг на друга с прослойкой вязкого клея тонких нерастя­ жимых лент, могущих скользить одна вдоль другой, либо цилипдр с порш­ нем, имеющим отверстие, причем обе полости заполнены вязкой жидко­ стью; длина пары лент или цилиндра и выступающей части штока равна единице. Сила Р " натяжепия вязкого элемента пропорциональна скоро­ сти движения, т. е. й&'ЧЛЬ = е", где е " — относительное удлинение эле­ мента (ход поршня). Если М " —плотность поля вязких элементов, то на единицу площади плоскости поперечного сечения поля действует напря­

Через |и обозначен коэффициент вязкости пачки. На рис. 9 изображены модели упругого и вязкого элементов. Для сокращения записи в (4.2) вве­ ден символ й, означающий оператор дифференцирования по времени

Оператор, обратный й, будем обозначать сГ1 и понимать под ним интег­ ральный оператор, решающий (4.2) относительно 8"

г

о

Вообще для любой функции х(1) положим

г

о

Подчеркнем, что всегда в (4.4) нижний предел интегрирования будем счи­ тать нулевым, а это равносильно предположению о том, что в начальном состоянии при I = О все величины у(1) = й”1# равны нулю (хотя бы функ­ ция Хевисайда К{1) или другие производные от нее функции).

Оператор тг-кратного дифференцирования обозначим йп

Мы допускаем теперь, что вязко-упругое тело можно представить как совокупность частиц, составленных из всевозможных комбинаций пачек пружинок и вязких элементов («поршней»). Если множество таких частиц соединить в одну систему, то из анализа взаимодействий можно получить соотношения, связывающие напряжения и деформации (эти же соотноше­ ния в первой главе были получены исходя из совершенно иных соображе­ ний). Тем самым мы сможем отождествить эти два подхода и пользоваться моделями для пополнения полученных в первой главе сведений о вязкоупругих телах, например, установить температурно-временную эквива­ лентность, получить некоторые термодинамические соотношения и т. д.

Элементарный кубик тела со стороной а, который можно представить как ящик с жесткими плоскими гранями, состоит из связного мно­ жества упругих и вязких элементов; каждый конец любого элемента сое­ динен с концом одного или нескольких элементов или прикреплен к одной

две соседние грани, будет конечное множество (если общее число элемен­ тов конечно) или счетное множество (при бесконечном числе элементов).

Из рассмотрения деформации элементарного кубика, как и из общих соображений [1], следует, что между параметрами системы, т. е. деформа­ циями кубика и множества элементов, и напряжениями кубика и множе­ ства элементов будут существовать два основных типа структурных со­ отношений:

1)кинематические структурные соотношения, связывающие между собой деформации элементов и кубика (например, сумма проекций дефор­ мации элементов всех цепей, соединяющих две противоположные грани, на нормали к граням постоянна и равна относительному удлинению куби­ ка в этом направлении);

2)динамические структурные соотношения, связывающие между собой напряжения в элементах и на гранях кубика.

К этим структурным соотношениям добавляются для каждого упругого элемента физическое соотношение (4.1), а для вязкого — (4.2).

Полная система структурных и физических соотношений такова, что путем исключения внутренних параметров е ', е", с', а" будет получаться

впространственном случае — 6, в плоском — 3, в одномерном — 1 функ­ циональных во времени соотношений между напряжениями и деформация­ ми кубика, т. е. макроскопические динамические параметры ац будут

Рассмотрим сначала одномерную модель Максвелла, составленную из параллельных пружины и поршня, соединенных последовательно (рис. 10). Как видно из рисунка, кинематические структурные соотношения мо­ дели сводятся к одному

(4.7)

Динамические структурные соотношения, связывающие напряжения и отражающие структуру соединения элементов вузел, будут

(4.8)

т. е. здесь два соотношения.

Физические соотношения, связывающие напряжения и деформации, совпадают с (4.1) и (4.2)

(4.9)

Мы имеем всего пять соотношений (4.7), (4.8), (4.9) для четырех величин: в', е", о', а ". Следовательно, можно свести эту систему к одному уравне­ нию. В самом деле, находим из (4.9)

е' = в'/Е, е" = а^о'/|х

и подставляем в (4.7), используя (4.8)

Применив к правой и левой частям последнего выражения оператор йу получим

(рис. 11).

Кинематических соотношений в этом случае будет два

и в этом случае мы имеем пять соотношений для четырех величин и, еле-

довательно, можем свести эти соотношения к одному для внешних пара­ метров

Последнее соотношение можно представить в виде (4.14), причем ядро в этом случае

а ядро К{1) в выражении (4.12)

Для сложного элемента, составленного из п последовательно сое­ диненных максвелловских элементов (рис. 12), будет п кинематических структурных соотношений

п п

Физические соотношения запишутся в виде

(4.23)

Обозначив

(4.25)

мы получим соотношение (4.10). Таким образом, последовательное соеди­ нение максвелловских элементов приводит снова к элементу Максвелла.

Аналогичным образом мы можем убедиться, что параллельное соеди­ нение элементов Фохта приводит к элементу Фохта.

Существенно новая модель получается при параллельном соединении п максвелловских элементов (рис. 13). Запишем п структурных кине­ матических соотношений

и в + 1 структурпых динамических соотношений