книги / Основы математической теории термовязкоупругости

где ()' означает производную по Фреше оператора (34.2)

где ||Г2|| — максимум нормы второй производной по Фреше от оператора Р (Е), вычисленного в нулевой окрестности Е. Принимая за а правую часть (34.13)

выберем настолько малую окрестность нулевой точки г', чтобы выполня­ лось условие а << 1. Для того чтобы выполнялось условие (34.10), огра­ ничим нулевую окрестность <5*следующим неравенством:

Итак, в самом деле мы получили обращение оператора Р. Доказательство представимости его в виде (33.21) будет дано в теореме 2.

Введем оператор

который действует на функции

О

следующим образом:

%х х

ХП==ГпХп = $К1((, Г)ЛГ$. . . ^ г п(т, х1, .. . ,хп)Х(х1) . . . х

ттг-го порядка считаются одинаковыми, если они состоят из одних X и фа*\ причем совпадает их порядок следования. Например, формы Т3Х Х 2Х и Т3Х 2Х Х считаются различными.

Для доказательства применим изложенный выше принцип сжатых отобра­ жений. Положим

во (0) - 0; е п {8) = (2 [0М (<$); -Я.

показывает, что стремление последовательности Оп (8) к предельному опе­

ния (34.16) — (34.18), заключаем из (34.20), что оператор О представляется в интегральном виде (33.21).

Пусть задан некоторый оператор Р^, имеющий вид оператора-полинома

Очевидно, он отличается от оператора Р , представимого в виде бесконеч­ ной суммы (33.9) только малыми высшего порядка малости по сравнению с |]Ер. Согласно доказанной теореме, оператор, обратный к РН1 будет со­ держать бесконечную сумму интегралов возрастающей кратности. Однако целесообразно в полученном представлении отбросить члены, имеющие высший порядок малости по сравнению с Ц ^р, т. е. получить аппрокси­ мацию оператора С с той же точностью, с какой оператор Рп аппроксими­ рует оператор Р . В связи с этим докажем теорему.

Теорема 3. Если некоторый оператор Р^ представим в виде (34.21), то

где последняя сумма берется по всем различным гамма-формам.

В самом деле, изложенный выше метод последовательных приближений дает

к—2

N

— X — 2)1 Л(УN-1)*• к=2

Отсюда видно, что каждое приближение к содержит все формы {к — 1)-го приближения, к которым добавляются гамма-формы, образованные из

форм сраР предыдущего приближения так, чтобы порядок полученных гам*- ма-форм не превышал N. После ТУ-го шага мы получим вид (34.22), и в ре­ зультате (-/V + 1)-го шага будут появляться только гамма-формы (-/V + 1)-

Из предыдущего следует, что для среды с начальной анизотропией про­ извольного вида тензор напряжения и тензор деформаций в некоторой фиксированной системе координат связаны следующими соотношениями:

Причем, если в рядах (34.30) ограничиться первыми N членами разложе­ ний, пренебрегая членами высшего порядка малости по сравнению с Е|)^, то, пренебрегая также членами высшего порядка малости по срав­

Рассмотрим для примера изотропную среду. Подставляя в (34.24) зна­ чения изотропных ядер 1\ в виде (29.1), Г2 в виде (29.2) и аналогично Г3, получим сначала методом последовательных приближений резольвентные ядра Кх из выражений

А затем для нахождения ядер К2воспользуемся формулой (34.27), которую будем записывать сокращенно в виде

Используя представления ядер К2 и Г2 в виде (29.2), получаем для

4- 8А12Г24 [КцК12 4-* К 12Кп ]}\

К 24 = — 8А12Г247Г12А12.

Точно так же можно выписать подобные соотношения для скалярных ядер Кз1 (I = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), подставляя выражения для изотропных ядер Къ в формулу

X-^1рдаЬ (^1> ^4) К-1гвсй (^э2» ^2) &1и1)е} (^3» ^з) ^1^2^3 “Ь*

ОТ! т2

В заключение заметим, что для обращения соотношений (33.21), т. е. для получения решения этих уравнений в виде (34.1), нужно оператор в вы­ ражении (34.2) выбрать в виде

где теперь Е будет играть роль параметра, и решить операторное уравнение

§135. Обратные соотношения изотропной нелинейной теории вязко-упругости

Для того чтобы по заданным соотношениям между напряжениями и дефор­ мациями изотропной нелинейной теории вязко-упругости (29.3) получить обратные, т. е. соотношения, в которых напряжения выражаются через деформации, можно, пользуясь результатами предыдущего параграфа, подставить значения ядер релаксации и ползучести для изотропной среды вида (29.1), (29.2) и т. п. в соотношения типа (34.37). Трудоемкость такой операции очевидна. Поэтому рассмотрим другой подход для получения

этих соотношений. Для этого представим линейный оператор Гх в виде суммы двух операторов

но, причем оно единственно. В самом деле, согласно (2.2) можем принять

и разложение (35.1) единственно, так как единственно разложение (2.2). Очевидно, например, из (2.5), что оператор Кг, обратный к Гх, также допус­

причем операторы Кг1 и Ги являются взаимно обратными, так же как и

операторы К12 и Г12.

Разобьем тензоры напряжений 5 и деформаций 8 на девиаторы и шар о-

и подставим эти разложения в выражение оператора ф (34*38). Используя условия (35.2), имеем

(2 (5, Е) = Д, + а/ - Г12 [С (5) - Р €] - Ги [О (5) - е/]. (35.6)

Как видно, оператор (35.6) можно представить в виде суммы двух операто­

Очевидно, что все теоремы, доказанные в предыдущем параграфе, остаются справедливыми, и оператор Р(Ц), обратный по отношению к О (5), находит­ ся методом последовательных приближений.

Принимая условия отсутствия начальных напряжений, имеем для

Очевидно, что если оператор С (*У) имеет вид конечной суммы интегра­ лов кратности, возрастающей до порядка N

то он отличается от оператора (7, представимого в виде бесконечной суммы (33.21) только малыми высшего порядка малости по сравнению с ||*5'||^. Поэтому, как и ранее, в операторе, обратном по отношению к С#, из бес­ конечной суммы интегралов возрастающей кратности, получаемой по схе­ ме (35.8), следует отбросить члены, имеющие высший порядок малости по сравнению с ||Е||Я. Следовательно, для обращения оператора потре­ буется ровно N шагов последовательных приближений (35.8). Отсюда так­ же следует, что по заданным скалярным нелинейным ядрам ползучести изотропной вязко-упругой среды К ^ т) (п = 2, 3,. . .,7У; т= 1, 2, ..., р), где |т — число независимых скалярных ядер порядка тг, входящих в соот­

Воспользовавшись разбиением тензоров деформаций и напряжений на девиаторные и шаровые составляющие (35.5), запишем соотношения между

В соотношениях (35.11) и (35.12), кроме уже известных (29.5), (35.5),

где

х

е' (0 = $ Х ц (*,т)аМ Ах,

о

г х

е"(^) = 5 5 {-^21 (?9 Т1>Т2) б (Ух) С (^2) 4" К 22(^> Т1>^г) 8Ц(^1) 8ЦО'г)} х

о о

Xйхгйх29

хх х

Xйх-^ с/т2,

XI X

Из соотношений (35.10) — (35.12) следует, что оператор Е = С (8) можно разбить на сумму двух операторов

причем оператор Сг (8), который представляет собой сумму правых частей (35.11), является скаляром, а оператор С2 (8) представляет собой сумму правых частей (35.12).

Подставляя разбиение (35.14) в выражение (35.6), заключаем, что оператор (?($,Е), фигурирующий в методе последовательных приближе­ ний, можно представить в виде суммы двух операторов

причем оператор <2г является скаляром

(?1 Е) = — Т11[С1(5) — е],

(35.16)

<?2 (5, Е) =» В а — Г12 [С2 (-5) - Я .].

Пользуясь теоремой об обращении оператора С (5), получим соотно­ шения между напряжениями и деформациями нелинейной изотропной тео­ рии вязко-упругости, взаимно обратные с (35.10) — (35.12)

Полная запись соотношений (35.17) — (35.19) имеет вид

*у(0 = $Г1а(*, Т)гу (т)йт,

О

* г

8«(0 = 5м Ггз(<» ТЬ т2) е (Тх)еч(т2) + Га4(*, ть та)е1к(т^ ем (т2)} X

ОО

В качестве примера рассмотрим оператор С (*$*) в виде суммы первых трех членов бесконечного ряда (35.10). Воспользовавшись формулой

Р (*$), обратного к оператору О (8), состоит из трех шагов последователь­