книги / Основы математической теории термовязкоупругости

т.е. фактически являются пока неизвестными функциями (р, х). Общий вид репзения линейной задачи, определяемой уравнениями

(26.1) и условиями (26.2), уже исследован в § 17, и мы предполагем, что

это решение при произвольных Р^, 5*, щ0, д* фактически построено в. изображениях. Используя метод аппроксимаций, мы находим решение задачи в оригиналах, т. е. по заданному полю векторов Р ь (2, х), (2, х)г и го (2, х) и температуры д {I, х) находим явные выражения перемещений

Фактическое вычисление интегралов (26.5), а значит и последующие решения связной задачи термовязко-упругости для о е ^ , д* теперь

Для определения поля температуры д (2И, х) мы уже получили урав­

где с, X — постоянные теплоемкости и теплопроводности, выраженные в механических величинах, а IV* — рассеивание в единице объема тела, например (10.22)

Определяя из (26.14) ^ и внося его значение в (26.13), получим выражение аг, которое в изображении Лапласа — Карсона будет

где оператор С* имеет следующее выражение через основные операторы:

Обращение таких операторов, т. е. определение функции С (^), уже рас­ смотрено. Например, в случае объемно несжимаемого цилиндра (К1 = о о ) г р*.—> о о , со* —> 0, имеем

и т. д. Следовательно, решение задачи о цилиндре в обойме, ранее уже рассмотренной (§ 21), мы записываем теперь в виде

«Давление» р (^) до сих пор мы оставляли в виде произвольной вспомога­ тельной функции времени I. Выберем теперь это давление так, чтобы на заданной переменной во времени границе г = г (г), х — г (1)1а = х (1)> где а — начальный внутренний радиус цилиндра, действительное давле­ ние было заданной функцией времени

х = ха (*), ог = —Р (г). (26.19)

После простых преобразований получаем интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода для вспомогательной функции р (I)

Методом итераций или другим решение уравнения (26.20) может быть найдено, «давление» р (г) известно; формула (26.18) после этого даст ра­

§27. Контактные задачи

спеременными границами областей контакта

Основными контактными задачами, различающимися по методам их ре­ шения, являются: задача о нагружении штампа, в которой предполагается, кто взаимное сближение контактирующих тела (^) не убывает во времени, задача о первой разгрузке, в которой а 00 сначала возрастает и затем убы­ вает во времени, задача о повторных нагружениях — разгрузках, задачи качения и скольжения штампа по границе другого тела. По всем этим задачам имеются исследования [43]. Первая задача имеет простейшее решение [44]: если известно решение задачи упругого контакта, то реше­ ние для вязко-упругого тела получается заменой упругих констант опе­ раторами по основным функциям релаксации и ползучести, доказательство будет дано ниже. Задачи о разгрузках и повторных циклах исследованы в работах [45, 46, 47], и схема их решения также будет приведена. Имеют­ ся некоторые исследования динамических контактных задач [48].

Нагружение выпуклого штампа. Для примера рассмотрим процесс вдавливания симметричного выпуклого штампа в вязко-упругое полу­ пространство. Обобщения на случай криволинейных границ вязко-упругих тел после этого решения становятся^ очевидными. За основу принимаем приведенное в § 21 решение задачи о действии сосредоточенной силы Р (I) на границу полупространства. Для краткости письма обозначим функцию времени () {I) и операторы над какой-нибудь функцией / (I)

где П, #1/2— основные ядра, установленные в § 19—21, а выписанные два

Операторная запись (27.2), следовательно, является сокращенной запи­ сью выражения

г

=§(?(* — т)й[Р(т)/г].

О

Если на поверхности х3 = 0 действует не сосредоточенная сила Р (I),

— расстояние от переменной точки интегрирования р до точки с коорди­ натой г.

Рассмотрим контакт жесткого гладкого выпуклого осесимметричного штампа, ограниченного слабо искривленной поверхностью

хъ = § (г) + сопз1.

Вначальный момент штамп касается полупространства в точке г = 0Г затем нагружается силой Р0 {I) и вдавливается в полупространство (рис. 23). По кругу радиуса г = а (I) штамп контактирует с полупространством.

Вкруге поверхность штампа прилегает к поверхности полупространства

ипотому имеется условие контакта:

удаленных точек полупространства.

Для того чтобы поверхность полупространства у границы области кон­

р (г, I) конечно при г — а {I).

Контактная задача состоит в том, чтобы по заданному перемещению а (0 найти силу Р0 (^), действующую на штамп или наоборот. Однако бо­ лее удобна параметрическая формулировка задачи: по заданному радиусу

Рис. 23.

Вдавливание штампа формы д (г) в полупространство

круга контакта а (I) необходимо из условий (27.6), (27.7) определить кон­ тактное давление р (г, I), силу Р0 (I) и перемещение штампа а (I).

В рассматриваемый период нагружения штампа при возрастающем а {I) радиус а (*) монотонно растет, и потому область *Уах (0 интегрирова­

^ (г, г), конечно при г = а (I).

Решение этой контактной задачи известно

Итак, решение построено: перемещения внутри тела будут равны упру­ гим, т. е. параметрически через а {I) зависят от времени,

щ(хк, г) = и\{хн, I),

а напряжения, включая р (г, г), получаются из упругих заменой упругих констант на операторы, причем они зависят от всей истории процесса контакта.

Проинтегрировав давление р (г, I) по кругу контакта, можно найти силу Р0 (г), действующую на штамп

а (т)

зависимость контактной силы от перемещения. Из них ясно, что в этой параметрической форме, приводимой к виду

1

а (0 = а2(*)^ Д#(р) А Н к у Г1 —

о

гого контакта получаются из таких же соотношений задачи теории упру­

то из (27.12), исключая а {I), получаем известное обобщение решения задачи Герца

I

= $ {Р0 (Т)} = $<?(*- т) йРй(Т).

О

Стадия разгрузки. Пусть до момента I — радиус а {I) как-то возрас­ тал и с этого момента убывает (рис. 24). Особенность этого этапа заклю­ чается в том, что область интегрирования Атах (27.6) больше области дей­ ствия условия контакта (27.6)'. Требуется так преобразовать (27.6),

справедливо в прямоугольнике

:ъ^ *2»

ипотому можем его умножить на обратный оператор (? 1 (27.1); тогда

Условия (27.16) суть условия некоторой фиксированной упругой кон­ тактной задачи, решение которой известно,

а(*2)

Р {г, **) = -4 т ^ Д [<? 1 { §1 (Р, *)}] Я (г, р, а (*)) <7р,

ОГ

где Я (г, р, а (*)) — известная функция (27.10). Момент 1г был, произволь­ ным, следовательно, в любой момент разгрузки решение построено.

После некоторых преобразований получим

г

Р (г, *) = <?-1 { ду (г, Т) к (Т (I) — х) + (г, 1)к(х — Т (*))},

Т

внутри тела) не зависит от истории процесса контакта до момента Т (I), когда впервые радиус области контакта станет равным а (2), т. с. переме­ щение зависит лишь от «горба» траектории пагружения — разгрузки (сплошная линия на рис. 25). Напряжение в теле, как и контактное дав­ ление, не зависит от истории контакта начиная с Т (г), т. е. зависит от «усеченной» траектории нагружения — разгрузки (пунктирная линия на рис. 25).

Повторные нагружения — разгрузки. После нагружения и разгрузки при повторном нагружении область контакта снова начинает увеличива­

нагрузки на основе результатов, полученных в работе [45], и диссерта­ ции этого автора [46].

На контактное давление (а следовательно, и на напряжения в полу­ пространстве) влияет не вся история контакта, а лишь ее часть, когда об­ ласть контакта была меньше области 5 (2) (пунктир на рис. 26,6), на пере­ мещения влияет только «горб» траектории, т. е. та часть траектории, когда область контакта была больше 5 (2) (сплошная линия на рис. 26,6).

В частности, в момент 1Ъ (рис. 26,а), когда область контакта достигла своего максимума при первой нагрузке, перемещения становятся равны­ ми упругим при том же размере области контакта и далее перестают за­ висеть от истории процесса контакта, а напряжения, напротив, «вспоми­ нают» всю историю контакта. Начиная с момента %решение можно строить так же, как и при первом нагружении.

Этап повторной разгрузки решается тем же методом, что и этап пер­ вой разгрузки (рис. 26, в). Как и при первой нагрузке, контактное дав­ ление и напряжения в вязко-упругом полупространстве зависят от «усе­ ченной» траектории нагружений — разгрузок (рис. 27, пунктирная линия) и не зависят от истории процесса контакта в интеравалах, в которых область контакта была больше ^ (2). Перемещения точек полупространства зависят лишь от «горбов» траектории (сплошная линия на рис. 29).

Итак, первые четыре этапа контакта исследованы. Решения для сле­ дующих этапов строятся аналогично и имеют аналогичные свойства. Так, если в момент тг-го нагружения область контакта превосходит область контакта во все предыдущие моменты, то перемещения в полупространстве перестают зависеть от истории процесса контакта и будут равны переме­ щениям упругой контактной задачи. Контактное давление, как и напря­ жение внутри тела, зависит в этот момент от всей истории процесса кон­ такта.