книги / Основы математической теории термовязкоупругости
..pdfг |
|
гг |
|
|
|
|
|
*?«=§е«(Т»)Л |
Т |
|
1 |
’ т2. Т3) (Т1,Т2) + |
К (ТьТ2)]^ЙТ, + |
||
О *О |
О |
|
** |
|
|
|
|
+ |
(т*) |
|
§§ гз (*> 'С1* ^г. т.) ^ (ть т2) |
|
(43.19) |
||
О |
|
|
0 0 |
|
|
|
|
и для моментов |
|
|
|
|
|
|
|
я1з = н%+ н%\ |
|
|
|
|
(43.20) |
||
= ТТ$Г <* “ |
т>х« <*>йх = Ж $ Л (* “ т>*«« <)’ |
(43.21) |
|||||
01 |
|
|
г |
г |
о |
|
|
н % = |
(т3)<*т3 ^ |
Г3 (*, х и т2, т3) |е (тх, т2) + |
к (ть т2)] X |
||||
|
|
|
О0} |
|
|
|
|
X Л 1 Й Т 2 + - |
^ е |
0 -(Т 3)<7т3 ^ Г 3 (г , т 1> т 2. Т з)Я ,(Т ь |
Т2)Й Т !Й Т 2. |
||||
|
|
О |
|
|
0 0 |
|
(43.22) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для того чтобы обратить соотношения (43.18), (43.19), (43.21), (43.22), воспользуемся результатами девятой главы. Согласно изложенному там методу последовательных приближений для обращения нелинейных опе раторов, найдем обратные соотношения, т. е. выражения деформаций и искривлений через усилия и моменты двумя приближениями. Имеем для деформаций
|
* |
|
г |
|
|
4 |
(0 = ~ г $ к |
<« “ *) <*« (т) ах ~ ± - $ п (* ~ т) |
(*). |
(43.23) |
|
|
г О |
и |
о |
|
|
4 |
(О |
(*») ЙТ*й |
%1’Т2’ ^з)[4-^ (Тх, Т2) + |
|
Я(ТЬ т2)] X |
|
О |
00 |
т |
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
X <?тх <?Т2 + |
(Т8)ЙТ3^ К3 (I, х1г Т2, т3) Р (т1( Та) ^ <*т2 |
|||
|
|
О |
0 0 |
|
(43.24) |
|
|
|
|
|
|
и аналогично для искривлений
|
|
I |
|
I |
|
4 (<) = |
4г§ Я (* - |
т) |
(Т) ах = 4?-$ П (* - Т) <?Я4, (т), |
(43.25) |
|
|
|
IО |
*г |
о |
|
4- (0 = |
|
«3(Т3) <*Т3^ |
К 3 (I, ТЬ Та, Т3) [5 (Тх, Т2) + ~ |
Я (ть Т2)] X |
|
|
|
О |
I0 0 |
I I |
|
X |
йхх ах, + 4 г ^ г з (Т3)д*Л^К3(*, Тх, Т2, Т3)Р (Тх, Та) «?Тх <?Т2, |
||||
|
|
|
0 |
«0 |
(43.26) |
где введены следующие обозначения: |
|
||||
6а$= е-; + Вф |
х15= |
Ху + Ху, |
(43.27) |
||
^ (^1, т2) = |
<$у* (т^) |
(Т2) = Д^ц (тх) 3ц (т2) *Ь *$22(^1) *$22(^2) Чт |
|||
|
+ |
2«$,12 (тх) «$12 (т2). |
|
||
Н (т*, То) = |
Нц (тх) Н^ (та) = Н и (тх) Н г1 (т2) |
Н 22 (^1) Н 22 (т2) + |
|
+ |
2ЯХ (Т1) Н 12(т2), |
|
(43.28) |
■Р (т1»тг) — |
(^1) #г; (^2) + |
Н ^(х±) Зц (т2) = |
з 1г (тх) Н ц (т2) + |
+ |
*$*22(Т1) # 2 2 (^г) + |
2|5'12 (тх) Н 12 (т2) |
Н ц ( т х) $ п (т2) + |
+ |
#22 (тх) 1X22(т2) + |
2Н12(^1) *Х12 (т2). |
|
Нелинейное ядро ползучести К 3 находится по известному нелинейному ядру релаксации Г3 по формуле (37.37).
Если в качестве соотношений для связи между напряжениями и дефор мациями выбрать соотношения главной кубичной теории вязко-упругости с мгновенной линейной упругостью, то связь между нелинейными состав
ляющими усилий 5^ и моментов Н% , с одной стороны, и тензорами де
формаций |
и искривлений х*7-, с другой — будет иметь вид |
|
8% = |
§Г3 {I — х) {|йе (т, т) + |
(т, т)] &{} (г) + |
|
О |
|
+ |
-^Я,(т, т)и4з-(т)}йт, |
(43.19)' |
НЬ= щ $Гз{*■- т){[в(Т,т) + 4^-X(т,т)]х« (т) + %(т. т) «ц,(т)рт.
(43.22у
И, аналогично, обратные соотношения, выражающие нелинейные части де формаций и искривлений через усилия и моменты
|
* |
|
|
4 = |
р- $ К 3 {г — х) {[А. з ( х , х ) + ^ - Н (т, т)] Зц (т) + |
||
|
О |
|
|
+ ^Р (х,х)Н „(х)}< 1х, |
|
(43.24)' |
|
|
* |
|
|
КЬ = |
— т){[^ ^ |
(т> |
"Ь |
|
о |
|
|
+ |
Р(т, т) 5ц (т)| Ах. |
|
(43.26)' |
Причем «обратные» соотношения понимаются в том смысле, в каком они трактовались в § 36 при обсуждении обращения соотношений главных нелинейных теорий вязко-упругости. В этом случае нелинейное ядро пол зучести К3 выражается через нелинейное ядро релаксации по фор мулам гл. X.
Заметим, что если положить нелинейные ядра К 3 и Г3 равными нулю, то записанные выше соотношения будут представлять собой физический закон связи усилий, моментов, деформаций и искривлений для линейной теории вязко-упругости. Пользуясь температурно-временной аналогией и заменяя во всех выписанных выше соотношениях физическое время I на приведенное I', а также в случае надобности тензор деформации е^* на ком бинацию е — аби Т, получим основные соотношения для линейной и ку бичной теорий термовязко-упругости.
Р и с . 3 1 .
М о м е н т ы и п е р е р е з ы в а ю щ и е у с и л и я п р и и з г и б е п л а с т и н к и
Возможны две основные постановки задачи о равновесии оболочек и пластинок.
1. Постановка задачи в усилиях и моментах. Для этого имеем пять уравнений равновесия элемента оболочки, из которых первые три представ
ляют |
собой уравнения для |
равновесия проекции усилий Тц и |
()г |
(г, / = |
1 , 2) на оси координат |
х, у, ъ, а два остальных являются уравне |
|
ниями |
равновесия моментов Мц и моментов перерезывающих сил |
во |
|
круг осей х и г/. К этим уравнениям следует добавить три уравнения сов местности, которые связывают шесть величин: гГ} и с тремя компонен тами вектора перемещений ик (к = 1, 2, 3). Пользуясь физическими соот ношениями, в уравнениях совместности нужно все геометрические вели чины заменить на усилия и моменты. Для решения задач в такой постанов ке необходимо еще граничные условия выразить в усилиях и моментах.
2. Постановка задачи в перемещениях. Для этого необходимо из урав нений равновесия исключить перерезывающие силы &остальные усилия и моменты выразить, пользуясь физическими соотношениями, через три компоненты вектора перемещений.
Рассмотрим вопрос об изгибе вязко-упругой пластинки под действием сил, распределенных по ее поверхности и направленных по оси ъ (рис. 31).
Пусть у (я, у) — распределенная по площади пластинки нагрузка. Условие равновесия сил, действующих на элемент пластинки (рис. 31) в проекции на ось я, дает
(43.36)
дх
Условие равновесия моментов дает следующие выражения для перерезы вающих сил:
д М ц |
( д М 12 |
^ |
дМц |
, дМ<2Х |
(43.37) |
|
дх ^ |
ду ’ |
^ 2 |
ду |
+ ~ д х |
||
• |
Подставляя значения перерезывающих сил (43.37) в уравнение (43.36), получим основное уравнение для изгиба пластинки
д'Мп |
|
д^М12 |
, |
ду1 + 9 = 0. |
(43.38) |
дх1 |
' |
дхду |
' |
||
Если ю (х,у) |
— прогиб срединной поверхности пластинки в точке (х, у), |
||||
то кривизны |
|
выражаются через прогиб по следующим известным фор |
|||
мулам: |
|
|
|
|
|
Щ} = |
|
(*\ / = |
1, 2). |
(43.39) |
|
Граничные условия могут быть различного типа. Например, на краю мо жет быть задано перемещение и; и его производная по нормали
И>= ф! (5), |
дю |
, оч |
(43.40) |
Ш = Ъ(8)- |
|||
Могут быть заданы приведенная перерезывающая сила и изгибающий мо~ мент
м п= Фз (5 ), |
<?8 ^ |
= Ф4 (3), |
(43.40)' |
либо смешанные условия, типичным примером которых являются условия на свободно опертом краю
ш = 0, |
М п = 0. |
(43.40)" |
Если граничные условия имеют вид (43.40)', то можно подставить из фи зических соотношений значения моментов в уравнения совместности для кривизн х^-, что позволяет искать решение задачи непосредственно в мо ментах, не обращаясь к прогибу пластинки.
Запишем физические соотношения в случае главной кубичной теории вязко-упругости (43.29) ' для нашего случая в сокращенной записи
# {; = ^ Гхм + щ |
(43.41) |
где Г и Г3 — интегральные операторы по времени |
от выражений, стоя |
щих от них справа. |
|
Квадратичная форма х, согласно (43.39) и (43.15), выражается через
прогиб ю следующим образом: |
|
X = |
(43.42) |
Воспользуемся соотношениями (43.12) и выразим моменты через вектор перемещения, учитывая (43.39) и (43.41),
= |
|
. |
1 |
д2ю \ |
, |
Нъ ^ |
!д 2ю |
|
1 |
д2ю\ |
|
? Г Гдх2 + |
|
|
+ |
4 0 1 з Х \ |
^ |
|
’ |
|
|||
м чл = |
%■г |
д2ю , |
1 |
д2и>\ |
| |
тп |
(д 2и> |
, |
1 |
д2ю\ |
(43.43) |
+ Тдз?) |
*'401зХ\%2 + |
|
’ |
||||||||
м 12 — |
Нг ^ |
д2ю |
Тьъ р |
д2ю |
|
|
|
|
|
||
12 1 'Шд^ + |
80 |
|
|
" |
|
|
|
|
|
||
Подставив выражения |
(43.43) в основное уравнение (43.38), получим |
|||||
~ ГУ4м; + ^ Г3 | |
+ |
У2хУ2и; + |
д2ю |
д2% |
||
40- |
|
|
|
дхду дхду |
||
1 д2ю д2% |
1 |
д2ю д2к 1 |
<7= 0. |
(43.44) |
||
~~ Т Тх2 ~ду2 ~ Т |
~ду2 |
|||||
|
|
|
||||
Уравнение (43.44) является уравнением эллиптического типа. Поэтому для его решения можно применить метод упругих решений. Обозначим через Ь дифференциальный оператор
Ь (ю) —хУ4г/;+ У2хУ2г/; + дхду |
1 |
д2ю д2к |
1 д2ги |
д2% |
(43.45) |
2 |
дх2 ду2 |
~2~ду2 |
дх2 ’ |
где х выражается через и; по формуле (43.42). Тогда уравнение (43.44) можно переписать в следующем виде:
(43.46)
Метод упругих решений заключается в следующем. Предположим, что граничные условия имеют вид (43.40); найдем нулевое приближение
Полагаем Ь (ш) = 0. Следовательно, преобразование Лапласа от оператора
Ь(и;) также равно нулю
иИ = 0.
1.Решаем упругую задачу для уравнения
Г*У4м;*= |
(43.46)' |
удовлетворяя граничным условиям (43.40), записанным в преобразованном по Лапласу виде.
Получаем упругое решение м?*0).
2. Совершая обратное преобразование Лапласа, получаем линейное вязко-упругое решение в нулевом приближении щ0) (х , у, I).
3. Подсчитываем теперь по формуле (43.45) значение оператора
^{Що)}-
4.Берем трансформанту Лапласа от выражения Ь{щ0)} и определяем
«фиктивную» нагрузку
< « = Й № Н о)) + 9*.
Теперь находим первое приближение.
1. Решаем упругую задачу для уравнения |
|
ГЧ7^ф= - | ^ |
(43.46)" |
удовлетворяя граничным условиям (43.40). Получаем упругое решение
и>(1>-2. Делаем обратное преобразование Лапласа и получаем прогиб, как функцию в р е м е н и (х, у, I),
3.По формуле (43.45) определяем значение оператора Ь (г%)}.
4.Преобразуем по Лапласу полученное выражение Ь{щХ)}, определяем «фиктивную» нагрузку
«•«) = и {“»> + «•
и переходим к определению следующего приближения. Ели граничные условия заданы в моментах (43.40)' или смешанного типа (43.40)", то в указанную схему вносим на каждом шаге исправления в граничных ус ловиях, выразив их с помощью соотношений (43.43) через прогибы и пере водя в правую часть нелинейные члены этих соотношений, как было пока зано в главе X.
Если для пластинки с определенными граничными условиями известна функция Грина упругой задачи для сосредоточенной силы, приложенной в произвольной точке пластинки, то вязко-упругое решение нелинейной задачи сводится к квадратурам. Приведенная схема для решения таких за дач, как видно, легко поддается алгоритмизации для решения на электрон но-счетных вычислительных машинах.
XII. Общая теория физически
и геометрически нелинейной начально изотропной вязко-упругой среды
о
44.Геометрические и физические характеристики вязко-упругой среды при конечных деформациях
Вэтой главе мы рассмотрим общую теорию для физически и геометриче ски нелинейных вязко-упругих тел. Геометрическая нелинейность появ ляется за счет учета конечности деформаций. Для их рассмотрения необ
ходимо ввести некоторые геометрические соотношения.
Пусть в момент времени т — О тело находится в недеформированном состоянии. Каждая материальная точка этого состояния в прямоугольной систвхме координат ак с единичными векторами репера описывается ра диусом-вектором а.
В момент времени т = I положение этой материальной точки описы вается радиусом-вектором К с прямоугольными декартовыми координата ми ук (деформированное состояние), в любой момент т (0< т < 2) положе ние этой материальной точки будем задавать радиусом-вектором г с пря моугольными (эйлеровыми) координатами ха (промежуточное состояние). Тогда закон движения сплошной среды задается уравнениями
г |
= |
г (а1*, |
т), |
= |
ха (аЛ, т) |
(44.1) |
или |
|
г (ук, |
|
|
ха (ук, т). |
|
г |
= |
т), |
#а = |
(44.2) |
В уравнениях (44.1) и (44.2) ак и ук трактуются как лагранжевы коор динаты. В момент времени т = I уравнения (44.1) будут иметь вид: К = К (ак, 2). Вводим векторы репера криволинейной системы координат и симметричные так называемые «метрические» тензоры по формулам
Тк== да |
да |
§ы = тк-*1', |
= |
(44.3) |
Вектор и, определяемый равенством
г (|ак, т) — а (ак) = и (ак, т), |
(44.4) |
называется вектором перемещения, а тензор
еЦ= ~2 (ёЧ; \з) |
(44.5) |
— тензором деформации. Векторы скорости, ускорения определяются по