книги / Основы математической теории термовязкоупругости
..pdfМаксимальное |
значение |
со* при |
действительных |
р |
есть |
максимальное |
||||||||||||
значение со (*), т. е. согласно (18.4) значение со (^) при со' ($) = |
0. |
Обозна |
||||||||||||||||
чим |
максимальное |
и минимальное |
значения положительной |
функции |
||||||||||||||
со (I) через сотах, сот т . В случае |
Пх = |
сопз1, например, |
это будут |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 - 2 у |
|
|
|
|
1 |
|
П ( и |
|
|
|
|
|
||
|
«>гаах - |
®0 - |
1 + |
V |
/4* |
|
Ятах |
- |
^ |
|
П (0) |
’ |
|
|
|
|
||
|
® т т — ®0 |
д ^0) |
|
|
|
Л т т = |
1/к>о = |
я (0), |
|
|
|
(18.38) |
||||||
где |
Лщт есть |
значение |
К {1оо) в |
конечный |
момент |
времени I = 1^, в |
||||||||||||
пределах которого рассматривается задача. Значит при |
Р }> — 1/сотах и |
|||||||||||||||||
Р |
— 1 /сОщт |
функция |
ёНр) |
не |
имеет |
полюса |
р$, |
т. е. |
является це |
|||||||||
лой функцией р. |
для функции |
|
имеем |
следующие сходящиеся |
абсо |
|||||||||||||
Следовательно, |
|
|||||||||||||||||
лютно и равномерно ряды при указываемых условиях: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1Р1 |
со, |
|
|
= |
|
Ро>* + (Р<о*)2 - |
(Рсо*)3 4- • . • |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
* |
Я* |
|
/ Я* |
\2 |
/ |
я* |
\3 |
— • • • |
|
(18.39; |
|||
|
|
®тШ |
’ |
= |
р |
— ( “У |
] |
+ ( |
3 ) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
так |
как при этом в первом случае |
|рсо*| |
1 , а во втором — |я*/Р| |
1. |
||||||||||||||
|
Если |Р| заключен вне указанного в (18.39) интервала, т. е. |
|
|
|||||||||||||||
|
1/&>ппп |
[Р| ^ 1/^о ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(18.40) |
||||
то уравнение |
(18.37) |
может иметь действительный корень р$, |
и функция |
|||||||||||||||
.*$ |
— полюс в точке р = |
р$, т. е. будет иметь вид |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ё1 (р) |
= С-г/р - р $ + |
С0 + |
Ог (со* |
- |
а*) + С2 (со* |
- |
со;)2 |
+ ... |
|||||||||
|
0~1 = |
1/Рсор , |
С0 = |
— соэ /2р (сор)2. |
|
|
|
|
|
|
|
(18.41) |
||||||
Индекс ф» означает, что |
производные со*'(/?), со*"(р) |
и |
|
функция |
со*(р) |
|||||||||||||
берутся при р = |
р$ |
и , конечно, |
являются действительными числами. |
|||||||||||||||
|
На основании |
(18.39) |
восстанавливается |
оригинал |
функции §$ (г): |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0 = 1 — Рсо + |
р2 (О0со |
^ со (I — т) йсо (т) |
|
|
|
|
|
(18.42) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
поставленная в начале § |
18 задача нахождения ори |
гинала функции /, представленной ее изображением (18.6), для рассмот
ренных выше типов операторов |
, т. е. когда они имеют вид |
|||
= |
1Лп (сот + в п(я*)- + |
Сп $;п] |
(18.43) |
|
и Ж* одно из основных ядер 1, |
Е \ П*, |
, Щ , решается обращениями |
||
(18.15), (18.18), |
(18.34), (18.39), |
(18.42). Для этого |
перепишем срп в виде |
|
фп = оЛрп-1 = СО*пфо, |
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
фп (*) = |
«>оФп-1 00 + 5Фп-1 (* — т) 0)' (т) йх. |
(18.44) |
||
|
6 |
|
|
|
Обозначая оригиналы степеней со*п через соп (г) |
|
|
||||||||
|
©1 = |
©*, |
©2 = |
(со*)2, . . . , ©п = (© Т |
|
(18.45) |
||||
и записывая обращение уравнения в виде |
|
|
||||||||
|
'Ф* = |
СОп/ = |
(С0*)П/г |
|
|
|
|
|
||
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•Ф(г) = |
|
|
— |
с?/ (т) |
|
|
(18.46) |
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
и аналогично для я, получаем оригиналы степеней |
|
|
||||||||
|
СО |
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
= |
®(0,\ * ' |
<02(0~ \ / = й>о(0+и • |
— Т)Л»(Т), . . . |
|
|||||
|
1*- (\ 0/ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
(0 = |
«о^п-г (0 + |
$ ®п-1 (* — Т) <*«> (Т)г |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
Ях (^) = Я (г), |
Я2 (0 = я0я + ^ я |
— Т) б/я (т),. . . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
Яп (0 = |
|
|
(О + |
\ Яп_х (* — т) йл (X). |
|
(18.47) |
|||
Формулу для оригинала |
$рп согласно |
(18.39), (18.42) |
записываем |
в виде- |
||||||
|
§Эп (0 = |
1 — Рп©1 + |
Рп©2 — РпИ3 + • • • = 1 + 2 |
(—Р)т ®т- |
(18.48) |
|||||
Мы выделим две часто встречающиеся в задачах функции |
|
|||||||||
Вч* = |
«Го (й |
при |
р - |
1/2) |
и & (& при |
р = 2): |
|
|
||
|
$7г (0 = |
|
(0 = |
1 “ |
© (0/2 + •. . |
|
(18.49) |
|||
|
§2 (0 |
= 1 — 2со + |
4 |
со0со -|- § со (2 — т)б/со (т). . |
|
|
||||
Оператор ЖЛ вида| |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ж0 = |
Ж |
2 |
М псоп -{- 5^яп + |
Эпг |
|
(18.50-) |
|||
имеет |
оригинал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о ( 0 — 2 |
^ $ Л'* (* — т)й©п(т) Ь Вп$Ж (г — т)йя„(т) ч- |
||||||||
|
|
+ |
Сп \л г ({ — т)<1§рп (т) |
|
|
(18.51) |
и решение исходного уравнения (18.1) имеет вид (18.2). Подобное же ре шение задачи при. у* Ф 0 получается аналогичным путем, поскольку возможно разложение Жо по степеням у*, оригинал которого известен заранее и равен еП (г).
§19. Точные решения задач и метод аппроксимаций
Все трудности построения точных решений рассматриваемых задач линей ной теории сводятся только к обращениям решений в изображениях, рассмотренных в § 17, т. е. переходам к рригиналам.в (17.33), (17.34) с использованием при необходимости (17.32), (17.37). Краевых задач для дифференциальных уравнений с производными по координатам тела не возникает, так как предполагается известным решение соответствующих задач теории упругости. Координаты точек тела, его размеры, области приложения нагрузок, предполагаемые постоянными во времени, явля ются параметрами, зависимость от которых в изображениях остается точно такой же, как в задачах теории упругости.
Поэтому можно взять любую точку тела (практически интересны только некоторые расчетные точки) и рассмотреть в ней величину V типа пере мещения и величину а? типа напряжения, для которых имеем выраже ния, представляющие решение линейных задач теории упругости или строительной механики
V = Пу + |
Ру + &ТуФ» |
|
|
Я - |
2С17з + Р 8 + ЗаК7в<К |
(19.1) |
|
Здесь [/у, |
С/з — однородные линейные функции или функционалы по ко |
ординатам заданных граничными условиями величин типа перемещения (т. е. размерность которых не содержит силу); Ру, Р8 — аналогичные функции заданных величин типа сил; Ту, Т8 — не зависят от заданных сил и перемещений. Все эти шесть типов функций зависят от координат, размеров и, что теперь для нас самое главное,— только от коэффициента Пуассона Vи от параметра у = Еп120 (в случае контакта тела с внешним упругим телом), но не от С и К, которые только явно указанным образом входят в (19.1) и другие аналогичные формулы в § 17.
Вопрос о зависимости решений задач теории упругости от упругих констант полностью ясен в смысле зависимости от модулей С и К в от дельности, что и выражено в (19.1), но в общем случае еще не решен в
отношении зависимости от коэффициента Пуассона. |
задаче |
||
Еще в работе |
[29] установлена независимость Р8 от V в плоской |
||
при заданных на |
всей границе усилиях |
= ©§ = 1/у — 0у = |
0) для |
односвязных областей, а также для многосвязных, если на каждом кон туре главный вектор и главный момент внешних сил равны нулю. Так, например, если Л" — одно из напряжений; V — одно из перемещений, то Р8 не зависят от V, а
Рг = Р у ----у р т Ру, |
(19.2) |
|
где Ру, |
Ру не зависят от V. Переходя в (19.1) к изображениям решений |
|
вязко-упругих задач, т. е., заменяя |
1/2С —> П*, 3*у/(1 + V). —> 1 — со% |
|
ЗП*со* = |
Пх, получим для таких задач |
|
|
= Р'3, V* - П* [Ру - (1 - |
<0*)Рг1 = ГГ (Ру — Ру) + 1 и; IV . |
|
|
(19.3), |
Более полные исследования зависимости решений от коэффициента Пуас сона в плоских задачах даны в [30, 31], причем в работе [31] рассматри ваются контактные граничные условия. Пользуясь результатами § 18,,
находим точное решение таких плоских задач с помощью ядер П и ^
8 = Р8, Г = $Г1(*-т)[4Ру(т)-<Н >у(т)] + |
^ п 1^ ^ х ) а р 'у ( х ) . (19.4) |
о |
о |
Такой же результат получится во всех задачах с заданными на по верхностях тел силами, если напряжения не зависят от коэффициента Пуассона; итак, доказана следующая теорема.
Теорема 1. Напряжения упругого и термовязко-упругого тел совпада ют, перемещения получаются заменой нагрузок операторами ползучести (19.4). Доказательство очевидно из (17.33), (17.34), (17.32), (17.37).
Теорема 2. Если кривые сдвиговой и объемной ползучести данного те ла подобны, то решение задачи термовязко-упругости при заданных лю бых массовых силах и любых контактных граничных условиях 1-го и 2-го рода (§ 17) получается из решения задачи теории упругости заменой нагрузок и внешних заданных перемещений на соответствующие опера торы ползучести и релаксации. Если контактирующее тело вязко-упру го и его кривые сдвиговой и объемной ползучести подобны кривой пол зучести данного тела, теорема также верна.
По условию теоремы Пг (I) аП (2), следовательно, Пх = 1/йх =
— аТГ = а/1Т, т. е. кривые релаксации также подобны. Кг (I) — К (г)/а,
но /ГПх = Зсо* =-= а, следовательно, со* =со0 = а!3 = (1 —- 2*у)/(1 + V) — постоянна и г — мгновенный коэффициент Пуассона тела; в случае
контакта с другим телом по условию Еп = агК и, следовательно, Е*п =
==Ох/Г,т. е. у* = П*ЕП = ах = у постоянно и равно отношению мгновен ного Еп к К (0) = 20. Таким образом, в уравнениях (19.1), имеющих вид в изображениях
V* = |
11у + П*Ру + |
а Ту Г , |
|
Я* = |
В*<7*8 + Р*8 + |
ЗаВ[Т*8 |
(19.5) |
функции [Г, Р* содержат, причем линейно, только изображения нагру зок и заданных перемещений, а коэффициент Пуассона V и у в них, как и в постоянны (т. е. Т* = Г). Следовательно, оригиналами (19.5)
6УДУТ
I |
|
|
V — IIу + (хТу'д' + ^ П {I — т) с1Ру (т), |
|
|
о |
I |
|
I |
|
|
8 = Р8 + \ Н { 1 - х)Ш 8 (т) + За Тв |
— т) (т). |
(19.6) |
О |
о |
|
Понятно, что при переменных во времени нагрузках и задаваемых пере мещениях Р, С/, д будут функциями времени и в (19.6) под интегралами сто ят их дифференциалы по времени в момент т. Теорема доказана: «внеш ние нагрузки» Цу, Р$, не содержащие множителями упругих констант С, К в (19.1), сохраняются в (19.6), а содержащие множителями модули 1/20,
.20 и К, заменились операторами с ядрами П, К и Дг.
Приведенные, теоремы и формулы (19.4), (19.6) дают простые точные решения большого числа практических задач. В примерах нет особой необходимости, так как монографии, учебники, справочники содержат
'много формул для максимальных напряжений, моментов, перерезываю щих сил, перемещений, деформаций, кривизн, углов поворотов, которые легко переписываются в виде (19.1), и, значит, для вязко-упругих тел в виде (19.6). Если нагрузки (Р8, Ру) прикладываются мгновенно и ос
таются затем постоянными и перемещения ({/у, Из) и нагрев |
('& = Т — |
|
— Т0) — также, то (19.6) переписывается в виде |
|
|
V = |
[7у + а Ту# + П (1)Ру, |
|
3 = |
Р8 + ЗаТЕЯ1 (*)«■ + Л (0% , |
(19.7) |
т. е. в (19.1) просто происходит замена модулей на ядра П, Я, Яг.
Теорема 3. Общее решение задачи термовязко-упругости при произ вольных допустимых граничных условиях, налагаемых на перемещения на границе, включая постоянные 1-го рода (и 2-го рода, если контакти
рующее тело вязко-упруго и Еп = сгВ*), для тел, являющихся упруго несжимаемыми (К = оо), имеет вид
I
V = Г/у + аТ°у® + ^ П (« — х) ЛРу (т),
О
I |
|
I |
|
|
5 = Р% + 1я(г-т)<Ш%(х) + аТ § $Да( « - т)М (т), |
(19.8) |
|||
О |
|
о |
|
|
где Vу, Ту, Ру, Р%, |
Из получаются |
как предел |
соответствующих |
вели |
чин в (19.1) при V |
х/2 (о)0->0), |
а |
|
|
|
|
)-■/.• |
|
<19-9) |
Существование последнего предела |
следует из |
того, что в § 17 через Т$ |
обозначается фго)*, получающаяся непосредственно при решении задачи. Допустимые условия на перемещение означают, что общее увеличение объема тела должно равняться свободному температурному его расшире нию. Тогда (19.8) получаются в предположениях предыдущей теоремы, если в (19.6) заменить Яг (2) = К (2)/За)0 и перейти к пределу оо0 —> 0.
Однако в общем случае и во многих практически важных задачах ус ловия приведенных теорем не выполняются. В полимерах, например, ча сто совсем отсутствует объемная ползучесть, и потому Ях (I) — 1/П^ (2) — = К есть постоянный модуль объемного сжатия; следовательно, оо* — (1 —
— 2V*)/(1 + V*) = /Г/ЗК есть оператор, а со {I) — с точностью до множителя 1/ЗК — ядро сдвиговой релаксации (18.4).
Если контактирующее тело (в случае контактного граничного усло вия 2-го рода) также упруго, то у* = Еп11*, т. е. у (г)— с точностью до множителя есть ядро сдвиговой ползучести (18.5). Следовательно,
ш(*)= |
п (*)’ |
г =р*и (*) = ж - я (*). |
(0я - зки (О, |
|
|
|
(19.10) |
т. е. не выполнено условие второй теоремы, если только нельзя вообще пренебречь упругим изменением объема и считать Еп равным нулю.
В общем случае решения задач термовязко-упругости рассматривае мого типа получаются методом аппроксимаций: решения в изображениях
.(19.5) получаются из решений задач упругости (19.1) заменой 1/2О —> Я*,
2С -> К*, К —> V = (1 — со*)/(2 + со*) и входящих в них линейновнешних сил и перемещений такими же величинами со звездочками. Ут
верждается, что функции [/, Р, 0 , |
входящие |
в (19.1), представимы (точ |
|||||
но или в качестве |
аппроксимации) |
многочленами или |
рядами по степе |
||||
ням со0 и у, т. е. имеют следующий |
заданный |
вид: |
|
|
|||
^ к |
— 2 |
+ В п |
+ 1 + |
3((^пу)СОо ) |
’ |
(19.11) |
|
где \УК — (11к , Р к , Т к ) — одна из указанных |
в этих |
скобках |
букв, а |
||||
индекс «К » |
(V, 8). При этомРп(Кту) ф 0 только |
при у =^= 0 (контакт 2-га |
|||||
рода); коэффициенты А П(к ЮуВ-щкуп, В щ к ю — известные |
линейные функ |
ции (функционалы по координатам) от внешних сил для (К]У) = (УР)Г (8Р), от заданных перемещений и температуры '0' для (К\У) = (VI7), (817) и не зависят от внешних сил, перемещений и температуры 'О* для (К\У) -- (УТ), (8Т). Решение задачи термовязко-упругости в изобра жениях (19.5) определяется следующими значениями входящих в нега
функций \У*К = ((/*, Рк, тк ):
где |
п(хи7)(°п + |
к п + СП(к\у) &п(кю) г |
(19.12) |
|
|
|
|
со; (ю т, |
я ; = (©*)-" = |
( л т , |
|
* |
1 |
|
(19.13) |
Ъ%(КИ0= |
1 + рО Т )со* , |
|
|
|
|
а коэффициенты А П(к\у)1- ' получаются из А П(кю (19.11) простой заменой внешних сил и перемещений — их изображениями (т. е. простым при писыванием звездочек внешним силам и заданным на границе пере мещениям). После этого изображение решений задач вязко-упругости
(19.5) составляется из |
шести |
слагаемых типа |
где ТУ* = |
(П*, Е*г |
|||||
# 1). Оригиналы |
выражений ЛТ*\УК теперь |
находятся |
методами, указан |
||||||
ными в § 18 с помощью функций со (I), я (I), |
$$ (2). Для последних слагае |
||||||||
мых в (19.5), пропорциональных?7^, например, коэффициенты |
4 , В, С в |
||||||||
изображениях и в оригиналах одинаковы |
|
|
|
||||||
А п(кт)= |
АщКт), |
Вп(кт) = ВП(Кт), |
|
|
|
||||
СП(кт) = СП(КТ)ч |
К = (Р, а^). |
|
|
(19.14) |
|||||
Обозначим входящие в правые части (19.5) слагаемые |
|
||||||||
V* = У у |
+ У р + |
Ра, |
|
|
|
|
(19.15) |
||
где |
|
+ |
Яр + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ру = |
и*у, |
Р р = |
П'Ру, |
VI = а Т*у#\ |
|
|
|
||
8*у = |
Л |
|
8р = Р'8, |
81 = ЗаПтгТ*8Ъ\ |
|
(19.16) |
|||
Решение задач вязко-упругости |
имеет вид |
|
|
|
|||||
У = Уу + УР + |
Р*, .V - |
8 у + 8 Р + 8*, |
|
(19.17) |
и нам остается найти входящие здесь оригиналы функций (19.16). Д ля
IУк |
= (уу, |
8 Р) находим |
оригиналы |
|
|
|
|||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
(Уу, *5’р) = |
У?к = 2 К 03*- (* “ т) ^п(*ио (*) + |
|
||||||
|
|
|
|
1"«Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
0 |
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
+ |
^ П |
— Т) <ЛВп(КЮ (т ) + |
^§П(КЮ (I — т) <1Сп(КЮ (Т)* |
||||
|
|
|
о |
|
|
|
о |
(19.18) |
|
Д ля |
остальных четырех вводим дополнительные обозначения |
||||||||
|
|||||||||
|
х |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
^ ГТ(I — х) в.АП}(ур) (т) = |
АП[уР), |
^ II |
— х) (1Вп{у Р) (т) = |
Вп^уР), |
||||
|
о |
|
|
|
|
о |
|
(19.19) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
X |
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
^ П (* — т) ЗСП(ур) (т) = |
Сп(уР); |
\Л(1 — х) йАп{зи) (т) = |
А п(ЗП), |
|||||
|
о |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
\ в |
(I — х)д.ВП(ЗХ]){х)= #п(8пь |
^/?(2 — т) ^СП(зс7) (х) = СП(8С7); |
||||||
|
о |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
^ В г(? — т) йО (т) = 'З’(^)
о
и находим в соответствии с (19.16) и (19.12)
|
|
X |
X |
|
Ур = 2 |
[^ЮЛ(* — т)йЯ„(ур)(т) + ^яп(* —т) Й-®«(^Р)('Г) + |
|
||
|
х |
о |
о |
|
|
|
|
|
|
+ |
^§П(УР) (I ” ■Т) ЗСп(УР) (т) "] , |
|
||
|
о |
X |
X |
|
|
|
|
||
$ у = 2 |
[5 Юл ^ Т) |
(т) + § л п {I — т) (1Вп{3и) (X) -I- |
|
|
|
X |
0 |
о |
|
|
|
|
|
|
|
^^п(8Г7) |
^П(ЗП) (Т)1 » |
|
|
|
О |
X |
X |
|
|
|
|
||
У& = |
а 2 |
[л п (ут) |
— т) ^'0 (т) + ^п(ут) ^ яп (^ —*т) ^ |
(^) + |
|
|
О |
о |
|
|
|
X |
|
|
+ |
СП(УТ)^8П(УТ)(* — т)^ 1Э'( т)]1 |
(19.20) |
||
|
|
о |
|
|
|
|
* |
X |
|
8& = |
За ^ ^п (зт) ^ |
(^ — тО ^ (т^) "Ь ^п(зт)^ (^ — т) ^ |
(т) ~Ь |
+ С п (8 Т ) ^ п (8 Т ) (* — Т ) Й О ( Т ) ] .
О
Таким образом, задача решена с помощью функции со (I), л (I) и § 5 (^ч
Возможность представления изображения решения в виде (19.5), (19.12) вытекает из ограниченности со* при преобразованиях Лапласа с действительным параметром р , так как при этом, очевидно,
0 < Фтт ^ Ю ^ ^тах? |
(19.21) |
где пределы определены (18.38).
При у — 0, т. е. в основных задачах и контактных с граничными усло виями 1-го рода в (19.12) все Вп будут равны нулю, а Сп можно положить равными нулю согласно (18.39) при условии | Рсо01<С 1* Но последнее нецелесообразно, если представление §$ (I) линейной функцией (о (I), т. е. двумя первыми слагаемыми в (18.42), является недостаточно точным, так как функция (I) предполагается известной [35].
§ 20. Сличай рациональных зависимостей решения (19.1) от коэффициента Пуассона
В основных задачах теории упругости решения являются рациональ ными функциями коэффициента Пуассона [32], причем встречаются сле дующие комбинации:
|
|
1 — соо |
|
1 — 2V |
|
|
1 |
|
п |
2 |
|
|
|
2 + |
(Оо |
’ |
^ ~ 1 + V ’ |
Л'° ~~ СОо |
’ |
^ 1/2 ~ 2 + 0)0 * |
|||
2ц — 2С = ЗКсо0, |
Е = 9К |
= |
9К (1 - |
ф |
, |
|
|||||
^ = К |
- А |
|А=К (1-< в0), |
^ = |
4 - (1-Юо). |
(20.1> |
||||||
- г -= |
|
- |
4>, |
1 - = |
2 Т ^ - = |
3(! |
- ф |
, |
|
||
1 |
_ |
1 |
(2л0 + 1), |
1 — У1*_ |
1 |
1 |
1 + |
2(0о |
Лр |
/_4 |
|
Е |
~ |
9К |
|
|
Е |
ЗК. |
соо |
2 -|- соо |
2К |
\3 |
В абсолютном большинстве других задач [33] (включая задачи с кон тактными граничными условиями [34]) коэффициенты IV = (С/, Р, 0) в (19.1) также являются рациональными функциями коэффициента Пуас сона, и сами решения (19.1) при у = 0 (иногда и при у =/= 0) могут быть записаны или аппроксимированы формулами
V = у ° + ы°у 1+ "о7 -, + 2 т + т & ^ 1 |
(20.2) |
5 =5° + +Яо‘5-1+ 2 Т+р”8СОо’
где ©о = (1 — 2у)/(1 + V), я 0 = 1/щ, Рпу, Рп§ — числа, а все коэффициен ты V и ^ являются линейными функциями внешних сил, заданных пере мещений и температуры '0'. Тогда решение задач вязко-упругости сразу записывается в виде сверток
|
|
I |
|
I |
Ш (*) = |
+ |
^(0(* - т) |
(т) + |
(* — т) <ИУ.Х(т) + |
|
л |
о |
|
о |
|
|
|
|
|
+ 2 |
( |
* — |
(т), |
|
|
о |
|
|
|
где IV = (V, *5). Если все внешние заданные параметры (нагрузки, пе ремещения, температура) при I = 0 прикладываются мгновенно и затем остаются постоянными во времени, то из (20.3) получаем
ТУ (*) = И'о + СО(О + Я ({) I V (0 (2 0 -4 ) ■
Для тел, не обладающих объемной релаксацией, т. е. при Е 1 = 1/Пх =
= К = сопз1, из (18.4), (18.5) имеем |
|
||||||
(О(г) = Н (0/ЗЛГ, |
|
я (0 = |
3XII (0. |
(20.5)- |
|||
Функция ^ |
(г), являющаяся оригиналом оператора |
|
|||||
_ |
1 |
_ |
ЗК |
_ |
ЗКП* |
(20.6) |
|
— |
1 + р ш * |
~ |
ЗК + |
рЛ* — (З + ЗКГР ’ |
|||
|
либо раз и навсегда построена для данного материала в виде серии гра фиков на основании (18.42) или (18.34), либо найдена экспериментально [35, 36]. В последнем случае следует произвести испытания на релакса цию последовательно соединенного образца материала и идеальной пру
жины или параллельного |
их соединения на ползучесть (рис. 17). Пусть |
|||||||||
в первом случае (а) длина пружины |
12, ее жесткость /с, сила |
= |
к12г2; |
|||||||
образец |
тела |
длины |
сечения Р с |
характеристиками К |
(2), |
П {I). |
||||
Перемещение конца |
|
|
|
|
|
|
||||
и |
= |
1^1 |
^2^2 = |
^ !к |
|
|
|
|
(20.7)- |
|
моя^ет быть |
|
задано произвольно. |
При |
простом |
растяжении образца и |
|||||
напряжении |
|
аг = |
(?1Р и |
о = с^/З, |
0 = |
о1К = |
ах/ЗК его удлинение |
|||
находится из |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
8Х- |
4 - 0 = |
^ П (I - |
т) (ааг - |
4 - ^ . |
|
|
(20.8), |
|||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
Внося гг |
в |
(20.7), |
находим |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
(*-т)й<?( т), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЭР К к и |
6 К ^ 1 |
|
|
|
(20.9)- |
||
' |
~ 9К |
’ |
Л — ЭК/' + Их |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||
Изображение (20.9) имеет вид 0* = |
/* — |
отсюда |
|
|
||||||
е*=<?Г/*, |
1-Д д Г - |
|
|
|
|
(20.10). |
||||
Решение (20.9) относительно () теперь имеет вид |
|
|
|
|||||||
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
<2 = ^ 0 } Ц~х)<1/(х). |
|
|
|
|
(20.11) |
|||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(<) |
0о(0 _ ЭЯГ/Ч-Ых Л |
|
|
|
|
(20.12). |
|||
|
/о |
Э/’АГ&ио |
(1) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ш / т / т
Ри с . 17.
Экспериментальное определение ядер ед(*) для тел, не обладающих объемной релаксацией
Р и с . 18.
Экспериментальное определение ядер (I) при (5 < у 2
т. е., измеряя релаксационную силу (?0 (*)» строим функцию С (I) для нескольких пружин к различной жесткости. Но для О* имеем
г *_ |
зк |
_ , |
а |
зкп* |
, |
з/ш* |
|
зк + зкш* |
|
|
зк + гхкп* |
~ 1 |
зк/к + зкт • |
|
|
|
|
|
|
(20.13) |
Сравнивая (20.13) с (20.6) и подбирая параметр К и жесткость к из усло вия
%= ЗДГ/р, |
|
|
|
|
(20.14) |
|
получаем изображение и оригинал |
|
|
|
|
||
Й = |
1 - |
^3 ( 0 = 1 - |
(0, |
|
|
(20.15) |
т. е. задача |
решена, по данному р функция |
(I) построена по измерению |
||||
релаксации |
силы (?0. Условие (20.14) выбора жесткости пружины, соот |
|||||
ветствующей данному р, на основании (20.9) перепишем в виде |
|
|||||
к11 = -ЩГ=Т’ |
Р > х/2, |
|
|
|
(20.16) |
|
что пригодно для р > |
0,5. При р —> 0,5, к1г --»• оо, |
X —»■ 6ЛГ и из |
(20.8), |
|||
«(20. 10) |
|
|
|
|
|
|
(') = |
= ж ! г = тяг |
<<>, |
I |
= « " '• |
<20-17> |
<где Дг .(2) — кривая релаксации образца при простом растяжении, кото рую в практике чаще всего и находят; действительно, уравнение (20.11)
имеет вид
I
с= ^ Нг (I — т)с?е.
о
Таким образом, для оператора
^ * |
1 |
2 _ 6К |
/оп а о\ |
|
Т + а ? ! ? |
~Т+о/ — '6КГ+Л1' |
(2У.18) |
оригинал