книги / Основы математической теории термовязкоупругости

X Г 1 2 . О е ) Г х 2 - ^ е ] “Ь # 3 5 [ Г х г в Г х г ^ е ^ г г ^ е ] " Ь

~Ь #36 [Гх2-ОеГх2^еГх2^е]}»

где <Ое-Вг-Вг>= е{3).

Приравнивая члены одинакового строения в (35.23) 3 и (35.22), получаем

где, например, запись последней строки означает

** * *

Гз, (*,*!, Т2| Т,) = - 5 Гц (I, | )* * $ $ $ К 37 (I, | 1? | 2, | 3) X

О Т1Та т 3

г

X Г12 (|х, тх) Г12 (|2, т2) Г12 ( |3, т8) й| х^2 <^1з + 2 § Ги (^, 1) ^1 X

о

г2.

х ^ <К>\ ^ К 22(^, |х> 1г) Гх2 (1г> Т3) й |2 ^ Г12 (5х? р) Зр X

§ 36. Обратные соотношения главной нелинейной теории вязко-упругости

Соотношения главной нелинейной теории вязко-упругости получаются из общих соотношений нелинейной теории вязко-упругости* (28.3), если в раз­ ложении каждого нелинейного ядра К !п) (х) (30.6) оставить только глав­ ные части этих ядер (30.8). Следовательно, соотношения главной нели­ нейной теории вязко-упругости имеют также вид (28.3), где ядра ползуче­

6-функций на регулярную функцию одной переменной, а во второе — константа, умноженная на произведение 6-функций соответствующих аргументов. Разумеется, полученные соотношения можно свернуть, в ре­ зультате чего первое слагаемое будет иметь вид только однократного ин­ теграла, а второе вообще не будет содержать никаких интегралов. Однако, если такую свертку не проводить, соотношения главной нелинейной теории вязко-упругости ничем формально не будут отличаться от общих соотно­ шений нелинейной теории вязко-упругости (28.3) или (34.31). Эти соот­ ношения можно обратить, согласно методу, изложенному в § 34. В резуль­

дут содержать, вообще говоря, все члены разложения (30.6), а не только главную часть. Поэтому обратные соотношения главной нелинейной тео­ рии ползучести (34.31), вообще говоря, не являются соотношениями глав­ ной нелинейной] теории релаксации (34.30), и наоборот. В самом деле, пусть, например, в соотношениях (34.31) отличны от нуля только первые три слагаемые. Тогда, согласно (34.28), имеем

г

г,(*. *1, ха) ----- 5 Гх (*,6)<$ х

о

* *

Так как линейное ядро Гх (2, т) всегда можно представить в виде суммы сингулярной и регулярной составляющих

где Г — константа, а Гх (? — т) — регулярная функция, то соотношения (36.1) можно записать в следующем виде:

А (*}

Р и с . 30.

Характерный график функции ре­ лаксации для сильно релаксирующих материалов

(36.5) на число Г3 и заменяя функцию 1\ (2)/Г ее максимальным выражени­ ем со, мы видим, что ядро Г2 (2, тх, т2) с точностью до членов порядка мало­ сти со является ядром того же типа, что и ядро К 2 (2, тх, т2). Таким обра­ зом, справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Если материал слабо релаксирует, т. е. является малой по

то соотношения главной нелинейной теории релаксации (34.30) и главной нелинейной теории ползучести (34.31) являются взаимно обратными с точ­ ностью до величины со.

Для изотропных материалов, у которых изменение объема сопровож­

дается упругими деформациями, очевидно, величиной Гх является мак­ симальное значение производной функции релаксации В (г), а величиной Г — удвоенный модуль сдвига 6?.

Заметим, что ядро Г2 (2, тх, т2) останется главным ядром и в том случае, если в правой части соотношений (36.5) удержать величины порядка со, при этом необходимо допустить, что отношение максимального значения функ­ ций А (2) и В {I) в (36.4) на отрезке [0, *] к наименьшему из числовых зна­ чений (7, В существенно меньше единицы.

Рассмотрим сильно релаксирующие материалы, т. е. материалы, в кото­ рых функция релаксации сильно убывает в течение некоторого достаточно малого промежутка времени I * (рис. 30). В этом случае ядро релаксации

Как видно из рис. 30, для достаточно больших времен I (2 2*) функ­

ция Тг (I) является малой величиной по сравнению с Г = Я (0). Поэтому для достаточно больших времен как видно, например, из соотношений (36.5), можно пренебречь величиной со (36.7) по сравнению с единицей. Та­ ким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Если материал сильно релаксирует, т. е. для времен, значи­ тельно больших некоторого характерного времени г*, величина со (36.7)

является малой по сравнению с единицей, где 1\ — максимальное зна­

чение тензора ядер релаксации Тгим (I) на отрезке (*♦,*), а Г — мини­ мальное значение тензора модулей упругости этого материала

Гх = шах (Гиш (г)),

то соотношения главной нелинейной теории релаксации (34.30) и главной нелинейной теории ползучести (34.31) являются взаимно обратными с точ­ ностью до величины со для времен, достаточно удаленных от характерного времени $*.

Рассмотрим главную нелинейную теорию вязко-упругости для изо­ тропной среды. Пусть выполнены условия теоремы 1 или теоремы 2, кото­ рые заключаются в том, что величина со много меньше единицы, где

Гусловия теоремы 1,

Тогда соотношения (30.10), (30.10)' являются взаимно обратными с соот­ ношениями

от трех независимых инвариантов тензора деформаций, взятых в момент I, а V — совокупность аргументов ядер Рл (к= 1,2, . . ., 9), в которую наря­ ду с аргументом I — т входят инварианты, построенные на базе тензора деформаций, аналогичные инвариантам (30.11).

= 1,2, . . ., 9), можно воспользоваться схемой (35.8), рассмотренной в предыдущем параграфе. Для этого нужно принять в качестве оператора

0 ( 8) правую часть соотношения (29.3) и подсчитать операторы (35.7), а затем, принимая во внимание малость величины со (36.9), образовать функции (тк и р 1 (к = 1, 2, 3; I = 1, 2, . . .,9) . Однако можно идти другим

путем. А именно, принимая в качестве оператора О (8) правую часть (30.10)1, произвести разбиение этого оператора на 6 г (8) и С2 (8) по форму­

ле (35.14) и, считая операторы Гп и Г12 в выражении (35.16) числами, по­ лучить по схеме (35.8) оператор Р (Е) непосредственно в виде (36.12), а от­ сюда и выражение искомых функций и р г (к = Л, 2, 3; I = 1,2 , . . . 9).

Если же условия теорем 1 и 2 не выполняются, то под главной нели­ нейной теорией вязко-упругости понимается либо главная нелинейная теория релаксации (30.10), обратные соотношения которой не являются соотношениями главной нелинейной теории ползучести, либо главная нелинейная теория ползучести (36.12), обратные соотношения которой име­ ют вид (29.3), т. е. не являются соотношениями главной нелинейной теории релаксации. Таким образом, соотношения главной нелинейной теории релаксации, равно как и главной нелинейной теории ползучести, нераз­ решимы в конечном виде, за исключением некоторых частных случаев.

Рассмотрим, например, простейшее нелинейное соотношение главной «кубичной» теории вязко-упругости [3], когда в нелинейном ядре Къ (х)

(32.20) берется только объект К (32.21), компоненты которого, как уже упоминалось, являются числами. При этом, согласно (32.24) А = Кз (^, 2),

В — 0 и соотношение (32.23) имеет вид

г

где

Итак, если известна функция 0 (т), то нелинейные ядра релаксации (?',

Квазилинейная теория вязко-упругости для изотропных несжимаемых сред

§37. Прямые и обратные соотношения квазилинейной теории вязко-упругости

Соотношения квазилинейной, т. е. тензорно-линейной, теории вязко­ упругости представлены уравнениями (31.10)'. Эти уравнения удобно за­ писать в следующем виде:

где][первыми слагаемыми выделена для удобства линейная часть и исполь­ зованы принятые ранее обозначения

(Е = е/ + /)е) == (еи = ебу + еу),

(3 =а/+ Ов) = (бу = Обу + «у)*