книги / Синергетика и усталостное разрушение металлов

мическому критерию разрушения гомогенных материалов. Однако при этом остается совершенно неясным смысл явления "плавления”.

Его интерпретация требует привлечения новых представлений теории конденсированного состояния, развитых нами в работе [14]. Предло­ женный подход, основывающийся на идее рассмотрения конденсирован­ ного состояния атомов как системы, сильно возбужденной над основ­ ным состоянием, позволяет единым образом описать упругое и пласти­ ческое поведение твердого тела, его течение и разрушение. Вчастности,

Рассмотрение эволюции ансамбля элементарных носителей разрушения реализует макроскопический уровень описания процесса в целом. При этом в соответствии с многообразием разновидностей процесса [2-4] представляются возможными различные сценарии эволюции системы. Оказывается, что наиболее адекватное описание этих сценариев дости­ гается не в реальном физическом, а в гипотетическом пространстве с

ультраметрической топологией. Изложение соответствующей фракталь­ ной теории приводится в п.3.

I. Термодинамический критерий разрушения1. К настоящему времени

сложились два подхода к определениютеоретической прочности кристал­ лов. Впервом, следуя Борну [15], предел прочности определяется из условия потери кристаллом механической устойчивости [16, 17]. Ма­ тематически это условие выражается в занулении одного из собственных значений матрицы эффективных упругих постоянных либо одного из собственных значений динамической матрицы [16, 18]. Борновский кри­ терий дает завышенную оценку теоретической прочности, поскольку раз­

рушение кристалла может произойти задолго до потери им механической ус­ тойчивости. Вэтой связи Орован и Маккензи (см. [19]),а также авторы [20] получали теоретическую прочность, в 2-5 раз превышающуюэкс­

периментальную.

Наряду с борновским существует и другой критерий прочности кристаллов, физически менее обоснованный и ясный. Он основан на предположении о связипроцессов разрушения и пластической деформа­ ции с плавлением (в [21] данный критерий назван термодинамическим). Вего рамках теоретическая прочность связывается с характеристиками плавления типа скрытой теплоты перехода. Поскольку последователь­ ной, логической схемы получения такого соотношения нет, данный кри­ терий получил самые различные математические формулировки [21—25]. Наиболее удачная из них [24] позволяет устранить существовавшее ранее расхождение в 2—5раз между теоретической и экспериментально наблю­ даемой прочностью кристаллов.

Успех термодинамического подхода обусловлен тем, что отнесенная к единице объема скрытая теплота плавления оказывается величиной того же порядка, что и предел прочности кристаллов, а деформация раз­ рушения соизмерима с величиной теплового расширения от данной тем­ пературы до температуры плавления [21]. Однако хотя применимость

1Параграф написан совместно с Г.А.Ольховик.

201

термодинамического критерия разрушения не вызывает сомнений, его

обоснование до настоящего времени отсутствовало. Вданном парагра­ фе предпринята попытка восполнить этот пробел.

Обратимся сначала к борновскому критерию. Существенно, что точ­ ка потери механической устойчивости решетки есть точка структурно­ го фазового перехода [18]. Поэтому данный критерий фактически ос­ нован на предположении, что внешняя нагрузка сначала вызывает струк­ турный переход, который в свою очередь инициирует непосредственно разрушение. При этом, однако, не конкретизируется тип превращения, более того, оно не обязано иметь характер структурного перехода. Ука­ занные совпадения характерных термодинамических параметров разру­ шения и плавления заставляют предположить, что в данном случае про­ является неустойчивость решетки относительно плавления.

В условиях негидростатической нагрузки следует, однако, иметь в виду определенную специфику процесса плавления [26]. Она связана с появлением ориентационной зависимости в химическом потенциале твердого тела,декартовы компоненты которого имеют вид

где и, s - удельные внутренняя энергия и энтропия, Т —температура, 12 —атомный объем, —компоненты тензора напряжения. Условия термодинамического и механического равновесия на границе раздела

где fJ? =uI-T%+Р£11—химический потенциал жидкости, Р —давление. Рост внешних напряжений приводит к увеличению левых частей усло­ вий (2) до тех пор, пока они не выполняются для одной их плоскостей п =п0. Именно по этой плоскости происходит разрушение.

Для нахождения предела прочности в явном виде рассмотрим прос­ тейший случай упругоизотропной среды, подверженной одноосному рас­ тяжению о. Как нетрудно видеть, условия (2) впервые выполняются на плоскости, перпендикулярной оси растяжения, где они принимают вид

Здесь f3'1—модульные свободные энергии твердого тела и жидкости, 12*1- их атомные объемы, К, и - модуль всестороннего сжатия и коэф­ фициент Пуассона твердого тела (полагаем К3 К1=К).

Пренебрегая разностью 12,-12/ и принимая

где q = (s1s3)Tmскрытая теплота плавления, Tm—его температу­ ра,из (3) для предела прочности получаем

202

До сих пор полагалось, что процесс растяжения является изотерми­

Найденное значение хорошо согласуется с эмпирическим критерием [25]

остается конечной величиной <*>qll2.

Дальнейшее уточнение (56), получаемое при выходе за рамки при­

гости ряда металлов [27—31]. Хорошее совпадение с экспериментом, как и в [24], имеет место для железа и кадмия; для других металлов рассчитанные значения пределов упругости в 3—10 раз превышают экспе­ риментальные. Это объясняется тем, что нитевидные кристаллы кадмия и железа имеют наименьшие диаметры: согласно [24], однородное рас­ пределение упругой энергии характерно лишь для образцов с диаметром 1мкм. Приведенные результаты согласуются также с расчетами [24], проведенными по эмпирической формуле

Такое совпадение представляется на первый взгляд неожиданным ввиде явного различия (5а) и (6в), однако (5в) сводится к (6в), если

в нулевом порядке принять oad =E(q+ Н^-Н^)/2(l-v)(q + HST), Для кадмия критерий (6в) предсказывает теоретическуюпрочность, мень­ шую реально достигнутой, нашподход лишен этого недостатка. Из табл. 1 видно, что критерий (6а) и (66) приводят к значениям предела упругос­ ти, в 1,5—2 раза превышающим наши. Для кадмия же (66) дает значе­ ние, превышающее наше в 5 раз; данное обстоятельство указывает на его ограниченную применимость.

Равенства (5а)-(5в) применимы также и к упругоанизотропным те­ лам, если растяжение-сжатие происходит вдоль кристаллографических

203

Таблица 1

Экспериментальны и теоретические величиныпредела упругости нитевидных бездефектных кристаллов

^Вычислено авторамипо формуле [24].

направлений высокой симметрии. Дня кубических кристаллов такие на­ правления ориентированы вдоль осей типов <100) и Oil). Для иллюст­ рации эффекта упругой анизотропии приведен микроскопический рас­ чет зависимости (5а) для натрия при сжатии его в обойме по осям (100) 011) и гидростатическом сжатии.

На рис. 1 видно, что температура плавления при одноосном сжатии (2 и 3) сначала растет вместе с о, а затем падает, при этом меньшие тем­ пературы плавления соответствуют более жесткому направлению <111). Вслучае гидростатического сжатия (7) расчет предсказывает рост тем­

пературы плавления с давлением, который прекрасно согласуется с экс­ периментальными данными.

2. Микроскопическая трактовка процесса разрушения. В обычных условиях при нагрузках а< ос и температурах Т < Тт атомы твердо­ го тела, образующие периодическую структуру, участвуют в колебатель­ ном движении и очень редко совершают диффузионные перескоки меж­ ду узлами решетки. При этом их движение определяется двумя коллек­ тивными модами: реактивной фононной модой, обладающей тремя акустическими ветвями w„ = с„к, где п - 1,2,3 —индекс поляризации,

204

w частота, к —волновой вектор, сп - скорость звука, и слабо выра­ женной диффузионной модой wd - -iDk2f где/)-коэффициентдиффу­ зии, носящей диссипативный характер [14]. Бозе-конденсат статических фононов, отвечающих wn -*• 0, является переносчиком дальнодействующего упругого поля.

Сростом температуры и нагрузки до значений Тт, ас проявляются эффекты течения среды, приводящие к экранировке упругого поля. При

Рис.1. Зависимость температуры плавления натрия от нагрузки 1 —гидростатическое давле­ ние; одноосное сжатие вдоль

оси:2 - <100>,3 - <1И>

этом закон дисперсии поперечной ветви фононов принимает вид [14]

М—модуль сдвига, р —плотность среды, т? - динамическая сдвиговая вязкость. Если в коротковолновой области К >Kt закон дисперсии (7) сводится к обычному акустическому виду, то в длинноволновой (К < < Kt{2) поперечные фононы перестраиваются в диссипативнуюмоду

Видеально упругой среде (л = *») упругое поле, как и следовало, явля­ ется дальнодействующим (X= <»), а с ростом температуры и нагрузки величина Хсо7?(Г, о) спадает до конечныхзначений.

Описанные изменения касаются перестройки в коллективном пове­ дении атомов. Их одночастичные состояния характеризуются энергией элементарного возбуждения атомного типа, которая, согласно концеп­

ции Ландау,задается в виде

Здесь Е\п (г, г)] —полная энергия системы, задаваемая пространст­ венно-временным распределением атомов л (г, t), Очевидно, зависи­

мость и (г, Г) представляет пространственное распределение потен-

205

циальной энергии "пробного атома” в момент времени t. Если атомы взаимодействуют между собой посредством п частичных потенциалов Vn (т1гг2...г„), то потенциальный рельеф м(г, г) связан с ними равен­

положениям атомов [г* (Г)} в данный момент времени.

Поскольку мы интересуемся макроскопическим поведением системы атомов,то в соответствии с изменениемнабора ихкоординат{Г/ (Г)}мож­ но разбить величину и (г, Г) на две части. Первая из них U(г) меняется на макроскопических временах, намного превышающих дебаевское т,.

Вторая часть и (г,г) быстро флуктуирует за времена t < ту. Если при сла­ бом возбуждении системы Т, о< Ттос этими флуктуациями можно пре­ небречь, то при Т, а ~ Ттос имеем 17/(г)| /г, t) и детерминирован­

ное описание системы атомов теряет смысл. При этом становится воз­ можным только макроскопическое представление величин, усредненных на отрезке времени . Следуя [14], полагаем, что выполняются ус­ ловия применимости эргодической гипотезы и от средних по времени можно перейти к средним по ансамблю[[/(г)} нефлуктуирующих по­ тенциальных рельефов. Согласно [14, 32], в стационарном состоянии распределение по этому ансамблюзадается функционалом

где V\IT(t)\ —синергетический потенциал, параметр Q задается интен­

сивностьюфлуктуацийи (г,t).

Параметр перестройки вязкоупругого поведения среды задается

где SU(г) = f/(r)-( U(г)>,угловые скобки —усреднение по распределе­ нию (12). Вслучае 0(г) = 0 потенциальный рельеф <С/(г) >случайным

образом флуктуирует около среднего значения <С/(г) >с характерным

отклонением |ы(г, f)| ~y/QTf. При ф(г) Ф0 распределение U(г) коге­ рентным образом перестраивается на макроскопических расстояних. В пределе возможны два типа такой перестройки: 1)с изменением внеш­

них условий дисперсия <(и(г, f))2>меняется слабо, тогда как вид са­ мой зависимости и(г, Г) —существенно, например, уменьшаются харак­ терные значения ее амплитуды и кривизны; 2) среднее значение <м(г, О

почти не меняется, но растет дисперсия <(и(г, г)2). Первый случай от­ вечает изменению упругих свойств среды, например размягчению мо­ дулей, величина которых пропорциональна кривизне рельефа. Расширение

ансамбля рельефов fu(г,t) I до значений <(iT(r,f))2 >~<u(r, f)">2 во вто­

206

ром случае означает переход к безактивационному перемещению ато­ мов,характерномудля текучего состояния.

На рис. 2 представлена схема, иллюстрирующая даннуюкартину пе­ рестройки рельефа. Нетрудно заметить, что обеим указанным ситуациям отвечает разрыв межатомных связей.

В рамках представленной схемы параметризация вязкоупругой сре­ ды достигается использованием пространственно-временных зависимос­ тей параметра среды ф(г, t), играющего роль параметра порядка в обыч­

ной схеме фазовых превращений, и упругой составляющей скорости те­ чения среды и(г, г), представляющей пространственные компоненты векторного потенциала калибровочного поля, сопряженного с парамет­ ром ф (14). Используя стандартную теоретико-полевую схему, для ука­ занных зависимостей в стационарном случае получаем уравнение

где величины ф, v отнесены к своим максимальным значениям, расстоя­ ния измерены в единицах длины X,f - корреляционная длина,указываю­ щая масштаб изменения величины ф(т) в пространстве.

Всоответствии с качественной картиной, изложенной выше, в отсут­ ствие перестройки среды (ф= 0) уравнение (146) дает тривиальное ре­

ношением величин Xи f. Вхрупких материалах, к которым относится большинство используемых в практических приложениях, глубина про­

представленные на рис. 3. Они отвечают сосредоточенным в одной крис­ таллографической плоскости дискообразным областям, обладающим центральным провалом параметра порядка ф в радиусе ~£. Всвоюоче­ редь, каждая такая область погружена в гораздо больший участок ра­ диусом ~ X, в котором локализовано пластическое течение кристалла. Поскольку уменьшение параметра ф(т) означает ослабление межатом­ ных связей, а область пластического течения всегда локализована вблизи очага разрушения [1—5], то естественно идентифицировать найденное решение как элементарный носитель хрупкого разрушения. Имея в виду, нарушение межатомных связей, назовем такое образование фрустроном.

Для материалов, удовлетворяющих условию X> ?, область сущест­ вования фрустронов отвечает внешним нагрузкам о, заключенным меж­ ду значениями

(15)

где критическое значение ас определено в параграфе 1 (см., например,

207

Рис.2. Схемятичныйвидпотенциального рельефав различныхслучаях упруговяэкой среды

а —идеально упругий кристалл: 1—мягкий, 2 —жесткий; б - текучая среда

Рис.3. Радиальное распределение потенциального рельефа (а), параметра его пере­ стройкин полятечения (5)и модельфрустрона (в)

Рис.4.Схемацепочечного объединения фрустронов

[5]). При а < aCi фрустроны нестабильны, в случае а> oCi они слива­ ются в гомогенную ’’фазу”,т.е.происходит разрушение.

Разумеется, в реальном кристалле фрустроны не являются единст­ венными носителями процесса разрушения. Всвязи с тем что они хоро­ шо выражены как таковые лишь в хрупких телах, где велико отноше­ ние определяемое сдвиговой вязкостью jj, фрустронный меха­

низм превалирует при хрупком или квазихрупком разрушении. При этом следует иметь в виду, что действие данного механизма важно толь­ ко на микроскопическом уровне, где также следует учитывать наличие

208

объединяются попарно, затем с той же вероятностью пары ооразуют чет­ верки и тд. (рис.4).

Нетрудно видеть, что если при образовании TV-кластера, реализующем­ ся в случае небольших tj, малость отношения Ppf/Pi ~Р\ связана с пе­ ремножением единичных вероятностей Рх, то цепочечный процесс харак­ теризуется их суперпозицией и дает гораздо большее значениеР^/Рх Это приводит к изменениюкинетики процесса разрушения: если вероят­

ность отсутствия за время t флуктуационного образования TV-кластера характеризуется дебаевской зависимостью P1(f)~exp(—Т/г0), где г0 - микроскопическое время, то для соизмеримости отвечающего ему вре­ мени зарождения кластера tN= —То\пР„ ~TVlnPf1 с характерным вре­ менем цепочечного процесса ~t0/Pn требуется положить, что кинетика последнего задается совершенно отличной от дебаевской зависимостью Pn{t) ~ T0lt. Использование фрактальной теории позволит полу­ чить этот результат и его обобщения последовательным образом.

Для количественного описания эволюции ансамбля фрустронов вве­ дем гипотетическую координату х, значения которой отвечаю различ­ ным кластерам фрустронов в течение времени t. Как следует из рис, 4, в рамках предложенной схемы объединение (удвоение) кластеров про­ исходит в дискретные моменты времени tj, интервалы At/ = t/—t/_i между которыми увеличиваются. Будем характеризовать кластеры в промежутке At/ набором координат \Х/\. Тогда каждый элементар­ ный акт удвоения задается отображением x/+l = f (х/) координаты X/ в xy+i, причем, как видно на рис. 4, обратное ему X/ = / _1(ху+1) явля­ ется неоднозначным. По аналогии с теорией турбулентности [25, 34] аппроксимируем данное отображение зависимостью

характеризуемой единственным параметром. Его нижнее критическое значение Ах, отвечающее образованию самого крупного кластера, опре­ деляется условиями X/ =f(x/), dx/+l/dx/-l, взятыми в момент обра­ зования этого кластера.Используя (16),получаем Ах=314.

Для определения следующих значений параметра Апроведем отобра­ жение (16) дважды. Нетрудно видеть [34, 35], что с точностьюдо квад­ ратичных членов по х/ получающемуся отображениюxJ+2 =/ (х/) можно придать вид (16),если провести масштабное преобразование

Неподвижные точки этих отображений отвечаю объединению 2й клас­

210