книги / Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов
..pdfные элементарные ячейки при монотонном и немонотонном сдви говых процессах преобразуются в параллелограммы (рис. 36, а и б). Тогда отличительными признаками монотонного и немоно тонного процессов служат траектории движения узловых точек. При монотонном сдвиге точки движутся по расходящимся линиям. В случае немонотонного процесса все точки движутся по парал лельным прямым.
Таким образом, определить категорию процесса можно по раз ности текущих и начальных координат расчетных точек; при немо нотонном процессе эта разность для всех точек будет одинакова, при монотонном — неодинакова. Различать эти процессы на пер вых этапах исследования необходимо не только потому, что функ циональная связь между напряжениями и деформациями раз лична, но и потому еще, что при односдвиговом процессе дефор мации определяются единственной характеристикой — углом сдвига у. Поэтому, если процесс заранее характеризуется как односдвиговый, то в этом случае достаточно определить только у. Напряжения при известной зависимости ог— et определяются формулами (8.32) и (8.33).
РАЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
Н Е К О Т О Р Ы Е Х А Р А К Т Е Р Н Ы Е В И Д Ы С М П Д
Глава 9. ИЗГИБ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ЛИСТОВ
1. О конечном пластическом изгибе
Наряду с растяжением, сжатием и сдвигом важную роль в тех нике играет изгиб, в частности листовой.
Задачу листового изгиба можно рассматривать как задачу плоской деформации, поскольку опыт показывает, что никаких изменений расстояний между точками на поверхностях изгибае мого листа (не слишком близко расположенными от торцевых кромок этого листа) в направлении ребра гиба не наблюдает'ся.
Если мы нанесем каким-либо способом на поверхностях изги баемого листа сетку (например, типографским способом, т. е. не перерезая поверхностных волокон), то при самых точных измерениях размеров ячеек сетки в направлении ребра гиба удается обнаружить изменения этих размеров за сче деформации только для тех ячеек, которые расположены от торцевых срезов листа на расстояниях меньших, чем толщина данного листа.
Таким образом, в том случае, когда размер изгибаемого листа ’ в направлении ребра гиба в несколько раз превышает его толщину, мы имеем полное право считать деформацию в этом направлении равной нулю и ограничимся только рассмотрением изменений рас стояний между материальными точками, распоженными в одной и той же плоскости, перпендикулярной ребру гиба.
Задаче пластического изгиба, в частности пластического изгиба листа, было посвящено отнпсительно много исследований (Безухов* Ильюшин, Мошнин, Ренне, Прудников, Надаи, Хилл и др.).
Большинство авторов этих трудов рассматривают в основном случай так называемого кругового изгиба. Это означает, что ими принимались следующие допущения: во-первых, строгая концен тричность наружной (выпуклой) поверхности рассматриваемой части листа ее внутренней (вогнутой) поверхности; во-вторых, свобода этих поверхностей от воздействия внешних сил; в-третьих, что материальные элементы, расположенные в рассматриваемой стадии процесса изгиба на общей нормали к поверхностям листа (в рассматриваемой его части) и во всех предшествующих стадиях процесса также располагаются на общей нормали к поверхности листа.
При этих условиях главные оси напряженного состояния можно было считать неизменно совпадающими с определенными тремя направлениями, а именно: 1) с направлением ребра гиба; 2) с на правлением общей нормали к поверхностям листа, которое усло вились называть радиальным; 3) с направлением, перпендику лярным первым двум, которое условились называть тангенци альным. Три нормальных напряжения: аг (в направлении ребра гиба); аг (в направлении радиальном), ае (в направлении танген циальном) являются главными напряжениями, а их значения зависят только от одной координаты г. Казалось бы на первый взгляд задача кругового гиба листа является простейшей задачей плоской пластической деформации в полярных координатах. Действительно, ее решение сводится к интегрированию простого дифференциального уравнения (условие равновесия):
deг |
_ ffe — Gг |
|
(9.1) |
|
dr |
г |
’ |
||
|
||||
где разность <т0 — аг задана |
равенством |
|
||
(3/4) (оге — <тг)*= |
о? |
(9.2) |
||
(условие пластичности)..
Тем не менее при решении этой задачи возникают существенные затруднения. Прежде всего оказывается различной индексация главных напряжений в различных слоях изгибаемого листа: вблизи наружной (выпуклой) поверхности размеры материальной частицы увеличиваются в тангенциальном направлении и умень шаются в радиальном: вблизи внутренней (вогнутой) поверхности размеры данной частицы уменьшаются в тангенциальном на правлении и увеличиваются в радиальном. Таким образом, из гибаемый лист можно разделить по толщине на две зоны: на зону, где на данной стадии процесса гиба материальные волокна удли няются в тангенциальном направлении, и зону, где волокна уко рачиваются в тангенциальном направлении.
Радиус границы этих двух зон условимся называть радиусом нейтрального слоя по скорости деформации и обозначать ps. При переходе из одной зоны в другую изменяются знаки главных компонентов скорость деформации, а следовательно, изменяется и их индексация.
Из теории пластического течения изотропных и квазиизотропных твердых тел известно, что главные оси напряженного состоя ния, как правило, совпадают по направлению и индексу с глав ными осями скорости деформации.
Если пренебречь деформациями упругой разгрузки, происхо дящей при изменении знака главных компонентов скорости дефор мации, то можно считать, что совпадение главных осей напряжен ного состояния по направлению и индексу с главными осями ско рости деформации имеет место во всем объеме деформируемого тела.
Принимая общепринятую индексацию главных компонентов
скорости |
деформации |
и |
главных |
напряжений |
ех ^ |
еа ^ е3; |
|||||
<Ti 5 * с 2 Ss о8, при г> р0 имеем 69 = |
^ |
> 0 |
(волокно в |
данный |
|||||||
момент удлиняется), е2 = 0 |
= е2 и |
гг = |
е8 |
< 0 , |
следовательно, |
||||||
ов — а, = сх — о8 > 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При г < р0 ев = |
е8 < |
0 |
(волокно в |
данный |
момент |
укора |
|||||
чивается) и er = 8j |
> |
0 , |
следовательно, |
а0 ■— аг = а3 — о2 < 0 . |
|||||||
Итак, |
затруднение |
при |
анализе |
изгиба |
листов заключается |
||||||
в определении значения |
р0. |
в необходимости |
учитывать |
||||||||
Вторая |
сложность |
заключается |
|||||||||
при анализе процессов изгиба металлических листов в холодном состоянии явление деформационного упрочнения, т. е. учитывать
переменность |
значения интенсивности |
напряжений |
по ра |
диусу. |
учетом деформационного |
упрочнения |
выявилась |
В связи с |
необходимость определения радиуса г — р нейтрального слоя по итоговой деформации, т. е. расстояния до центра кривизны того слоя, размеры материальных частиц которого в данный момент равны своим первоначальным значениям. Это не значит, конечно, что частицы, расположенные в данный момент в нейтральном слое, по итоговой деформации вообще не претерпели никакой деформа ции: частицы эти в самом начале процесса изгиба укорачивались в тангенциальном направлении и удлинялись в радиальном, а затем уже начали удлиняться в тангенциальном направлении и укорачи ваться в радиальном, и к данному моменту снова приняли ту форму, которую они имели до деформации.
Как мы убедимся ниже, определение радиуса р нейтрального слоя по итоговой деформации не вызывало бы затруднений, если бы толщина изгибаемого листа оставалась неизменной в процессе изгиба. Однако, как показывает опыт, металлический лист при круговом изгибе обычно несколько утоняется. Определение зна чения этого утонения и является третьим затруднением в задаче анализа кругового изгиба листа. Некоторые исследователи (Ренне, Мошнин и др.) пытались установить функциональную зависимость отношения (s0 — s)/s„ на данной стадии процесса изгиба от отно шения sJrB, характеризующего эту'стадии!. В связи с этим по данному вопросу возникали дискуссионные разногласия. Однако впоследствии оказалось, что задача нахождения функциональ ной связи относительного утонения (s0 — s)/s0 с отношением исход ной толщины листа s0 к радиусу гв его вогнутой (внутренней) по верхности (в данной стадии процесса изгиба) вообще неразрешима вне зависимости от механических свойств материала изгибаемого листа. Так, если материал изгибаемого листа обладает резко выра женным свойством деформационного упрочнения (отношение ов/ат велико), то лист этот утонится при изгибе значительно больше, чем при соответственно том же значении отношения s0/rB утонился бы лист из материала с менее выраженным свойством
2 0 4
деформационного упрочнения (если значение ав1ат немного пре вышает единицу).
Таким образом, допущение о существовании функциональной связи относительного утонения (s0 — s)/s0 с отношением s0/rB, которую можно было бы (хотя бы приближенно) считать одной и той же при любом материале листа, оказалось не соответствую щим действительности.
Задачи по изгибу листа в штампах и по изгибу балок различ ного сечения, т. е. когда мы имеем дело с конечной, а не с малой деформацией, еще недостаточно разработаны и освещены в лите ратуре. На практике при их решении обычно прибегают к самым разнообразным приемам полуэмпирического характера.
Кроме этого, практическое значение решения задачи круго вого конечного изгиба заключается еще в том, что благодаря дан ному решению, мы получаем возможность определить приближен ную величину механической работы, затрачиваемой на любую опе рацию листовой гибки, а также величину той предельной кривизны, которую можно придать листу при гибке в холодном состоянии.
2. Геометрическая сторона задачи конечного кругового изгиба листа
При анализе конечного кругового изгиба листа примем сле дующие упрощающие допущения (кроме тех, которые были при няты выше при определении понятия о круговом изгибе): во-пер вых, будем пренебрегать упругими слагаемыми деформации и, во-вторых, будем считать изменение объема любой материальной частицы в процессе деформации равным нулю.
Пусть' А'А"Б"Б' — сечение, перпендикулярное ребру гиба рассматриваемой частицы изгибаемого листа, ограниченной двумя плоскостямиЛ'Б' и А"Б", проходящими через общую для наруж ной поверхности (А'А") и для внутренней поверхности (Б'Б") линию центров кривизны О (рис. 37).
До деформации это сечение имело форму прямоугольника сЬ сторонами
Д> Б'0 = AQBQ— s0; AQAQ= БоБо — lo-
Принимая во внимание равенство нулю компонента деформа ции в направлении ребра гиба и неизменность объема, убеждаемся в том, что площадь рассматриваемого сечения останется неизмен ной в процессе деформации.
При обозначениях, принятых на рис. 37, имеем |
|
0.5 (г„Ф + гвф) (гн - гв) = /л . |
(9.3) |
Вводя обозначение |
|
r » - r B= s |
(9.4) |
205
(s — толщина Листа в рассматриваемой стадии деформации из гиба), получаем
rJ2 + rJ2 = (/0/ф) (s0/s). |
- - |
(9.5) |
Решая систему двух уравнений (9.4) и (9.5) относительно пере менных в процессе изгиба радиусов кривизны ги и гв, имеем:
1р |
So |
^ 2 |
\ |
|
|
( 9 .6 ) |
ф |
S |
|
|
|||
|
|
|
||||
/о |
So |
S |
|
|
|
( 9 .7 ) |
ф |
s |
2 |
* |
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть I — длина тангенциального |
материального |
волокна |
||||
В'В", располагавшегося до деформации на |
расстоянии у |
от той |
||||
|
|
поверхности листа, |
которая |
|||
|
|
в процессе изгиба стала во |
||||
|
|
гнутой |
(внутренней). |
Тогда |
||
|
|
в силу неизменности площади |
||||
|
|
В'В”Б*Б', имеем |
|
|
||
|
|
0,5 (/ + гв<р) (г — гв) = |
/0г/, |
|||
Рис. 37. Сечение материальной |
частицы изгибаемого лис'га |
|
||
в |
плоскости, |
перпендикулярной |
ребру гиба: а — после де |
|
|
|
формации; б — до деформации |
|
|
НО |
|
г = //<р. |
(9.8) |
|
|
|
|||
После |
преобразования можем |
написать |
|
|
|
|
/2 = 'вф2 + |
2/0г/ф. |
(9.9) |
Подставляя в равенство (9.9) вместо г„ его выражение |
(9.7), |
|||
получаем |
|
|
|
|
|
** = |
( ^ ) 2+ ( ^ ) V / O<P(2* /-S O). |
(9.10) |
|
* Выясним, удлиняется ли волокно В'В" в данной стадии про цесса или укорачивается. Заметим при этом, что из всех величин, входящих в правую часть равенства (9.10), могут изменяться две
206
величины, а именно <р и толщина изгибаемого листа s, которая мо жет изменяться по мере увеличения <р.
Дифференцируя равенство (9.10) по <р, получаем
21 |
dl |
+ |
(9.11) |
|
d(р |
|
|
Если бы оказалось, что правая часть равенства (9.11) положи тельна, то это означало бы, что волокно В'В" в данной стадии де формации удлиняется; если бы оказалось, что правая часть равен
ства (9.11) |
отрицательна, то это значило бы, что волокно В'В* |
в данной |
стадии укорачивается. |
Наконец, если бы мы так выбрали значение у — у0 — исход ного расстояния у от поверхности изгибаемого листа, которая
впроцессе изгиба становится вогнутой, что правая часть равен ства (9.11) на данной стадии процесса (при данном ф) обратилась бы
внуль, то это означало бы, что на данной стадии деформации мате риальное волокно В'В" не удлиняется и не укорачивается, т. е. что оно совпадает с радиусом р„ нейтрального слоя по скорости деформации. В этом случае мы имели бы
|
{ |
52фа __ п |
« |
^ |
1 |
ds |
(9.12) |
UCHh-sù + Q - i \ |
2 |
sa |
) |
s |
Лр |
||
Поскольку при у = |
yv г = Pt,, то в силу |
равенства (9.8) |
/ = 10 = |
||||
= р0ф и равенство (9.10) принимает вид |
|
|
|
|
|
||
p V = |
( - ^ ) 2+ |
( - J ) 2+ / O< P (2 ^ - S„). |
(9.13) |
||||
Исключая из равенств (9.12) и (9.13) выражение 10 (2yv — s0), после несложных алгебраических преобразований имеем
Принимая во внимание равенства (9.4) и (9.5), получаем
e |
S |
~ |
V |
. ( |
l + |
2 |
i |
^ |
- |
Равенство (9.14) является одной из основных зависимостей теории кругового изгиба листа, выводимых из чисто геометричес ких (кинематических) соображений, вне зависимости от силовой картины явления. Из этого равенства мы видим, что в том случае, когда утонением листа можно-пренебречь, радиус нейтрального слоя по скорости деформации (или «по напряжениям») может быть определен известным уравнением
Р» = V B- |
(9.14а) |
Необходимо, однако, отметить, что в том частном случае, когда удовлетворено равенство (9.14а), утонение при изгибе не должно
207
иметь места, поскольку разность рI — гнги могла бы быть равна
нулю |
только когда |
= 0, т. е. когда толщина листа не изме |
няется |
в процессе изгиба. |
|
Перейдем теперь к определению выражений интенсивности итоговой деформации на поверхностях (выпуклой и вогнутой) изгибаемого листа.
При г — гн на выпуклой поверхности (см. рис. 37) мы получаем выражение компонента итоговой деформации в тангенциальном направлении
|
е1Н= |
еен = In - ^ > |
0 (так |
к ак |
фгн> |
/ 0). |
|
При |
плоской деформации |
|
|
|
|
|
|
|
„ |
2 |
2 |
|
|
2 , |
флн |
|
S' “ |
T 5 8. " ‘ '■“ |
7 5 s,“ = |
7 5 ln' V - |
|||
При г — га на вогнутой поверхности |
|
|
|
|
|||
|
езв = |
е0в = 1 п ^ !-< О (так как |
<ргв< / 0); |
||||
е3в = |
—е1в (плоская деформация), и |
|
|
|
|||
|
|
2 |
2 |
In |
h |
|
|
|
|
jA3 8lB |
VI |
|
ф/в * |
|
|
Итак, мы получили выражения |
интенсивности деформации |
||||||
на поверхностях |
изгибаемого |
листа |
|
|
|
|
|
|
eÎH— |
|
|
|
Гвф |
(9.15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично получаем выражение интенсивности итоговой де формации при Г = Рг,
/
(9.16)
Риф
Продифференцируем оба равенства (9.15) по ф и примем во внимание равенства (9.5)—(9.7), (9.14), а также равенства, полу чаемые в результате дифференцирования по ф равенств (9.6) и (9.7). После ряда несложных преобразований получим
1 |
(f&iв |
1 |
(9.17) |
dq> • П |
У |
|
Заметим далее, что в силу равенств (9.15) и (9.6) можно написать
рУг*п = |
е“ ^ (е'н+8/о); |
(9 .18) |
р ^ = |
е/3 (е*в-8Ч |
(9.19) |
Подставляя выражения (9.18) и (9.19) в равенства (9.17), имеем
Разделив почленно второе из этих равенств на первое, получаем после несложных алгебраических преобразований
<fe|B |
e^3e,B_ e ^ e ,0 |
|
de,-H |
(9.20) |
|
— е— ^ |
||
|
Равенство (9.20), как и равенство (9.14), вьшодится из чисто геометрических зависимостей, но этого равенства еще недоста точно, чтобы определить все необходимые геометрические пара метры задачи кругового изгиба листа, поскольку оно связывает три переменных в процессе деформации величины: е/н, е(В и ei0.
Функциональную связь двух из этих величин с третьей, кото рую можно было бы принять за аргумент, нельзя получить вне за висимости от силовой картины явления, от способности данного материала выявлять пластическую деформацию и ей сопроти вляться, от механических характеристик этого материала.
Однако, как мы увидим при рассмотрении силовой картины кругового изгиба листа, для любого материала (механические характеристики которого известны) можно получить еще одну зависимость вида
F (е1Н, е/в, ei0) = 0, |
(9.21) |
связывающую те же три переменные во времени величины, как и равенство (9.20), а именно stH, е,в, е(0.
Если бы мы приняли одну из этих переменных за независимый аргумент, а две другие за искомые неизвестные, то могли бы, решая совместно систему двух уравнений (9.20) и (9.21), определить функциональные зависимости этих двух неизвестных переменных от той переменной, которую приняли за аргумент. Для этого, однако, следует знать, в каких пределах может изменяться зна чение этого независимого аргумента для данного материала.
Установить возможные пределы значений переменных е/в и 8(Ч) было бы, по-видимому, весьма трудно без того, чтобы не ре шить совместно системы уравнений (9.20) и (9.21). Зато установить пределы возможных значений переменной е{„ можно без затрудне ний для любого материала. В самом деле круговой изгиб листа воз можен до тех пор, пока не начнут появляться на его поверхности трещины разрушения.
Опыт показывает, что трещины всегда появляются на наруж ной (выпуклой) поверхности изгибаемого листа при значениях е,н, определяемых приближенным равенством
(е<н)шах ^ 0>5 In j |
-т-0,6 In j .ф, |
(9.22) |
где ф— относительное поперечное сужение в шейке испытываемого на растяжение образца кругового сечения при разрыве. Таким об
разом, возможные значения переменной в,н ограничены |
пределами |
0 < 8 /н<0,61п-г ^ . |
(9.23) |
Эго обстоятельство позволяет нам принимать переменную е1Нза независимый аргумент, изменяющийся в определенных (для данного металла) пределах (9.23), а переменные е1в и г1о рассма тривать как искомые функции аргумента е/н, значения 'которых, соответствующие любому значению аргумента (в заданных пре делах), могут быть получены в результате совместного решения системы уравнений (9.20) и (9.21). В этом случае можно было бы составить таблицу значений ег„, е/в, е,0 и, пользуясь ею, опреде лить любую возможную длй данного металла комбинацию значений этих величин.
Покажем, что для любой такой комбинации можно было бы также вычислить значения отношений rB/s„; r„/s0; р0/s0; рvls0 и s/s0. Заметим, что радиус р нейтрального слоя по итоговой де формации, т. е. того слоя, который в итоге всей предшествующей деформации не удлинился и не укоротился в тангенциальном на
правлении, |
определится |
равенством |
|
|
|
|||||
|
|
РФ = |
/0, |
т. е. |
р = |
/0/ф. |
|
(9.24) |
||
Из |
равенств |
(9.15), (9.16) |
и |
(9.24) |
получаем: |
|
||||
|
|
/з |
|
|
/з |
|
|
/з |
|
|
X |
= |
ре 2 е‘н; Гв = ре |
2 |
8,'в; |
р0 = ре 2 8г°. |
(9.25) |
||||
|
Далее заметим, что при обозначении (9.24) равенство (9.3) |
|||||||||
может быть приведено к виду |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0,5(r2„ |
- r 2B) = pSo. |
|
(9.26) |
|||||
|
После подстановки в левую часть этого равенства выражений |
|||||||||
(9.25) и алгебраических |
сокращений имеем |
|
||||||||
|
|
р |
|
|
|
2 |
|
|
|
(9.27) |
|
|
|
|
е/§8;н _ е ~ /з"е;в |
|
|
||||
|
Принимая во внимание равенство (9.27), можно привести ра |
|||||||||
венства (9.25) к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
у±е. |
|
|
|
|
|
|
гн |
_ |
|
2е |
2 |
<н |
|
|
(9.28) |
|
|
So |
|
е/3 е ;н _ |
е- / 3 е . в |
’ |
||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
VI |
|
|
|
|
|
|
гв _ |
|
2е |
|
2 8,8 . |
(9.29) |
|||
|
|
So ~ |
е ^ Ц „ _ е“ ^ в |
’ |
||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
У'3 с |
|
|
|
|
|
|
jPo_ „ |
|
2е |
|
2 |
|
|
(9.30) |
|
|
|
е У з Ч н - е - ^ .в ' |
||||||||
|
|
So |
|
|
||||||