книги / Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов

отдельных его частиц, где оказываются удовлетворенными оба условия монотонности. Более того, опытные данные говорят о том, что зависимость (3.8) может быть применена при определении интенсивности напряженного состояния даже весьма значительно, но вместе с тем монотонно, пластически деформированных частиц формоизменяемого тела. Однако при этом интенсивность резуль­ тативной деформации вычисляется по формуле (1.20), в правую часть которой входят главные компоненты результативной де­ формации, представленные в логарифмическом виде.

В литературе встречались и теперь еще встречаются попытки некоторых исследователей экспериментально «доказать» неосу­ ществимость для металлов обобщенной, т. е. независящей от вида деформации, функциональной связи (3.8). Обращаясь, как пра­ вило, к сопоставлению двух не сопоставимых процессов: пласти­ ческого растяжения (монотонный процесс) с пластическим кру­ чением (немонотонный процесс), т. е. не учитывая характера протекания деформации, эти исследователи, естественно, не могут прийти к правильному объяснению полученных ими результатов эксперимента.

Подставляя выражение (3.8) в правые части равенств (3.26), получаем:

(3.27) В правые части равенств (3.27) не входит никаких других

получаемых из формул (1.20) с учетом условия несжимаемости (1.37).

Формулы (3.27) после подстановки в них выражения (2.7) могут быть приведены к несколько иному по написанию виду, в некоторых случаях ' более удобному:

По значениям главных компонентов итоговой деформации нельзя определить суммы главных напряжений. Однако, зная для данного материала функциональную зависимость (3.8) и определив значение е(- по любой из формул (3.28), можно вычис-

заданных размерах до и после деформации) в целях его конечного формоизменения.

В заключение следует отметить, что если на начальных эта­ пах развития теории приближенных (инженерных) методов рас­ чета к вопросу об определении напряженного состояния пласти­ чески деформируемого тела подходили при решении подавляющего числа задач в известной мере формально по значению результа­ тивной деформации, то в настоящее время можно судить о напря­ женном состоянии тела и о необходимых для формоизменения внешних силах по интенсивности результативного формоизме­ нения, а также по величине его компонентов — лишь при условии монотонного или приближенно монотонного протекания процесса.

Допущение монотонности протекания процесса деформации и непосредственную увязку напряжений с деформациями, не только весьма малыми, но и конечными (не вводя в рассмотрение компонентов скорости деформации) можно признать практически приемлемыми при теоретическом анализе операций листовой штамповки, гибки и некоторых других технологических опера­ ций обработки металлов давлением в холодном состоянии.

19. Графические приемы определения разностей главных напряжений

по значениям главных деформаций

Мы убедились (см. п. 18 гл. 3), что в случае монотонного про­ цесса деформации всегда можно по заданным значениям главных логарифмических деформаций вычислить значения разностей главных напряжений. Для этого следует, во-первых, вычислить значение интенсивности главных логарифмических деформаций по любой из формул (3.28), во-вторых, найти по кривой at —» ег для данного материала значение <т( = Ф (е,) и после этого вы­ числить значения разностей главных напряжений либо при по­ мощи формул (3.27), либо при помощи формул (3.29).

Понятно, что все эти вычисления не связаны с какими-либо принципиальными затруднениями, однако если бы они оказались громоздкими, то их можно было бы заменить относительно не­ сложным графическим построением. С примером такого типа построений мы уже познакомились в гл. 2. Тогда мы ставили перед собой задачу по заданным значениям главных напряжений оп­ ределить вид и интенсивность напряженного состояния: по из­

направление, характеризующее вид напряженного состояния. Тем же построением можно было бы воспользоваться, если бы пришлось решать обратную задачу, т. е. например, если бы нам был известен -4 ф — 30°), составляемый направлением отрезка CD с прямой СН, на которой должна расположиться точка N, деля­ щая пополам искомый отрезок АВ (рис. 14), и была известна

Сопоставляя это равенство с равенством (3.34), приходим к за­ ключению, что 'ZGCD' — р и <$D'GS — 60° — Р, и в таком случае получаем

для данного материала. Следовательно, мы можем отложить отрезок CD на прямой ÇD' и таким образом определить положе­ ние точки D на графике.

Проведя через точку D прямую, перпендикулярную СН, получим точки Л и Б и можем измерить длины отрезков AD — = а 2 — а 3 и DB — ог — о 2.

Таким образом, зная значения главных логарифмических деформаций »! = In (pj/po) и е3 = In (рэ/ро). можно путем не­ сложного графического построения (в случае монотонного про­ цесса) определить значения разностей главных напряжений. Однако на практике (например, в результате измерения ячеек искаженной деформацией сетки или измерения осей эллипса преобразованного деформацией из предварительно нанесенной на поверхности испытуемого тела круговой риски) нам известны не значения главных логарифмических деформаций, т. е. не значения натуральных логарифмов отношений pjpo, р2/р0 и р3/р0, а значения самих этих отношений.

Определение значений натуральных логарифмов чисел в прак­ тических расчетах может представить некоторое затруднение. Попробуем его обойти. Мы уже видели, что при малых деформа­

Однако такая замена уже при значениях относительного удлинения порядка (15-4-20) % приводит к существенной неточ­ ности. Покажем, что в этих случаях можно с успехом пользоваться формулой

Эта формула дает незначительную погрешность даже в тех случаях, когда деформацию нельзя считать малой. Так, при Рх/Ро = 1,20 (20% относительное удлинение)

In (Рх/Ро) = 0,1823, а 2 (рх — р0)/(р1 + р0) = 0,1818.

При том же значении отношения рх/р0 относительная погреш­

т.е. почти 10%, что могло бы оказаться недопустимым.

Втех случаях, когда мы имеем дело с относительными удли­ нениями и укорочениями порядка 20% и меньше, нет никакой надобности находить значения натуральных логарифмов отношений Рх/Ро и ро/ра, а можно определять расстояния точек G и S от прямой СН, полагая

основания считать монотонной (т. е. идеально однозначной), про­ порциональность разностей главных напряжений соответствующим разностям главных логарифмических деформаций в общем слу­ чае не имеет места.

Тем не менее и в этом случае, если удовлетворено хотя бы только первое условие монотонности, то для приближенного опре­ деления разностей главных напряжений рассматриваемой частицы в различных стадиях процесса ее конечного формоизменения вполне возможно пользоваться графическим построением, при­ веденным на рис. 15.

С этой целью расчленим весь этот процесс на несколько пере­ ходов и произведем измерения размеров ячеек предварительно нанесенной сетки после каждого перехода. Таким образом, мы получим возможность определить значения е1т, е2т, е3т глав­ ных компонентов деформации, происходящей при m-м (по порядку) переходе.

Отметим на графике (см. рис. 15) точки G и S, расположен­ ные на прямых CG и CS, составляющих с прямой СН углы 30° (в обе стороны), так, чтобы расстояние точки G до прямой СН было 0,5. вш , а расстояние точки S до той же прямой СН было 0,5 |e Sm|, определим графически положение точки D '. Для этого восстановим перпендикуляр GD' из точки G к прямой CG и пер­ пендикуляр SD' из точки S к прямой CS. Искомая точка D' окажется точкой пересечения этих двух перпендикуляров. Со­ единив точку D' с точкой С, получим длину отрезка CD', численно равную (в масштабе деформации) интенсивности гш деформации, претерпеваемой рассматриваемой частицей при m-м по порядку переходе процесса формоизменения этой частицы в m-ю стадию из предшествующей относительно близкой (т — 1)-й стадии.

Понятно, что величина гш не может служить критерием степени деформации, которую должна была претерпеть частица к мо­ менту данной т-й стадии процесса ее формоизменения, и по ее значению нельзя найти соответствующее значение интенсивности ot напряженного состояния.

Приближенное значение степени деформации et = eim данной частицы в т-й стадии ее формоизменения (т. е. после т-то пере­ хода) может быть определено как арифметическая сумма интен­ сивностей малых (или относительно малых) деформаций, на ко­ торые мы расчленили весь процесс формоизменения, предшест­

вующий рассматриваемой ста­

—1)-го перехода, а г1т— интенсивность деформации m-го перехода. Для первого перехода ег = еп = е(1.

Заметим, что кривую зависимости о{от ег, полученную для дан­ ного материала, можно при монотонных процессах деформации рассматривать как приближенную (обобщенную) зависимость at от степени деформации е{ во многих случаях процессов, не удов­ летворяющих условиям монотонности. Поэтому по значению eimпри наличии кривой <гг —♦ et можно найти значение аи т. е. опреде­ лить длину отрезка CD = оI (в масштабе напряжений). Совместив направление отрезка CD с направлением CD' , определим поло­ жение точки D на графике, а затем, проведя через точку D пря­ мую, перпендикулярную прямой СН, найдем точки А и В пере­ сечения ее с прямыми CGnCS. Таким образом, определятся зна­ чения разностей главных напряжений DB = — а 2 и AD = = а 2 — о3 в любой m-й (по порядку) стадии рассматриваемого процесса деформации.

Пример. Рассмотрим случай экспериментального анализа напряженнодеформированного состояния поверхностного слоя цилиндрического образца стали 35Х при обжатии его в торец плоскопараллельными бойками. В средней по высоте части цилиндра предварительно наносится прямоугольная сетка. Раз­ мер ячейки такой сетки в направлении, перпендикулярном оси обжимаемого цилиндра, обозначим а, а размер этой ячейки в направлении, параллельном оси, обозначим b (рис. 16).

Пусть а 0 и Ь0 — исходные значения размеров а и Ь, ат и Ьт — значения этих размеров в от-й (по порядку) из рассматриваемых стадий процесса обжатия и, наконец, aOT_j и bm-i — значения их в предшествующей (от—1)-й стадии.

Замечаем, что направление размера а ячеек сетки всегда совпадает с направ­ лением наиболее быстрого удлинения материальных волокон соответствующей частицы металла (диаметр цилиндра при обжатии всегда увеличивается), тогда как направление размера bдолжно совпадать с направлением наиболее быстрого укорочения материальных волокон. Следовательно, значения двух главных

По данным табл. 1 построены кривые изменения напряжений вдоль контура сечения по бочке испытуемого обжатием цилиндра (d0= 20 мм, Л0 = 32 мм) по мере увеличения диаметра бочки (рис. 17).

кгс/мм2

Рис. 17. Кривые изменения напряжений I и II на поверхности «бочки» по мере увеличения диаметра при обжатии цилиндра в торец

20. Показатель жесткости схемы напряженного состояния

В литературе [82, 13, 601 предложено несколько таких пока­ зателей, но, как показывает опыт, наиболее удобным для практи­ ческого применения является коэффициент жесткости, предло­ женный Г. А. Смирновым-Аляевым

стали получено несколько различ­ ных значений степени деформации, соответствующих началу разрушения при различных коэффициентах жесткости; их за­ висимость показана на рис. 18.