книги / Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов

быть совмещена с нормалью к поверхности, восстановленной из точки С (ось CY'). Вторая ось СХ' должна быть при этом направ­ лена по касательной к сечению поверхности листа плоскостью, перпендикулярной ребру изгиба. Исходные координаты точки М относительно переносной системы координат Х'СУ' обозначены на рисунке большими буквами X', У', а текущие координаты этой точки — малыми буквами х', у'.

Итак, любая материальная точка деформируемого тела, коор­ динаты которой в исходном состоянии этого тела были X, Y, Z, после деформации примет некоторое новое положение относи­ тельно выбранной координатной системы (условно-неподвижной или переносной). При этом координаты рассматриваемой точки примут новые значения х, у, z, которые мы называем текущими координатами.

Принимая во внимание,’ что процесс деформации происходит во времени, полагаем, что текущие координаты суть координаты геометрической точки, с которой совмещается в данный момент рассматриваемая нами материальная точка.

Понятие о текущих координатах по существу тождественно понятию о переменных Эйлера в механике сплошных сред, а по­ нятие о начальных координатах может быть отождествлено с по­ нятием о переменных Лагранжа. Любому заданному положению материальной точки в теле до деформации соответствует вполне определенное положение ее в деформируемом теле в данной ста­ дии процесса его деформации.

Следовательно, любой совокупности значений исходных коор­ динат X, У, Z (удовлетворяющих неравенствам, ограничивающим начальные габариты данного тела) в данный момент времени (например, в конечный момент протекания деформации) соответ­ ствует вполне определенная совокупность значений текущих координат х, у, z.

Таким образом, должна существовать однозначная функцио­ нальная зависимость текущих координат от координат начальных

г= ф8(Х, У, Z, t).

Всвою очередь, каждая материальная точка в деформируемом теле имеет определенное положение до деформации, и, следова­ тельно, исходные координаты зависят функционально от текущих координат и времени:

где х, у, г ограничены некоторыми неравенствами, определя­ ющими форму поверхности деформируемого тела в данный момент времени t.

Функциональные зависимости (1.1) и (1.2) не независимы. Во-первых, зависимости эти взаимно однозначны в определенных границах изменения своих аргументов. Во-вторых, в результате подстановки выражений (1.2) в равенства (1.1) мы должны полу­ чить тождества. В-третьих, функции эти непрерывны и имеют ко­ нечные значения частных производных по своим аргументам, если мы имеем в виду изучение деформации, не сопровождающейся разрушением. При отсутствии разрушения, т. е. нарушения сплошности, две материальные точки, которые были расположены до деформации на малом расстоянии друг от друга, и в деформиро­ ванном теле окажутся также на малом расстоянии друг от друга, хотя и отличном от первоначального.

При этом отношение расстояния между заданной парой сосед­ них материальных точек в деформированном теле к первоначаль­ ному между ними расстоянию, будучи в общем случае отличным от единицы, все же должно быть конечным (не бесконечно боль­ шим и не бесконечно малым). В частном случае малых деформа­ ций отношение это предполагается отличающимся от единицы на величину, малую по сравнению с единицей, во всяком случае достаточно малую, чтобы в пределах требуемой точности можно было пренебречь ее квадратом.

3. Малая деформация

Деформацию называют малой, если предполагается практи­ чески безразличным, отнести ли приращение расстояния I—/0 между заданной парой материальных точек к первоначальному расстоянию /ф между ними или же к значению / этого расстояния после деформации.

Это значит, что можно написать приближенное равенство

l - h - J - h

h

Так, если мы рассчитываем на получение размеров деформи­ руемого тела с точностью до 1%, то можем считать малой де­

формацию в том случае, когда относительное приращение расстоя­ ния между любой парой материальных точек не превосходит при­ мерно 10%, т. е.

- Ц ^ < 0 ,1 0 и ( i z ^ ) 2 < o ,o i « 1 % ) .

Если же мы претендуем на большую точность, например хотим вычислить размеры деформируемого тела с точностью до 0,2%, то приходится считать малой деформацию в том случае, когда изменения расстояний между соседними материальными точками не превышают 4%, т. е.

Выберем в некоторой частице деформируемого тела на пря­ мой заданного направления две материальные точки М и М и расположенные друг от друга на небольшом расстоянии /, и до­ пустим, что до деформации расстояние между этими точками было /0. В зависимости от выбранного направления величина относительной деформации

будет меняться. Заметим, что если рассматриваемая частица формоизменяемого тела претерпевает за счет деформации только малые относительные изменения линейных размеров в любом направлении, то и угловые размеры такой частицы могут только незначительно меняться.

Пусть направление прямой, соединяющей в деформируемом теле материальные точки М и М х, задано косинусами углов, составляемых этим направлением с осями принятой (условно­ неподвижной) системы координат, и пусть апх, апу, ап2 — эти косинусы. В таком случае при значениях х, у, г текущих коорди­

переменны по объему деформируемого тела, т. е. различны для различных его материальных точек, не только удаленных друг от друга, но и соседних, расположенных в пределах некоторой достаточно малой части или частицы тела, деформацию которой

Zx = Z + l*nz - 1( 4g- a„, + *L ) .

Когда изменения формы всего тела малы, то условно-непо­ движная система координат может быть выбрана так, чтобы со­ ставляющие их, иу, и2 вектора перемещения любой материальной точки были малы по сравнению с размерами самого тела, а про­ изводные этих составляющих по координатам были малы по сравнению с единицей.

В таком случае, определяя выражение квадрата исходного расстояния между точками М и М х и пользуясь при этом равен­ ствами (1.5) можно пренебречь квадратами малых величин и по­

ИЛИ

Значение относительного удлинения е„ определяется в зави­ симости от производных перемещений по координатам равенством

(1.6)

Пользуясь этим-равенством, можно вычислить относительные удлинения (или укорочения) различно направленных волокон рассматриваемой частицы деформируемого тела. Так, если вы­ бранное направление оси ОХ параллельно принятой условно-

Малую деформацию любой данной частицы тела можно опре­ делить значением шести величин:

Выражения (1.7) называют компонентами малой деформации по отношению к принятой системе координат. Выражения ехх, еуу, е22 служат мерой относительных изменений за счет деформа­ ции длин отрезков, соединяющих пару материальных точек рас­ сматриваемой частицы, в том случае, когда эти отрезки направ­ лены параллельно (или приближенно параллельно) координатным осям. Эти выражения положительны, если точки удаляются друг от друга и отрицательны, если приближаются.

Выражения уху, ууг и угх служат мерой изменения углов между двумя параллельными отрезками, соединяющими пары материальных точек рассматриваемой частицы, в том случае, когда эти два отрезка совпадают (точно или приближенно) с двумя прямыми, параллельными двум координатным осям.

Поясним сказанное на простейших примерах. Разделим мыс­ ленно деформируемое тело на мелкие кубики плоскостями, про­ веденными на равных друг от друга расстояниях параллельно координатным плоскостям. Предположим при этом, что размеры каждого отдельного кубика достаточно малы, чтобы можно было

полагать такой кубик целиком расположенным внутри некоторой части тела (или частицы), деформация которой в пределах прак­ тической точности однородна. В таком случае все параллельные ребра кубика и его параллельные грани должны были быть друг другу параллельны и до деформации.

рассматриваемой частицы в направлении оси ОХ зависит от координаты х не нуль^. Итак, если точка А переместилась

за счет деформации в направлении оси ОХ на величину их1, то точка Б должна была переместиться на другую величину, а именно на величину

. ди*

UX2= Uxi -j gj- й .

Начальные координаты материальной точки А (т. е. координаты

аа= Х л- Х 1 = а - ^ - а ^ о ( 1 - ^ ) .

Относительное удлинение материального отрезка АБ, направлен­

[см. (1.7)].

Переходя ко второму частному случаю, допустим, что пере­ мещения материальных точек рассматриваемой частицы (внутри которой расположился выделенный нами в деформированном теле кубик) в направлении оси OZ не зависят от координат х и у, т. е.

В таком случае грань выделенного нами кубика, параллельная плоскости X0Y, и до деформации должна была быть параллель­ ной той же координатной плоскости.

Посмотрим, как изменилась бы форма контура такой грани, если предположить, что составляющая перемещения в направле­ нии оси ОХ не зависит от координаты х, а составляющая переме­ щения в направлении оси ОУ не зависит от координаты у.

Пусть хг, у и гх — текущие координаты (рис. 4) материальной точки А в деформированном теле. Координаты точек Б, В, Г

ной точки А. До деформации эта точка занимала положение гео­ метрической точки А о, определяемой начальными координатами

~ x i — ихи К х = Ух — иух", Zx — Zx — и,|.