Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

17.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3719 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Условие пропорциональности компонентов девиаторов тензо ров напряжений и скоростей деформаций

Оде ~Ь Р __	Оу ~Ь Р — . . . =	^Тхг
ех	By	Ухг

с учетом (8.8) принимает вид

2туг	________ 2тдг	_ 2	ai	/л qv
лс Лр	у Ар	3	е/ *	' ’ '
L 1 Г	L dt

Интенсивность скорости деформации при условии (8.8) опреде ляется выражением

d<p

1 Г

8/ = L /3 Удс“ + S'-

Таким образом, компоненты девиатора тензора напряжений будут равны:

<п	у		т	_	Of	*	(8. 10)
Кз	+	’	ÿ2		Кз К*+у ’		(8. 10)
Кз	+	’	ÿ2		Кз К*+у ’
Ох+ Р =	+	р =	<т2 +	Р =	T2ÿ =	О.

Тензор напряжений в случае пластического кручения имеет вид:

	- р		0	<Ji	У
				VI	Vхг-\-y*

	0		- Р	VI	X
					1
	у	ai	х
Of					___ fl
Кз	К2 + «/	V~3	]/"# + &		P

Используя зависимости (8.2), можно всегда перейти к цилиндри ческой системе координат. В этом случае выражения (8.10) при нимают вид:

Ьг = oe— az — — р; тгг =		тг0 =	0; т02 =	агД /3 .	(8.10а)
На свободной поверхности закручиваемого				стержня	аг = 0,
т. е. р — 0,	и выражения (8.10а)	принимают вид:
	о, = оге = ог= т2Г =	= 0;	т20 = a J Y 3.		(8.1Об)
Если ai	зависит только от времени		/ и г, не	изменяющегося

в процессе деформации для любой материальной точки, можно показать, что выражения (8.10а) удовлетворяют условиям равно весия только в том случае, когда гидростатическое давление по стоянно по всему объему деформируемого стержня.

Подставляя значения компонентов напряжения в уравнения равновесия

дОг

Ог + СГ0

д%гг

а .

дг

— О,

дх2г

дог

дХгг

дг

получим

(— р) =

— р) =

0, т. е.

гидростатическое дав

лениер

не

зависит

[от

г. [ Таким

образом,выражения

(8.10а)

дают

решение для

напряжений для

всего объема тела.

Если

процесс

кручения

осуществляется

обычных

условиях,

р =

0 во всем объеме

стержня

том случае, если

<7, зависит

только

от

и г. Однако

полученное решение не

удовлетво

ряет условию т20 = 0 на оси симметрии (т. е. при г = 0). Следо вательно, у оси симметрии всегда имеется упругая зона, где реше ние (8.10а) не имеет силы. В этой зоне удовлетворяется условие пропорциональности компонентов девиаторов напряжений и ма лых деформаций:

° х +	Р		= . . . = 2G.		(8. 11)
&Х	еср	Уху	= . . . = 2G.		(8. 11)
&Х	еср	Уху
Компоненты малой деформации могут быть заданы равенствами,
аналогичными (8.8):
8j. =	8ÿ =	8г = уХу= 0,	УyZ=	-J- ф,
		Угх=---- Ф-			(8.12)
Из равенств (8.11) получим значения компонентов напряжения
для случая (8.12):
О х — О у = О г = 1 Ху ~			У у г ~	Ф*

УL_ ф.

Интенсивность напряженного состояния в этом случае

at = G V I -£- + f = V 3 G •

Условие пластичности а{ = ат дает возможность установить границу упругой зоны

Решение (8.106) остается в силе и для этой зоны. Но, учитывая выражение для определения о(, оно примет вид

(8.10в)

при г = 0 т20 = 0.

Таким образом, если материал не обладает свойством дефор мационного упрочнения, то задача пластического кручения имеет простое решение:

®Т “ “ x zr — Tr0 — 0»

(8. Юг)

Если же материал обладает свойством деформационного упроч нения, то при

напряжение T*e = a jV 3 будет	переменным, оно 'будет 'различ
ным при различных значениях	г и определить его трудно.

Обычно о величине деформационного упрочнения судят по итоговой (результативной) деформации за весь предшествующий процесс формоизменения. Однако это возможно только при усло вии монотонного протекания процесса.

Как известно, условий монотонности два. Если условие по стоянства вида тензора скорости деформаций (или вида деформиро ванного состояния) сравнительно легко поддается эксперимен тальной проверке, то проверка соблюдения условия совпадения главных осей скорости деформаций с одними и теми же материаль ными волокнами в течение всего процесса (либо исследуемой ста дии формоизменения) встречает, как отмечалось ранее, опреде ленные трудности.

Выясним, удовлетворяются ли условия монотонности при пла стическом кручении цилиндрического стержня. Для этого прежде всего необходимо определить направления главных осей и вели чину главных компонентов тензора скорости деформации.

При определении величины главных компонентов и направле ний главных осей любого, симметричного тензора второго ранга используется известная система уравнений, которая, примени тельно к тензору скорости деформации, примет вид:

(®* е„) сспх	&ху(хП	ъхг<хпг — 0;
+ (êÿ-	è„) апу+	е.угапг=	0;
"4“ ^yz^ny "H (®л		e„) &пг =	0,

где п — индексы главных осей;

вХу= О.бу^,, ехг =

• •

Условие совместности этих трех равенств

Dху

“yz = о

ег - е „

есть кубическое уравнение относительно неизвестных главных

компонентов

еп.

Принимая во внимание (8.8), получим определитель кубиче

ского уравнения,

определяющий главные [компоненты

тензора

скорости деформаций

при

пластическом

кручении,

dtp

— е»

d(p

1 7 H T

dcp

dtp

- 8 „

' Y

L И Г

Раскрывая

определитель, получим

dip

" [ ( т

)

) 2]} = 0,

(8.15)

’ + ( ' 2

корни которого — главные

компоненты

скорости деформации —

равны

е1=

d(p

—

0 ;

dtp

(8.16)

2L dt

И Г

Показатель вида тензора скорости деформаций, а следова

тельно, и

напряжений

определяется формулой

V- =

3e2/(éi — ёз).

Поскольку

ê2 =

всегда равно нулю.

Следовательно, вид напряженного состояния в течение всего процесса пластического кручения постоянен и соответствует сдвигу. Таким образом, одно из условий монотонности при кру чении удовлетворяется.

Для выяснения вопроса о соблюдении второго условия моно тонности необходимо определить направления главных осей скорости деформации и проследить, совпадают ли они с одними и теми же материальными точками, т. е. сохраняют ли фикси рованные материальные точки свое положение на отрезках пря мых, совпадающих с направлениями главных осей скорости де формации. Подставляя значения компонентов скорости деформа-

184

ции из равенств (8.16) и (8.8) в систему уравнений (8.14) для первой главной оси, получим:

			г	dtp•«1*			иг~ш~а1г — 0;
			2L	dt
			г		а*у+		"ЗГ ~Ж~®12 = 0;
			2L	dt	а*у+		"ЗГ ~Ж~®12 = 0;
	и	d(D		.	х	«Ф ~		'	d<p	„ __ а
								2L	dt	“ 1г
или после очевидных				сокращений
—ralx —г/а1г = 0;			—ralÿ —*а и = 0;					—у а 1х + х а и/ —/"«и=
В силу	первых	двух		равенств			получим
		a -ц. =			и		а 1у	х		(8.17)
		a -ц. =		-----—а 1г>			а 1у	------- а 1г*
Из условия				a î x -j-a ty ~Ь = 1
и (8.17)	имеем			a î x -j-a ty ~Ь = 1
и (8.17)	имеем
	•aiг-			-а\г +		а?г = 1, т. е. а?г =				1/2.
Откуда с учетом		(8.17):
„	_ _	1		У			„	,	1	*
	V1	1^2	Vx* + y*			'	ly		V2	Vx+ y ’
				а » = ± - р 5 -						(8-18)

Обозначив xM, «/м, zM координаты точки в деформируемом теле, для которой определяется тензор скорости деформаций, а хп1, ут , гт координаты точки М и расположенной в данный момент вблизи точки М на первой главной оси скорости дефор мации, составим уравнение прямой, проходящей через эти две точки:

-'-Mi — * м -----------	(zMi	2м );
	м	(8.19)
		(8.19)
Уш Ум----	7^~ (2мх	2м)-
	гм

Совершенно аналогично, так как ех и в3 в равенствах (8.16) отличаются только знаками, можно показать, что направляющие косинусы третьей главной оси определяются равенствами (8.18);

уравнение прямой, проходящей через две точки Af и М9, лежащие на этой оси, имеет вид:

VM3	*М —	м (ZM8	ZM )>
Ут	Ум—	7 гм (2мз	ZM)-	(8.19а)

Определяя направляющие косинусы второй главной оси, получим:

а 2х	х
	“« - о -

Вторая главная ось скорости деформации, как видно из (8.18а), лежит в плоскости, параллельной плоскости ху, и уравнение пря мой, соединяющей две точки М и Af2, лежащей на этой оси, пред ставится

*мз — хм .~ хм.(Ум» — Ум)!Ум-	(8.196)
Равенства (8.18), (8.18а), (8.19), (8.19а), (8.196)	не зависят

от времени и показывают, что в любой геометрической точке деформируемого тела направления главных осей тензора скорости деформации остаются неизменными в процессе формоизменения.

Для удовлетворения условиям монотонности необходимо, чтобы прямолинейный отрезок (материальное волокно), соединяющий

две близкорасположенные материальные точки Af и Afx, в данный момент совпадающие с геометрическими точками Af и Afx, лежа щими на первой главной оси скорости деформации, во всех пред шествующих стадиях процесса совпадали бы с первой главной осью скорости деформации. Иначе говоря, необходимо доказать,

что две материальные точки А1 и Л1Хвсе время совпадают с двумя геометрическими точками М и Afх, которые лежат на неподвижной первой главной оси скорости деформации.

Любая материальная точка определяется своими начальными координатами. Функциональная зависимость текущих координат от начальных задана при пластическом кручении равенствами (8.3).

Обозначим Хш FM, ZM, Хмх, _ У МХ, Zm — начальные

координаты материальных точек Af и А1х, совпадающих в рас сматриваемый момент времени с геометрическими точками Af и Afx; Ф, — значение угла закручивания в- данный момент. В силу равенств (8.3) имеем:

* м = х м c o s n	f4>t- -	s i n - т г Ф /5
т cos —■£*-Ф/		УМ1
2м — 2М;	‘Ml = Z,MI-

Имея	в виду,	что	разность	zM1 — zM = ZM1 — ZM величина
малая,	следовательно,
и			cos (Zm	2М) (p^/L =	1
и
		sin (* » — ^ м ) Ф / / ^ 5=5 (Zw — ZM) <P//L,
можно получить следующие зависимости:
cos		ф* =	c o s - ^ ф*	(ZMl — ZM)	sin — Ф*;
	sin %	Ф, = sin^L Ф, -		(ZMI - ZM) -Ç-COS -^ -ф ,.
Замечая, что
	= - ^ м + (-^M I ~ * M);			^ M I —	+ ( ^ M I ~ У м );

подставляя равенства (8.21) во второе выражение (8.20) и пре небрегая квадратами малых величин, получим

XMI ~ *мх COS Ф< — ^Mi sl° “]г~ Ф/ - УMI — Zm- ф/.

(8. 22)

Вычитая почленно из (8.22) первое равенство (8.20), определим

мх — хм ~ (-^мх м) cos—£-<Pt — (YMI — Ум) sin	Фt —
— Ум -— j/ — Ф/.	(8.23)

Комбинируя (8.23) и учитывая на основании (8.3) и (8.19), что

V	V	_. . .	Ум	ZMl ZM . . .	,, ____„	ZMX ZM
XMI		хм ~	Ум	»	Ум1 ~ У м ~ хм	---- »

получим следующую систему уравнений относительно ХМ1—Хм

и * MX~ * V


(*мх	X J cos ■	Ф/ — (ГМ1 — Y J sin —		<рt +
	+ Ум (Z MI — Z J		= 0;
(*мх -	X J s i n ^ - Ф< + (Ym -		Y J cos	q>, -	(8 24)
	— ХМ (Z MX -	Z J ( - щ - - - Ç - ) = 0 .

1«7

С учетом (8.3) решение этой системы определится равенствами:

X M I	=	Y* {Zm — Z M) (l/RK	Ф{/L)t 1	пел
Ym -	FM=	Хм (Zm - ZM) (1/Ям -	<pt/L)- J	( )

Поскольку в начальный момент x — X; y = Y; z = Z, a точка Mu выбрана совершенно произвольно на относительно малом расстоя нии от произвольно выбранной точки М на прямой, совпадающей с первой главной осью скорости деформаций, то полученное урав нение прямой (8.25) является геометрическим местом материаль ных точек в начальной стадии процесса. Точки эти должны будут располагаться вдоль первой главной оси скорости деформации, когда угол закручивания достигнет заданного значения ф

(х ~ хн) = Ум{г ~ % ) 0 / гм —

(У ~ Ум) = *м (z ~ % ) (l/rR— %/L)

или, что равносильно,

х *м	у-Ущ	2м	(8.26)
%	хж	rTnL/(L~ rmb)

Направляющие косинусы этой прямой определяются равенствами:

%1 ~ тжЬ

гм
*м	L-	v ,	(8.27)
гм	У (L-	,Rtl)‘ + L‘	’
V	Л )* + У '

Уравнения (8.27) показывают, что рассматриваемая прямая располагается в плоскости, перпендикулярной радиальному на правлению, т. е. ортогональна прямой, соединяющей материаль

ную точку М с точкой пересечения плоскости г = zM = const с геометрической осью симметрии.

Анализ равенств (8.27) показывает, что, во-первых, в на чальный момент времени, когда ф* = 0, равенства (8.27) тожде ственно равны равенствам (8.18), т. е. что в начале процесса материальное волокно совпадает по направлению с первой глав ной осью скоростей деформации; во-вторых, направляющие ко синусы (8.27) являются функциями угла закручивания ф/ и пере менны во времени, тогда как направляющие косинусы главных осей скорости деформаций постоянны.

Совершенно аналогичные рассуждения приводят к таким же выводам относительно материальных волокон, в начале процесса

188

совпадавшими с третьей главной осью скорости деформаций. Следовательно, первое условие монотонности не соблюдается

и процесс	пластического	кручения	нельзя считать монотонным.
Вместе с	тем, поскольку	условие	сохранения	вида удовлетво
ряется, то такой процесс можно			назвать	частично немоно
тонным.

В следующем параграфе (п. 9) такая закономерность протека ния процесса будет классифицирована признаком односдвигового процесса, к какому и следует отнести процесс кручения как типичный пример частично немонотонного односдвигового про цесса. Поскольку, далее, кручение относится к категории процес сов немонотонных, то судить по итоговой (результативной) де формации о деформационном упрочнении материала нельзя. В данном случае необходимо обращаться к более общей характе ристике степени деформации, вывод формулы которой для процесса кручения с позиций энергетической гипотезы упрочнения приведен

втом же следующем параграфе (п. 9).

9.Основные положения теории односдвиговых

процессов

В п. 7 гл. 1 и п. 18 гл. 3 были рассмотрены определения и усло вия протекания монотонных процессов деформации, обеспечива ющие их однозначность. Вместе с тем за последние два десятиле тия было установлено, что монотонные деформации не являются единственно возможной закономерностью последовательности про текания процесса пластического формоизменения тела, одно значно определяющей конечную деформацию. В частности, В. П. Чикидовским было установлено, что условия протекания процесса могут быть подчинены некоторой другой закономерной последовательности, отличной от условий монотонности и тем не менее однозначно определяющей процесс конечного формоизме нения.

Рассмотрим такие процессы, при которых условие постоянства вида деформированного состояния выполняется в течение всего процесса, а условие совпадения главных осей тензора скорости деформации с одними и теми же материальными волокнами не выполняется. Тогда на различных стадиях деформации данной частицы тела наибольшую скорость удлинения претерпевают различные волокна: сначала наиболее быстро удлиняется какое-то одно волокно, затем какое-то другое, расположенное к первому под некоторым малым углом, начнет удлиняться быстрее первого волокна. На последующей стадии наиболее быстро будет удли няться некоторое третье волокно, первоначально составляющее некоторый относительно больший угол с первым волокном и т. д.

Наибольшую скорость укорочения точно так же на различных стадиях процесса будут претерпевать различные волокна. Направ ление третьей оси скорости деформации, перпендикулярное

направлениям двум рассмотренным, должно в целях удовлетворе ния условиям постоянства вида неизменно совпадать с одним и тем же волокном, и эта ось должна являться главной осью с индексом 2.

Кроме того, одно из направлений, перпендикулярное этой второй главной оси скорости деформаций, и составляющее равные углы с направлениями первой и третьей осей скорости деформации, также должно неизменно совпадать с одним и тем же волокном. Это направление, поскольку оно должно составлять равные углы (+45°) со взаимно перпендикулярными направлениями алгебраи чески наибольшей и наименьшей скорости деформации, будет неизменно совпадать с одним из двух направлений действия максимального касательного напряжения или с одним из двух направлений наибольшей скорости деформации сдвига.

Таким образом, в процессах, подчиняющихся приведенным условиям, сдвиговые деформации могут происходить только в од ной какой-нибудь плоскости, перпендикулярной второй главной оси скорости деформации.

В связи с этим условимся данный порядок протекания про цесса называть односдвиговым (моносдвиговым). Односдвиговый характер 'последовательности протекания процесса деформации вполне реален, так же как и монотонный процесс. Односдвиговый процесс имеет место не только при пластическом кручении ци линдрических стержней, но и реализуется, по-видимому, в про цессах вырубки, резки заготовок, а также в некоторых других процессах, когда в очаге деформации возникают зоны интенсивных сдвигов.

Очевидно, что рассмотренный порядок протекания процесса пластической деформации материальной частицы тела заведомо не удовлетворяет условиям монотонности и в то же время подчинен определенной закономерности, хотя и отличной от закономерно стей монотонного процесса.

Порядок этот характеризуется постоянным видом деформации, а именно сдвигом. Однако не характеристика вида тензора дефор мации (или скорости. деформации) приводит к существенному различию его с монотонным процессом. Деформация сдвига или близкие к нему виды деформации могут быть реализованы и при монотонном или приближенно монотонном протекании процесса.

К существенному различию монотонного и односдвигового про цессов приводит нарушение условия совпадения главных осей скорости деформаций с одними и теми же материальными волок нами, что не только затрудняет определение итоговой деформации, но и изменяет характер зависимости между напряжениями и деформациями.

При расчете монотонных процессов деформации обычно поль зуются разобранной выше гипотезой единой кривой, которая связывает напряжения и деформации зависимостью а{ — / (ef), определяемой по результатам испытания металла на простое растя жение. Расчетные данные при этом хорошо согласуются с опыт-

190

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3719 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
19.11.202345.48 Mб10Сопротивление материалов тестовые задания. Ч. 1.pdf
#
12.11.202321.93 Mб4Сопротивление материалов тестовые задания. Ч. 2.pdf
#
19.11.202335.18 Mб2Сопротивление материалов деформированию и разрушению при сложном напряженном состоянии..pdf
#
13.11.202322.52 Mб6Сопротивление материалов деформированию и разрушению. Ч. 1.pdf
#
19.11.202385.55 Mб1Сопротивление материалов деформированию и разрушению. Ч. 2.pdf
#
12.11.202317.53 Mб8Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов..pdf
#
12.11.20235.12 Mб3Сопротивление материалов усталостному и хрупкому разрушению..pdf
#
12.11.20232.99 Mб0Сопротивление материалов. Примеры решения типовых задач.pdf
#
19.11.202337.05 Mб1Сопротивление материалов. Статические прочностные расчёты.pdf
#
20.11.20234.54 Mб1Сопротивление материалов. Ч. 1-1.pdf
#
12.11.20233.08 Mб3Сопротивление материалов. Ч. 1.pdf