книги / Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов

Вычитая почленно равенство (9.59) из равенства (9.28) и заме­ чая, что гн — rB= s, получаем после несложных алгебраических преобразований

ние можно получить только из рассмотрения силовой картины явления с учетом механических характеристик материала изги­ баемого листа.

3. Механическая (силовая) сторона задачи кругового изгиба листа

Выше было установлено, что при круговом изгибе листа напря­ жения ог (в направлении общей нормали к поверхностям листа) и <х0 (в направлении, перпендикулярном этой нормали и ребру гиба) являются главными, и их значения удовлетворяют диф­ ференциальному уравнению (9.1), где в силу равенства (9.2) и изложенных в п. 1 данной главы соображений относительно индек­ сации главных напряжений, имеем:

Следовательно, при г = p„ главные напряжения должны пре­ терпевать разрыв непрерывности при переходе через цилиндри­ ческую поверхность , радиуса г = р0. Однако напряжение а„ нормальное к этой поверхности, такого разрыва непрерывности претерпевать не может, так как это противоречило бы известному

вмеханике закону о равенстве действия и противодействия. Итак, приходится допустить, что при переходе через цилин­

дрическую поверхность радиуса г = р0 претерпевает разрыв непрерывности напряжение о0.

В действительности этот разрыв непрерывности также оказы­ вается несколько сглаженным за счет влияния деформаций упру­ гой разгрузки, происходящей при перемене знака главных ком­ понентов скорости деформации. Тем не менее мы условились пре­ небрегать влиянием упругих слагаемых деформаций на силовую картину рассматриваемого явления, поскольку иначе пришлось бы еще усложнить и без того относительно громоздкие выкладки.

211

Для того чтобы иметь возможность проинтегрировать диффе­ ренциальные уравнения (9.33а) и (9.336), необходимо знать, как изменяется по радиусу значение а,. Известно, что в тех слоях деформируемого листа, в которых процесс деформации протекал монотонно,

Oi = Ф(si),

где в; — интенсивность итоговой деформации; Ф (в/) —'извест­ ная для данного материала функция от е,- (заданная кривой или таблицей по данным обработки результатов испытания образцов материала на растяжение). Однако процесс деформации при кру­ говом изгибе листа не является монотонным по всей толще этого листа.

Монотонно протекала деформация при rBsg г sç р0, где мате­ риальные частицы на всех предшествующих стадиях процесса изгиба укорачивались в тангенциальном направлении. Монотонно протекала деформация также и при

где материальные частицы на всех предшествующих стадиях про­ цесса изгиба удлинялись в тангенциальном направлении, но при

деформацию нельзя считать монотонной, поскольку материальные частицы, расположенные в данный момент на этих радиусах, в начале процесса изгиба укорачивались в тангенциальном направ­ лении, а затем стали удлиняться.

Тем не менее, замечая, что при круговом изгибе листа главные оси скорости деформации неизменно совпадают по направлению с одними и теми же материальными волокнами, и принимая во внимание результаты эффекта Баушингера, т. е. возможность по­

степенного уменьшения интенсивности напряжений после издое- , нения знаков главных компонентов скорости деформации, можно

212

Вводя обозначения

К ы = 1/3 J А (ег)е/3с< dst; Ав (в,) = / 3 1 Л (е,)е~ /3 8■' delt (9.46)

аналогичные обозначениям (9.43), и замечая, что

г2н = р2е ^ н И ^ р 2е - ^ Ч

получаем расчетную формулу

которой, как и формулой (9.44), можно воспользоваться при со­ ставлении вспомогательных таблиц для расчетов кругового изгиба листа.

Глава 10. ПЛАСТИЧЕСКОЕ РАЗДУТИЕ ЦИЛИНДРОВ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ

4. Общая задача сопротивления полых цилиндров внутреннему давлению

Рассматривая сечение цилиндра, достаточно удаленное от кон­ цевых срезов или днищ, можно полагать главные оси деформации заранее известными: первая главная ось — направление наиболь­ шего удлинения материальных волокон — по нормали к диамет­ ральному (меридиональному) сечению цилиндра, т. е. ех = е0; третья главная ось — направление наибольшего укорочения ма­ териальных волокон в радиальном направлении, т. е. е3 — ег;

кулярные оси симметрии цилиндра, должны оставаться плоскими, значения г2 от радиуса не зависят.

Поскольку очевидно, что главные оси деформации на всех стадиях процесса совпадают с одними и теми же материальными волокнами, можно утверждать, что главные оси напряженного состояния совпадают по направлению и индексу с главными осями итоговой деформации, т. е. первое условие монотонности в рас­ сматриваемом случае удовлетворено точно.

Полагая далее, что второе условие монотонности протекания процесса также удовлетворено в пределах практической точности,

Функциональную зависимость сг,- от аргумента е,- для каждого материала можно считать известной (хотя бы, например, заданной кривой ot — 6j). Значение коэффициента tj в уравнении (10.17) может быть найдено в табл. 10 в зависимости от значения вели­ чины

8е — &r — V Зе* cos (30° — р).

В общем случае данное решение может быть сопряжено с гро­ моздкими вычислениями.

Это обстоятельство усугубляется еще тем, что граничные усло­ вия неизвестны во многих конкретных случаях, в частности в тех случаях, когда полый цилиндр, раздуваясь под действием вну­ треннего давления, может укорачиваться в осевом направлении. Математически это значит, что равнодействующую по сечению осе­ вых напряжений можно принять аг = 0. Но значение этой равно­ действующей можно будет вычислить только тогда, когда напря­ женное состояние в стенках цилиндра уже известно по всей их толщине.

5. Инженерные методы расчетов латунных трубок на внутреннее давление

Допустим, что задача сводится к определению зависимости от отношения £>„/£>„ внутреннего давления в цилиндре, доводя­ щего степень деформации наружного поверхностного слоя до за­ данного значения е,- = е/н при условии отсутствия осевой силы (Рг — 0). Известно, что на наружной поверхности радиальное давление рг — 0 при ег = е(н. Этого граничного условия мало, необходимо знать еще и значение угла вида р = р0 для наружной поверхности. Причем мы знаем только то, что -4 Ро невелик. Поэтому’ведем расчет параллельно для нескольких значений р = = р„. Так,' производя, расчет для'латунных трубок и имея в виду

муле (10.19), которая для наружной поверхности (при рг—0) принимает вид

е2 - А 0 ,.о cos (60° - Ро) -> ei0 sin (30° - ро). (10.19а)

Для латуни принимаем Е — 11 600 кгс/мм*, р = 1/3. Значе­ ние Oi = а;о находим по кривой ot —* г, для значения в/ =

— 8/0 = в/н = 0,01, получаем <гг = <гго = 15,7 кгс/мм*.

220