книги / Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов

Из графика видно, что при отрицательных значениях Я зна­ чение ер увеличивается; такие схемы напряженного состояния называются «мягкими». Область положительных значений Я относится к «жестким» схемам напряженного состояния.

В технологических процессах реализуются схемы, лежащие в широком интервале значений Я. Так, при выдавливании дета­ лей Я = —6 и менее. В осевой зоне заготовки при поперечной прокатке Я достигает высоких положительных значений.

Зависимость степени деформации при разрушении при дан­ ной схеме напряженного состояния ер от коэффициента жест­ кости Я, численно характеризующего эту схему, имеет наряду с зависимостью <хг — ег огромное значение в теории пластичности. Эта зависимость получила в литературе название диаграммы пластичности.

Наличие диаграммы пластичности и зависимости — ег металла позволяет прогнозировать практически все этапы тех­ нологического процесса изготовления деталей в холодном состоя­ нии. Однако построение таких диаграмм пластичности связано с затруднениями следующего характера. Дело в том, что для по­ строения диаграмм зависимости ер — Я сложно-найти такие виды испытаний металла, в которых схема напряженного состояния по возможности менялась в процессе испытания, и чтобы при этих видах испытаний можно было с достаточной точностью определить степень деформации, предшествовавшую разрушению. Кроме того, необходимо, чтобы схема напряженного состояния в любой ста­ дии испытания могла бы быть определена с достаточной достовер­ ностью.

задач анализа напряженного состояния тела, подвергаемого об­ работке давлением, используется, как правило, либо деформа­ ционная теория пластичности, которая при малых деформациях и простом нагружении приводит к системе уравнений (3.9), либо теория пластического течения, устанавливающая связь напряже­ ний со скоростями деформации.

При достаточно больших (по сравнению с упругими) деформа­ циях эта теория приводит к системе уравнений (3.20). Решение любой из этих двух схожих по написанию систем уравнений в част­ ных производных в общем случае связано с существенными за­ труднениями. К наиболее типичным методам некоторого упро­ щения математического аппарата при решении любой из данных двух систем уравнений (3.9) или (3.20) следует отнести: приве­ дение трехмерной (пространственной) задачи к двухмерной (плос­ кой или осесимметричной); применение экстремальных методов анализа напряженного состояния деформируемых тел.

Этим вопросам и посвящаются последующие параграфы на­ стоящей главы.

2. Плоское течение идеально пластичного материала

Среди задач прикладной теории пластичности необходимо в первую очередь отметить так называемую плоскую задачу пластического течения.

т. e. после подстановки выражений (4.5) и сокращений получим

Принимая во внимание равенства (4.8), после преобразований имеем

Это означает, что рассматриваемая линия является траекто­ рией максимальных по абсолютному значению касательных на­ пряжений. Такие линии в задачах плоского пластического тече­ ния физических тел называют л и н и я м и с к о л ь ж е н и я .

Через каждую точкусечения тела, претерпевающего плоскую пластическую деформацию, можно провести две взаимно орто­ гональные линии скольжения. Вдоль одной из этих линий будет

сохранять неизменное значение выражение /?+(2 /у гЗ)<ггф, где р —

точку, как и первая, ей ортогональная, должно сохранять по­

стоянное значение выражение р — (2/J /3 ) <Т;ф.

Это свойство линий скольжения, а также то обстоятельство, что в любой стадии плоской пластической деформации тела ли­ ния скольжения составляет неизменные углы (±45°) как с направ­ лением наиболее быстрого удлинения материальных волокон, так и с направлением наиболее быстрого укорочения, широко используется многими отечественными и зарубежными исследо­ вателями.

Данное свойство линий скольжения позволяет, если произ­ вести несложные подсчеты, приближенно оценить значение по­ требного усилия процессов обработки металлов давлением. Дей­ ствительно, из чисто логических умозаключений можно всегда приближенно судить о направлении наибольшей скорости удли­ нения материальных волокон в любой стадии рассматриваемой технологической операции в различных зонах деформируемого металла. На эскизе, изображающем рассматриваемую стадию процесса деформации, можно начертить кривую, составляющую на всем своем протяжении одинаковый угол (45°) с направлением наибольшей скорости удлинения соответствующих материальных волокон (рис. 20). Эта кривая и будет изображать линию сколь­ жения. Понятно, что она не будет математически точно совпадать с истинной линией скольжения. Тем не менее полный угол пово­ рота касательной к линии скольжения на всем ее протяжении от некоторой точки А на поверхности контакта деформируемого металла с инструментом до точки В на свободной поверхности удается определить с приемлемой точностью.

Пусть А<р этот угол, тогда разность гидростатических давле­ ний в точках А и В определится равенством

В этом случае Дф«*я.

В точке Л (в плоскости симметрии подвижной детали инстру­ мента)

Теория пластичности использует свойства линий скольжения при решении задач малой упругопластической деформации как в случае плоской деформации, так и в случае плоского напряжен­ ного состояния (ог — 0 ; ххг = 0 ; = 0 и ах, ау, ххуот г не зависят), а также для решения задач плоского пластического течения иде­ ально пластичного вещества. При этом любое решение задачи

должно удовлетворять системе трех уравнений с тремя неизвест­ ными (4.4) и (4.7).

Можно убедиться в том, что линии постоянных значений пере­ менных п и С являются в то^же время линиями скольжения.

С этой целью заметим, что систему равенств (4.14) можно решить относительно неизвестных dx и dy. При этом получаем:

Таким образом, убеждаемся в том, что линии постоянных зна­ чений г) и £ образуют во всех своих точках угол ± я /4 (т. е. ±45°) с направлением, составляющим -4 а с осью О Х , т. е., как это следует из равенств (4.12), с направлением одной из главных осей напряженного состояния в соответствующей точке. Следо­ вательно, эти линии являются линиями скольжения.

Теперь поставим перед собой задачу построения сетки линий скольжения в конкретном случае, т. е. при заданных граничных условиях.

В общем случае задача построения сетки линий скольжения решается при помощи применения так называемых рекуррентных формул. Допустим, известны значения а и р двух точках Л и В напряженного тела, претерпевающего плоскую пластическую деформацию, т. е. для точки А известны значения хА, уА, аА, %А, а для точки В — хв, ув, ав и %в. Рекуррентными формулами называют формулы, по которым вычисляют координаты точки С или D пересечения линии скольжения, проходящей через точку Л, с одной из двух взаимно перпендикулярных линий скольжения, проходящих через точку В. Такие формулы известны в литературе. Наша задача состоит в том, чтобы вывести рекуррентные формулы так, чтобы по ним можно было легко и точно вычислить коорди­ наты узловых точек сетки линий скольжения. Рекуррентные формулы выводятся из равенств (4.17) и (4.19).

Допустим, что точка С располагается по линии скольжения постоянного значения переменной г), проходящей через точку Л, и на линии скольжения постоянного значения переменной £, проходящей через точку В. В таком случае

Хс + <*с = h М = Х а + ал! %с ~ «с = h (£в) = 1в ~ <*в