книги / Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов
..pdf13. Графическая интерпретация зависимости интенсивности и вида напряженного состояния от главных напряжений
Разберем графическую интерпретацию функциональных зави симостей интенсивности и характеристик вида-напряженного со стояния от главных напряжений, заданных равенствами (2.12)— (2.14). Эта графическая интерпретация была предложена инж. В. М. Розенберг и основана на следующих элементарных по
строениях. |
|
|
6,-G j |
Пусть АВС — равносторон- |
|||
ний треугольник, стороны кото |
|
||
рого численно равны |
(в приня |
|
|
том для напряжений |
масштабе) |
|
|
разности двух крайних главных |
|
||
напряжений |
АВ = СА = СВ = |
|
|
= Or—о», (рис. 10). |
|
|
|
Пусть точка N делит сторо |
|
||
ну АВ пополам, а точка D на |
|
||
два в общем случае неравных |
|
||
слагаемых |
АВ = |
<гх — а 3 = |
|
= AD -f DB = (<т2— сг3) + (ах— |
|
||
— Cj). Соединим точку D с точ |
|
||
кой С и определим длину отрез |
|
||
ка CD. |
|
|
|
Из построения мы видим, что |
|
||
CD2= CN2+ ND2= СВ2 - |
|
||
— NB2- f ND2, |
|
||
но CB —Oj — cr8; NB = V2 (o1— |
Рис. 10. Графическое построение |
||
— о3У, |
|
|
В. М. Розенберг |
ND — AD — AN = (<r2 —Sosf — Va (0i — 03) =
=* V, (CTa — o3) — V2(01 — 0^1.
Замечая, что
CB2— NB2= (ox — Os)® — V* K — cr8)2 =
—v2 (Oi - <r„)2 4- V4fai - o9)2,
V4 fai - Os)2= [Va fai - o j 4- Va faa - Ста)!2,
можно написать |
|
|
|
CD2 = |
Va fai - |
o2)24 - [V2 ((Tl -(Ta) 4- Va (<т2 - |
<r3)l2 4* |
|
4- [Va faa - Os) - Va(<Ti - (Ta)]2, |
|
|
T. e. после очевидных |
алгебраических преобразований |
||
CD2= |
Va fai - |
0e)2 4- Va K - 0a)8 4- Va (<T2 - |
<r8)2 = |
|
= |
VaAB24 - VaDB2 + VaAD2, |
(2.15) |
7 1
откуда
CD = KVa (Oi — Ста)2 + V2 (cr2 — o3)2 + V2 (o3 — 0i)2-
Сопоставляя полученное выражение с равенством (2.12) убежда емся в том, что длина отрезка CD численно равна (в принятом для напряжений масштабе) значению интенсивности напряженного
СОСТОЯНИЯ 0{.
Нетрудно убедиться в том, что положение точки D на отрезке АВ определяет вид напряженного состояния.
Значение va, заданной равенством (2.13), определится при нашем построении как отношение длины отрезка ND к длине отрезка NB. Действительно, мы
имеем
ND — V2 (а2 — а3) — ((jj — 02) :
|
|
|
|
= |
а2 — (°i |
|
аз)/2, |
|
|
|
|
NB = х/2 (01 — 03), |
|||
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ш_ _ |
а2 —(01 + а3)/2 _ |
|||
|
|
|
NB |
|
V2 (0i — 03) |
||
|
|
|
_ |
2°2- -ах — а3 |
: |
||
|
|
|
|
|
—аз |
|
va* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В том |
случае, |
когда точка D |
||
|
|
расположится слева от точки N, |
|||||
|
|
т. е. когда DB = (о1— <т2) > AD = |
|||||
|
|
= о 2 — а 3, длину отрезка ND при- |
|||||
Рис. 11. Сопоставление графических |
x0^ TCa |
считать |
отрицательной, |
||||
построений В. М. Розенберг и Мора V |
При |
растяжении, |
когда 0 2 — |
||||
ной с точкой А и v„ = |
|
= |
0 3, точка D окажется совмещен |
||||
—1. При сдвиге, когда а 2 = |
(ах + о3)/2, |
||||||
точка D окажется совмещенной с точкой N n va — 0. |
|||||||
При сжатии, когда а 2 = |
a lt |
точка D окажется |
совмещенной |
||||
с точкой В и v„ = 1. |
построение может быть |
применено и |
|||||
Данное графическое |
|||||||
для иллюстрации выражений (2.10). В частности, не представляет затруднения получить равенство, совершенно аналогичное вто рому из равенств (2.10).
С одной стороны, мы имеем |
|
|
ND - <т2 - |
= 4 - а2 - |
= I (а, + р), |
с другой стороны,
ND = CDsin <3 NCD = crt sin -4 NCD.
Итак, (<т2 + р) = at sin ^ NCD, т. е. о2 — - |- sin -4 NCD — р.
Полагая -4 NCD = р„ — 30°, получим второе равенство системы (2.10), но при допущении -4 ACD = р0 и DCB = 60° — р.
Опустим теперь перпендикуляры DN' и DN" из точки D на прямые СА и СВ. Замечая (см. рис. 10), что углы в вершинах равностороннего треугольника равны 60°, имеем
CN' — СА — N'A = СЛ — AD cos 60° =
CN" = СВ — DB cos 60° = а1- о 3- ■<Г1~ ° 2 = |
£ L+ £ L _ |
|||
С другой стороны, |
|
|
|
|
CN' = CDcos 2$ ACD — at cos p0; |
|
|||
CN" = |
CD cos -4 DCB = |
Oi cos (60° - |
p„). |
|
Итак, получаем: |
|
|
|
|
<Ji — |
^ |
+ |
P) = or, cos P„; |
|
- |
<T8 = - |
4 |
cos (60° “ W- |
|
Понятно, что из этих двух равенств могут быть получены — как очевидное их следствие — первое и третье равенства системы
(2. 10) .
Таким образом, по значениям глав ных напряжений легко определить гра фически а{ = CD, v„ = ND!NВ и р„ =
ACD.
Приведенное на рис. 10 геометриче ское построение приобретает большую наглядность при сопоставлении его с из
вестным |
построением кругов |
Мора |
||||
(рис. |
11). |
Угол -4 ACD = |
рв |
опреде |
||
ляет |
взаимное |
расположение |
кругов |
|||
Мора, |
следовательно, вид напряженно |
|||||
го состояния. Длина отрезка CD, соеди |
||||||
няющего |
вершину |
С равностороннего |
||||
треугольника |
(за |
основание |
которого |
|||
принят диаметр АВ большого круга Мора) с точкой D касания двух малых кругов Мора, является основным крите рием прочности материала под дейст
вием данного напряженно-деформированного состояния. Длина CD, будучи численно равна разности а 1— <т3 при ро =
= 0 и |
= 60°, при ро = 30°, т. е. при чистом |
сдвиге, умень |
шается до значения (CD)mln = (о1 — а 3) sin 60° = |
(<тх — а 3)/1,15. |
|
Аналогичное построение можно произвести, совместив сторону равностороннего треугольника с диаметром одного из малых кругов Мора и соединив его вершину с точкой касания второго малого круга Мора с большим кругом (рис. 12).
Нетрудно убедиться, что отрезки ЕА, CD и FВ равны между собой и численно равны количественной характеристике at на пряженного состояния. Таким образом, получаем простой гра фический метод проверки прочности по теории прочности потен циальной энергии.
14. Напряжения на октаэдрических плоскостях
Октаэдрическими плоскостями данной напряженной мате риальной частицы называют плоскости, внешние нормали к кото рым составляют равные углы с главными осями напряженного состояния этой частицы.
Принимая во внимание, что любой из трех главных осей можно произвольно приписать положительное направление, убеждаемся
|
в том, что во всякой материальной |
|||||
|
частице можно |
мысленно выделить |
||||
|
некоторую меньшую (весьма малую) |
|||||
|
частицу, ограниченную |
октаэдриче |
||||
|
скими плоскостями, расположенными |
|||||
|
на одинаковых расстояниях от неко |
|||||
|
торой точки М. Такая малая частица |
|||||
|
будет иметь восемь равных |
граней |
||||
|
(октаэдр) (рис. |
13). |
совместим |
коор |
||
|
Действительно, |
|||||
|
динатные оси М£, |
Мг\ и |
с глав |
|||
|
ными осями данной напряженной ча |
|||||
3 |
стицы. Тогда внешняя нормаль к лю |
|||||
бой из граней мысленно выделенной |
||||||
Рис. 13. По всем восьми граням |
весьма малой частицы будет состав |
|||||
октаэдра действуют одинаковые |
лять некоторый определенный |
-д <р |
||||
нормальные и одинаковые каса |
с положительным или отрицательным |
|||||
тельные напряжения |
направлением |
оси |
М |, |
такой |
же |
|
|
||||||
4 ф с положительным или отрицательным направлением оси Мг\
и 4 ф с положительным |
или отрицательным направлением |
оси М£. |
|
Обозначая a„g, a nt), a„g |
направляющие косинусы внешней |
нормали к одной из граней выделенной частицы, получим восемь возможных комбинаций значений этих направляющих косинусов,
а именно: 1) a„g = |
cos <p; a nt) = cos <p; a,,,, = cos q>; |
2) a„g= — cos <p; |
||||||
а пч—cos <p; a„g = |
cos <p; 3) a„6=cos <p; a rtt)= |
—cos <p; a nî= |
cos q>; |
|||||
4) |
a„6 = cos q>; a ni) = cos <p; a„s = —cos <p; |
5) an%= |
cos <p; a„4 = |
|||||
= |
—cos <p; <x„t = —cos q>; |
6) a„%— —cos <p; a„„ = |
cos <p; |
a nr — |
||||
= |
- c o s r. D k s |
= - c o s v; |
L |
- с о , ф ;Ч с i |
cos *; 8) |
< 4 = |
||
= |
—cos q>; ann = |
—cos <p; a„£ = |
—cos <p. |
|
|
|
|
|
Поскольку при |
любом направлении |
Мп a„g + а*п + a„j = |
= 1 = 3 cos2 ф, мы |
получим cos2 ф = |
1/3, т. е. cos ф = МУ~3, |
то нормальное напряжение на любой из восьми октаэдрических
плоскостей |
определится равенством |
|
||
|
= ah°i + а> 2 + |
а^ з |
= 01 |
(2.16) |
(так как |
= а 2„ = а ^ = cos2 |
ф = |
1/3). |
|
Итак, нормальное напряжение на всех восьми гранях мысленно выделенного октаэдра, будет одинаково и равно среднему арифме тическому из трех главных напряжений. Вектор напряжения на любой из восьми граней октаэдра может быть разложен либо на три взаимно перпендикулярных составляющих (по трем главным
осям) |
a„|<Tj, а„чо 2, а„^о3, либо на две составляющие |
(по нормали |
и по |
касательной к октаэдрической плоскости) |
оп = <гокт = |
=(ах -f- at + о8)/3, т = ТокТ. Следовательно,
ak°l + aU°l + ak°l = CT« + XOKT-
откуда, поскольку <x2g = a;^ = a21 = 1/3,
» |
a? + g?+ qj _ |
/ gx + a8+ g 3\ 8 _ |
||
окт |
3 |
\ |
3 |
/ — |
= -T (°î + °2 + ° a - ai°2 ~ °2аэ ~ W ) =
— [Y (al “ a2)2 + { ( 0 2- 03)2+ y (Оз — Oi)2J =
о
= -g- a? [см. равенство (2.12)].
Таким образом, касательное напряжение на всех восьми гранях октаэдра также одинаково и определяется равенством (см. рис. 13)
Токт = ( / 2 / 3 ) а (, |
(2.17) |
15. Влияние гидростатического давления на пластичность металлов
Возьмем металлический лист и вырежем из него две круглые пластины. Одну из них относительно большого диаметра заделаем вдоль контура, а затем подвергнем одностороннему давлению жидкостью; вторую пластинку малого диаметра будем обжимать плоскопараллельными бойками. Первая пластина (мембрана) несколько выпучится, а затем в ней произойдет разрыв по центру при незначительном утонении наиболее деформированной цен тральной ее части. Вторую пластинку при достаточно большой
75
обжимающей силе и хорошей смазке поверхностей контакта с бой ками нам удастся утонить в несколько раз, увеличив по площади, и при этом мы не обнаружим каких-либо признаков нарушения сплошности строения этой пластины. Следовательно, в данном опыте вторая пластина (малая) выявит значительно большую пластичность (т. е. способность изменять свою форму без наруше ния сплошности строения), чем центральная часть первой (боль шой) пластины. Вид деформации, претерпеваемой центральной частью первой пластины (мембраны), практически тождествен виду деформации второй пластины: укорочение материальных волокон в направлении нормали к поверхности деформируемой пластины и удлинение волокон, примерно равное во всех напра влениях, параллельных этой поверхности. Отчего же вторая пластина могла выявить значительно большую пластичность, чем первая?
Как показывают самые разнообразные опытные данные на пластичность материалов большое влияние оказывает некоторый фактор, который можно было бы назвать «относительным гидро статическим давлением».
Речь идет об относительном, а не просто гидростатическом давлении потому, что для заметного изменения пластичности некоторого данного физического вещества потребовалось бы тем большее изменение гидростатического давления, чем больше данное физическое вещество способно сопротивляться изменению своей формы.
Из теории напряжений известно, что если мысленно выделить в напряженном теле частицу, достаточно малую, чтобы в пределах этой частицы можно было бы считать напряженное состояние одно родным, и обозначить ах, ау, аг нормальные напряжения в сече ниях этой частицы, параллельных координатным плоскостям (приписывая знак плюс напряжениям растяжения и знак минус напряжениям сжатия), то алгебраическая сумма ох + ау + а2 будет инвариантна, т. е. будет зависеть от выбора направлений координатных осей ах -+- оу + crz = —3р, где р — гидростати ческое давление в рассматриваемой частице, которое может ока заться отрицательным, если эта частица находится под действием растягивающих напряжений.
Естественно, что гидростатическое давление как величина, характеризующая физическое состояние частицы, не может зави сеть от направления координатных осей. Не зависит от выбора координатных осей и другая величина, характеризующая физи ческое состояние частицы, а именно интенсивность напряжения ah выражение которой через разности нормальных напряжений, возникающих на площадках, перпендикулярных координатным плоскостям, и касательные напряжения на тех же площадках приведено в главе о напряжениях.
Для того чтобы некоторая материальная частица начала пре терпевать заметную пластическую деформацию, необходимо,
76
чтобы at достигала определенного для данного вещества значения предела текучести.
Отношение гидростатического давления к интенсивности на
пряжений мы будем называть относительным гидростатическим давлением plat = рот .
Опыт показывает, что все твердые тела становятся тем более пластичными, чем алгебраически больше относительное гидроста тическое давление. При значениях относительного гидроста тического давления, положительных и соизмеримых с единицей, все твердые тела приобретают способность значительно изменять свою форму без всяких видимых нарушений сплошности строе ния. Принято говорить, что при этих условиях твердые тела «текут как жидкости» (например, течение на больших глубинах земной коры гранитных пород).
Менее пластичный, чем некоторые металлы, материал, назы ваемый пластилином, обладает низкой способностью сопротив ляться пластической деформации. При относительно малом зна чении ot отдельные частицы пластилиновой массы уже претерпе вают необратимое изменение формы.
Таким образом, оказывается вполне возможным простым нажа тием пальца произвести в окрестности образовавшейся лунки такое гидростатическое давление, при котором пластическая де формация могла бы проявляться без нарушения сплошности строе ния (без растрескивания) пластилина.
Подвергая испытанию на изгиб два геометрически подобных стержня — пластилиновый и латунный, мы осуществляем гео метрически подобные процессы деформации при приближенно геомет; ически подобной схеме приложения внешней нагрузки. Естественно, что при этом получаем приближенное подобие рас пределения напряжений в двух геометрически подобных дефор мируемых телах. Значения рохн в соответственных точках этих двух тел окажутся приближенно равными. При этих условиях нарушение сплошности строения в пластилине наблюдается при меньших степенях деформации, чем в отожженной латуни. Та ким образом, отожженная латунь оказалась пластичнее пласти лина.
Этот опыт указывает на возможность сопоставления пластич ности различных материалов с помощью примененного нами ее количественного измерителя.
Классические опыты П. Бриджмена [6] показали, что при приближенно постоянном значении вида напряженного состоя ния и при положительном гидростатическом давлении, изменяе мого в опытах в широких пределах, значение ер также существенно изменялось. Для примера приведем некоторые данные.
Для одной из испытуемых сталей |
(NDRS) было получено зна |
|
чение гр при простом растяжении при атмосферном давлении |
||
ер = |
1п -¥г2- = |
0,91. |
V |
Г Ш |
|
При этом соответствующее значение растягивающего напря
жения |
о г |
|
ог = |
103 кгс/мм2. |
Значение |
|
—1. Для той же |
||||||||
стали при |
р = 28 |
кгс/мма |
при |
разрушении |
ер = |
1п-*^- = |
1,35. |
||||||||
Соответствующее |
|
значение |
растягивающего |
v |
Гш |
а{ = |
|||||||||
|
напряжения |
||||||||||||||
= |
115 |
кгс/мм2. |
|
|
|
|
|
|
|
= |
о, — р = 87 кгс/мм2; |
||||
|
Компоненты напряженного состояния |
||||||||||||||
ст2 = а 3 — р = —28 кгс/мм2. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Значение коэффициента |
вида напряженного состояния |
|
||||||||||||
|
|
|
( |
|
|
|
— (Tj |
|
— 2*28 — 87 + |
28 |
|
, |
|
||
|
|
|
V _ |
|
Oj — ст3 |
|
|
|
87 + 28 |
|
“ |
|
|||
= |
Еще два эксперимента с образцами из той же стали при р = |
||||||||||||||
98 кгс/мм2 |
и |
р = |
132 |
кгс/мм2 соответственно |
показали |
ер = |
|||||||||
= |
3,01; |
ер = |
3,55. |
При |
этом |
|
интенсивность напряжения |
повы |
|||||||
силась |
до |
значений |
а{ — 200 |
кгс/мм2, а,- = |
239 кгс/мм2. |
|
|||||||||
= |
Компоненты напряженного состояния: Oj = 102 кгс/мм2; о 2 = |
||||||||||||||
сг3 = |
—98 кгс/мм2; o t = |
107 кгс/мм2; о 2 = |
а 3 = |
—132 кгс/мм2. |
|||||||||||
|
Вид напряженного состояния в обоих случаях остался тем же |
||||||||||||||
самым — простое |
растяжение: v = —1. |
|
несколько большем, |
||||||||||||
|
В последнем эксперименте |
при давлении |
|||||||||||||
чем 13 000 кгс, степень деформации при разрушении увеличилась почти в четыре раза. Этот пример показывает, какое огромное влияние может оказать гидростатическое давление на величину предельно прочной пластичности при практически одном и том же виде напряженного состояния.
Таким образом, на величину ер гораздо большее влияние ока зывает не вид напряженно-деформированного состояния, а ха
рактер возникающих от |
приложенной нагрузки напряжений, |
т. е. схема напряженного |
состояния. |
Глава 3. СВЯЗЬ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ
16. Малые упругопластические деформации
Как известно, при упругой деформации может быть уста новлена определенная функциональная зависимость компонен тов деформаций от напряжений. Связь эта обычно задается из вестными равенствами обобщенного закона Гука:
8. . « - х ~ т г (|Т! '+ <т<); v = х — j r (G. +
где G— модуль упругости сдвига, связанный с модулем упру гости Е и коэффициентом Пуассона р равенством
2 ( 1 + р ) •
Известно, также что равенства обобщенного закона Гука могут быть приведены путем элементарных алгебраических пре образований к эквивалентной им системе равенств:
г х х + е у у + |
е г г |
= |
--- ]Г^ - |
|
&ХХ-- 8уу _ |
^УУ |
822 |
_ |
|
1 £ |
1_ |
|
||
1 |
|
I |
|
|
(а х 4 * G y + |
(3 .1 ) |
|
822 |
Ехх _ |
|
02 |
— 0# |
|
_ Уху _ |
VУг = |
Угх _ |
1 |
(3.2) |
|
2тху |
2Хуг |
2Ххх |
2 G * |
||
|
Если подставить в правую часть равенства (1.19) выражения разностей гхх — еуу, &уу — ег2, е2г — гхх и деформаций сдвига уху, Ууг> Угх> получаемых из равенств (3.2), и принять во внимание равенство (2.8), то мы получим выражение интенсивности дефор маций в случае идеальной упругости метариала е£ = o£/3G. При этом равенства (3.2) могут быть приведены к виду
8х х — Су и _ |
8 УУ — 8г г _ |
8 Z Z — 8ХХ _ |
У х у |
||
Ох—оу |
оу — аг |
аг — ох |
2%ху |
||
_ |
Vite |
Угх |
__ з |
e t |
(3.3) |
|
2ту г |
2тм |
2 |
a t |
|
|
|
||||
Переходя от упругого к пластическому процессу деформирова ния, представляющему собой необратимый физический процесс, необходимо констатировать, что функциональную связь напря жений и деформаций можно установить только при некоторых ограничениях условий протекания процесса. При малых пласти ческих деформациях такая связь может быть установлена для всего деформируемого тела в целом при условии «простого нагру жения», т. е. тогда, когда все внешние силы, действующие на это тело, возрастают пропорционально одному общему параметру.
В теории малых пластических деформаций обычно принима ется допущение, что при условии простого нагружения (32] равенства (3.1) и (3.3) остаются в силе в пластической зоне, но при наличии неупругих слагаемых деформации, коэффициент пропорциональности (3/2)(е(/о/), являющийся в упругой зоне определенной для любого данного вещества константой, становится переменным, различным для различных точек пластически де формируемого тела.
Как следствие такого допущения, можно доказать, что при условии простого нагружения вид напряженного состояния всегда соответствует виду малой деформации, обусловленной этим на пряженным состоянием.
Действительно, в силу равенства (3.3)
Ехх------ |
(Ехх + г уу + 8гг) = |
“g- ^ 7 |
[ а * ----------- |
+ Gy + Сг)] * |
т. е при обозначениях (1.18), (1.22) и |
(2.7) |
|||
|
ЪХХ — |
— |
(а х + |
р)> |
откуда |
|
|
|
|
и аналогично
Непосредственно из равенства (3.3) получаем:
Подставляя выражения (3.4) и (3.5) в правую часть равенства (2.9) и раскрывая определитель, получим после очевидных ал гебраических сокращений
cos Зре = -щ- [ 4 е ^ е « - exxylz — гууу2гх —
— ЕггУху УхуУугУгх]-
Сопоставляя полученное равенство с равенством (1.21), имеем
cos Зро = |
cos ЗР8 и, |
поскольку Зр0 « 180° и |
ЗРе < 180°, Зра = |
= зре, |
откуда р0 = |
рг, что доказывает соответствие вида напря |
|
женного состояния |
виду деформации, если |
удовлетворены ра |
|
венства |
(3.3). |
|
|
Можно также показать математически, что если удовлетворены равенства (3.3), то и главные оси напряженного состояния должны совпадать по направлению и индексу с главными осями деформа ции.
Заметим, что при обозначении (2.7) равенство (3.1) прини мает вид
1 — 2|х |
3/7 |
(3.6) |
|
ЕХХ + Еуу + е22 — ---- 2(1 + 1*) |
G |
||
|
Принимая во внимание это равенство и равенства (1.22), можно привести выражения (3.4) к виду:
(3.7)