книги / Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов

Выражение, стоящее в левой части этого равенства, оказы­ вается совершенно аналогичным выражению (1.20) интенсивности еI малой деформации через ее главные компоненты. Это выражение называют интенсивностью главных логарифмических деформаций или интенсивностью итоговой деформации, а выражения In р х/р0, In р2/р0 и In ра/р0 называют главными логарифмическими дефор­ мациями или компонентами итоговой деформации.

В случае малой деформации:

тельно, и их логарифмы (1.56) определяют то изменение формы, которое претерпела рассматриваемая частица, выражения (1.56) не теряют физического смысла и в случае сколь угодно большой деформации, не обязательно монотонной.

Остается в силе при конечной деформации и выражение (1.20) ее интенсивности: оно является определенной скалярной (т. е. количественной) характеристикой изменения формы деформируе­ мой частицы и определяет значение степени деформации частицы при однозначном (монотонном) процессе ее формоизменения.

Тем не менее в общем случае конечной пластической деформации материальной частицы тела равенство (1.55), справедливое при идеально однозначных процессах формоизменения, обычно не удовлетворено. Левая его часть, т. е. интенсивность итоговой деформации, оказывается меньше правой, т. е. степени деформа­ ции, определяемой как сумма интенсивностей последовательных малых деформаций, в результате которых фактически осуществля­ ется конечное изменение формы рассматриваемой частицы.

Таким образом, в общем случае конечную деформацию частицы деформируемого тела можно количественно определять двумя численно различными характеристиками: степенью деформации е( и интенсивностью деформации ef. Сопоставляя эти две скалярные характеристики, можно прибегнуть ради наглядности к следую­ щей аналогии: et и е{ могут быть сопоставлены как фактически пройденный путь по пересеченной местности, соединяющий два отдаленных пункта, с кратчайшим по прямой расстоянием между этими пунктами.

Замечая, что при значительном изменении формы частицы объем ее изменяется пренебрежимо мало по сравнению с измене­ ниями ее линейных размеров, можно в пределах практической точности приравнять объем эллипсоида, преобразованного дефор­ мацией из начальной элементарной сферы, объему этой сферы,

полагая 4/3(яр1ргРз) = 4/3(яро), откуда

т. е. равенство (1.18) в случае конечной деформации можно заме­ нять приближенным равенством

ei е2 ~Ь ез = 0. (1.57)

Равенство (1.57), как аналогичное ему равенство (1.37), называют

В случае монотонной деформации, как это следует из равен­ ства (1.54) при обозначениях (1.56), v8 = v.

В общем случае конечной деформации, как мы в этом убежда­ емся на конкретных примерах, v8 может существенно отличаться от v, т. е. вид итоговой конечной деформации может существенно отличаться от вида малой деформации, происходящей при пере­ ходе в данную стадию процесса из предшествующей весьма близ­ кой.

9. Измерители способности к конечному формоизменению — пластичности металлов

Состояние твердого металлического тела данного химического состава и структуры, при котором это тело выявляет способность в условиях силового воздействия к необратимому формоизмене­ нию без разрушения, называется п л а с т и ч н о с т ь ю . Под условиями силового воздействия понимается: режим, т. е. тем­ пература и скорость, а также характер, интенсивность прилагаем мой нагрузки и вид возникающего напряженного состояния.

На практике часто смешивают понятие пластичности материа­ лов с понятием их податливости необратимому формоизменению, т. е. способностью деформироваться пластически под действием сравнительно небольших внешних сил. Понятия эти совершенно различны, поскольку одно из них характеризует способность материала выявлять пластическую деформацию (пластически де­

ственных показателей и характеристик способности твердого тела к остаточному формоизменению. При прочих равных условиях (структурные и температурно-скоростные факторы) эта способ­ ность не может быть установлена вне зависимости от вида напря­ женно-деформированного состояния металла. Так, по общепри­ нятым показателям пластичности, определенным на основании испытания металла на простое растяжение, например по наиболь­ шему относительному удлинению (тягучесть) и относительному сужению поперечного сечения (вязкость), можно лишь ориенти­ ровочно судить о способности металла к необратимому формо­ изменению при данных условиях и, в частности, при любом слож­ ном виде напряженно-деформированного состояния.

Если воспользоваться в качестве первого показателя величи­

зать следующее общее суждение: чем больше вр при прочих равных условиях, тем пластичнее металл.

Однако для характеристики пригодности металла к обработке давлением во многих случаях возникает необходимость в устано­ влении его способности предельно устойчиво (равномерно по всему объему), необратимо изменять свою форму, не выявляя при этом местного сосредоточения деформации. Эта способность может измеряться также уже известной нам величиной

8у == In (F0/Fy),

которую можно назвать предельно устойчивой пластичностью металла. Чем выше устойчивая пластичность металла, установлен­ ная при испытании его на простое растяжение, тем выше она будет и при тех сложных видах напряженного состояния, при которых возможно сосредоточение деформации.

Наконец, если иметь в виду различную способность металлов поглощать механическую энергию в необратимой форме, не раз­ рушаясь при пластическом формоизменении, то возникает необ­ ходимость еще в одном показателе. Важной характеристикой металла здесь может служить действительное напряжение, соответ­ ствующее предельно устойчивой деформации оу, определяемое по формуле ау = PmaJFy — oBF0/Fy и характеризующее спо­ собность металла эффективно деформироваться пластически. Та­ ким образом, чем больше абсцисса точки В на диаграмме at—е; и чем меньше ее ордината, тем, при прочих равных условиях, металл способен наиболее эффективно обрабатываться давле­ нием.

Вместе с тем опытные данные убедительно показывают, что один и тот же материал может выявлять различную пластичность в зависимости как от состояния структуры, так и от способа при­ ложения нагрузки.

Глава 2. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ

10. Напряженное состояние материальной частицы

Одною из важнейших задач науки о деформируемом теле дан­ ной формы и материала — будь то решение вопроса о прочном сопротивлении детали внешним силам или же формоизменении полуфабриката при технологической операции — является созда­ ние методики расчета возникающих в теле деформаций и напря­ жений. В формулах этой методики должны найти отражение три тесно связанные между собой стороны задачи: геометрическая, т. е. деформированное состояние тела; механическая, т. е. создаю­ щееся под действием внешних сил силовое взаимодействие его частиц; физическая, т. е. физическая сущность тех явлений, ко­ торые происходят в материале при специфических условиях опыта и которые предопределяют взаимную связь геометрии и механики процесса.

Если ограничиться рассмотрением тех задач, для которых объемные силы, т. е. масса и инерция, пренебрежимо малы по сравнению с внешними силами, то можно воспользоваться отно­ сительно упрощенной рабочей моделью механической сущности процесса, допускающей достаточно четкую математическую фор­ мулировку задачи.

Так, ввиду бесчисленного количества атомов, заполняющих пространственную решетку твердого металлического тела, пред­ ставляется нецелесообразным рассмотрение сил взаимодействия каждого отдельно взятого атома со всеми атомами, его окружаю­ щими. Взамен этого предлагается учет сил взаимодействия сово­ купности большого числа отдельных атомов, располагающихся в данной стадии процесса по одну сторону любого мысленно про­ веденного в теле сечения, со всеми атомами, располагающимися в той же стадии процесса по другую сторону этого сечения. За­ меняя, таким образом, действительное атомистическое строение металлического тела более простой эквивалентной схемой, мы можем мысленно расчленить это тело на сколь угодно большое число отдельных объемов любой геометрической формы. Внутри каждого из них, как бы малы они не были, все же находится до­ статочно большое число атомов.

Напряженное состояние малой частицы тела может быть за­ дано тремя векторами напряжения, действующими на трех про­ извольно выбранных взаимно перпендикулярных площадках, например на площадках, параллельных координатным плоскостям условно-неподвижной прямоугольной системы координат.

Проекции на три координатные оси вектора напряжения, со­ ответствующего оси ОХ (т. е. действующего на площадку, напра­ вление внешней нормали к которой совпадает с направлением оси ОХ), обычно обозначаются ах, хху и ххг. Аналогично проекции

вектора напряжения, соответствующего оси OY, обозначаются хух, ау и хуг и проекции вектора напряжения, соответствующего оси 0Z, %#, xzy и аг.

Проекции векторов напряжения ах, оу и аг называются нор­ мальными компонентами напряжения или нормальными напря­ жениями. Каждый из них пропорционален нормальной составля­ ющей внешней силы, приложенной к элементу граничной поверх­ ности. Нормальные напряжения считаются положительными, когда вектор напряжения составляет острый угол с внешней нор­ малью к элементу грйничной поверхности. В этом случае нормаль­ ные напряжения называются напряжениями растяжения. Если вектор напряжения составляет с внешней нормалью тупой угол, то нормальное напряжение считается отрицательным, поскольку

вэтом случае проекция на нормаль к элементу граничной поверх­ ности направлена в сторону, противоположную положительному направлению внешней нормали, т. е. во внутрь рассматриваемой частицы тела. Проекцию вектора напряжения на внутреннюю нормаль к элементу граничной поверхности называют удельным усилием. Таким образом, удельное усилие всегда равно по зна­ чению и противоположно по знаку нормальному напряжению и

вотличие от него обозначается буквой р. Так, если вектор напря­ жения, соответствующий направлению оси ОХ, составляет с этой осью тупой угол, то на элемент граничной поверхности, внешняя нормаль к которой параллельна оси ОХ, действует внешняя сила, направленная во внутрь рассматриваемой частицы. В этом слу­ чае нормальное напряжение, соответствующее оси ОХ, отрица­ тельно ах = —рх < 0, а удельное усилие на данный элемент граничной поверхности — положительно, т. е. рх > 0.

Составляющие вектора напряжения, перпендикулярные на­ правлению, которому он соответствует, называются касательными напряжениями или напряжениями сдвига. Эти составляющие обозначаются буквой т с двумя индексами. Первый индекс озна­ чает направление внешней нормали к элементу граничной поверх­ ности, а второй — направление прямой, на которую проецируется вектор напряжения. Так, проекцию на ось OY вектора напря­ жения, соответствующего оси ОХ, обозначают хху. Проекция того же вектора напряжения на ось OZ обозначается хХ2. Каса­ тельную к граничной поверхности, составляющую хху вектора напряжений, считают положительной, если этот вектор соответ­ ствует положительному направлению оси ОХ и составляет острый угол с положительным направлением оси ОY или же если этот вектор соответствует отрицательному направлению оси ОХ и составляет тупой угол с положительным направлением оси ОК.

Напряженное состояние может быть задано матрицей вида

(2. 1)

Впервой строке этой матрицы помещаются проекции на три координатные оси вектора напряжения, соответствующего поло­ жительному направлению оси ОХ. Во второй строке приводятся проекции на те же оси вектора напряжения, соответствующего положительному направлению оси ОУ. В третьей строке — проек­ ции вектора напряжения, соответствующего положительному направлению оси OZ.

Впервом столбце матрицы располагаются проекции на ось ОХ трех векторов напряжения, соответствующих положительным на-

Рис. 8. Схема сил, приложенных к элементарному объему

правлениям трех взаимно перпендикулярных координатных осей. Проекции эти, естественно, считаются положительными, если они совпадают с положительным направлением оси ОХ, и отрицатель­ ными в противном случае. Во втором столбце располагаются про­ екции тех же трех векторов на ось ОУ, а в третьем — на ось 0Z.

В каждый момент процесса деформации любому малому объему (расположенному в рассматриваемый момент времени в пределах габаритов тела) соответствует определенное напряженное состоя­ ние, которое может быть задано матрицей, составленной из девяти численных значений ее компонентов. Эти значения не зависят от геометрической формы данной малой (по сравнению с объемом всего тела) частицы объема, однако в общем случае они зависят от расположения этой частицы в рассматриваемом теле.

Если бы оказалось, что значения всех компонентов напряжен­ ного состояния одинаковы во всех частях тела, то это означало бы, что его напряженное состояние однородно по всему объему. На практике обычно имеет место неоднородное напряженное состоя­

ние деформируемых тел, но, как правило, весь объем тела можно мысленно разделить на достаточно большое число малых частиц так, чтобы в пределах одной частицы напряженное состояние было бы приближенно однородным. Во всяком случае, всегда весь объем деформируемого тела можно разделить на достаточно боль­ шое число малых частиц так, чтобы суммарный объем всех тех частиц, в пределах которых напряженное состояние нельзя счи­ тать однородным, был сколь угодно мал.

Если в данный момент времени некоторая геометрическая точка расположена внутри тела, то всегда можно мысленно выде­ лить такую малую частицу произвольной формы, которая вклю­ чала бы эту точку и в пределах которой напряженное состояние было бы однородным. Допустим, что такая частица имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Эта частица должна находиться в равновесии под действием сил, приложенных к ее граничной поверхности, поскольку силами инерции и массы мы пренебре­ гаем. Сумма проекций на любое направление всех сил, действую­ щих на граничную поверхность частицы, должна быть равна нулю. Тем не менее равновесие такой частицы не имело бы места, если бы все девять чисел матрицы (2.1) были бы выбраны произ­ вольно.

В самом деле, как легко убедиться из элементарного построе­ ния (рис. 8), на такую частицу могли бы действовать вращающие силовые моменты.

При произвольных значениях чисел матрицы (2.1) на рассма­ триваемую частицу действовали бы вращающие моменты:

Мг = xXbbybzbx — ту1ЬхЬгЬу\ Мх = тугЬгЬхЬу — хгуЬуЬхЬг\

Му= х!Xbxôybz — ххгЬгЬуЬх.

Поскольку частица должна находиться в равновесии, эти моменты должны быть равны нулю, а все девять чисел матрицы (2.1) не могут быть произвольными и должны удовлетворять усло­ виям: тху — хух\ хуг = хгу; хгх = ххг. Это значит, что напряжен­ ное состояние определяется не девятью, а только шестью компо­ нентами и может быть задано матрицей вида:

(2.2)

Вектор напряжения на произвольно направленной площадке всегда можно определить из условия равновесия некоторой мы­ сленно выделенной частицы напряженного тела, ограниченной элементом этой площадки и тремя гранями, параллельными коор­ динатным плоскостям.

11.Уравнения равновесия

Вобщем случае все шесть компонентов напряженного состоя­ ния переменны по объему деформируемого тела. Тем не менее закон изменения шести компонентов напряженного состояния непроизволен, и переменные значения этих компонентов должны удовлетворять некоторой системе дифференциальных уравнений, которую называют системой уравнений равновесия. Выведем эти уравнения. Выделим из объема деформируемого тела некоторую

Рис. 9. Напряженное состояние элементарного объема

частицу с геометрическим центром в точке М, в которой известны значения . всех шести компонентов напряженного состояния (рис. 9). Допустим также, что эта частица имеет форму прямоуголь­ ного параллелепипеда с ребрами, параллельными координатным осям, и что она относительно мала, но все же не настолько, чтобы в пределах ее объема напряженное состояние можно было бы счи­ тать однородным.

Пусть Ьх, Ьу, Ôz — длины ребер рассматриваемого паралле­ лепипеда. Пусть компоненты напряженного состояния переменны по объему тела и могут быть заданы как непрерывные функции от координат любой геометрической точки в теле и, в частности, точки М. В таком случае в геометрическом центре той грани параллелепипеда, внешняя нормаль к которой совпадает с поло­ жительным направлением оси ОХ, компоненты напряженного