книги / Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов

В силу этих равенств и равенств (1.9) получим после преобразо­ ваний:

X - X „ = ( x - x M)(l - * £ ) - ( у - у ы) * Ь - ( г - г ы) - ?£-;

Z - Z „ = - (x - x M) - ^ - - ( y - y M) - ^ + ( z - z u)( 1

( 1. 10)

Мы получили выражения (1.10) начальных координат (X, Y, Z) произвольной материальной точки в окрестности заданной ма­ териальной точки М в зависимости от ее текущих координат (z, у> z).

Подставляя выражения (1.10) в левую часть равенства (1.8), получим уравнение геометрического места материальных точек в деформируемом теле, располагавшихся до деформации на по­ верхности сферы малого радиуса р0. Это уравнение, после неко­ торых преобразований и отбрасывания пренебрежимо малых слагаемых можно привести к следующему виду:

парой материальных точек, расположенных на одной из главных

Обозначим р длину вектора, соединяющего центр эллипсоида (1.11) с произвольной точкой на его поверхности. Пусть ос*, ау, <*г — направляющие косинусы этого вектора. Тогда составля­ ющие вектора, т. е. разности х — хм, у — у„ и z — zM, опреде­ лятся равенствами:

х — хи= рос*; у — уы = (Kty, z — z„ = рос*.

При этих обозначениях, принимая во внимание равенства (1.7), приводим равенство (1.11) к виду

Главным осям эллипсоида соответствуют экстремальные (мини­ мальные или максимальные) значения левой части равенства (1.12) при условии

Определение этих экстремальных значений приводит к решению следующей системы алгебраических уравнений:

на аг, затем сложим почленно полученные три равенства и примем во внимание равенства (1.12) и (1.13). В результате мы убедимся,

что А, = ро/р2, т. е. равняется одному из экстремальных значений этого отношения.

Замечаем, что при малой деформации с точностью до малых

величин высшего порядка ро/р2 = 1—2ет , где еот = (р — р0)/Ро — искомое экстремальное относительное изменение расстояний между материальными точками, расположенными на главной оси эллип­ соида (1.11), и приводим систему уравнений (1.14) к общеизвест­ ному виду:

Условие совместности этих трех равенств приводит к куби­ ческому уравнению относительно неизвестной гт

(ех* em) {&уу ет) (ezz ®т) — (едсдг — ет) "J'YÿZ

— (е„„ — ет) ^ у** — (е22 — ет) -j-Yw + - | Y*»Yi«Y» = 0. (1.16)

Три корня этого уравнения, т. е. три возможных значения ет , удовлетворяющие уравнению (1.16), называют г л а в н ы м и к о м п о н е н т а м и м а л о й д е ф о р м а ц и и рассматри­ ваемой частицы тела (т. е. материальной частицы тела, располо­ женной в окрестности материальной точки М) и обозначают elt е2, е3, полагая

^ 82 ^ 83. (1.17)

При малой деформации главными компонентами называют относительную деформацию в! наиболее удлинившегося матери­ ального волокна частицы, е3 наиболее укоротившегося ее волокна

ие2 в направлении, перпендикулярном данным двум. Значения главных компонентов малой деформации всегда

можно вычислить, если известны значения шести компонентов этой деформации относительно принятой координатной системы. Для этого следует сначала определить три величины, которые так же, как и главные компоненты, зависят только от изменения формы частицы и не зависят от ее ориентации и называются тремя инвариантами деформации.

Первым инвариантом деформации называется относительное изменение объема частицы

где W, Wо — соответственно объем и исходный объем данной частицы в деформированном состоянии тела. Эта величина выра­ жается в зависимости от значения компонентов деформации из­ вестными в теории пластичности равенствами;

Вторым инвариантом деформации называется ее интенсив­ ность г{, которая количественно характеризует степень изменения формы рассматриваемой частицы и выражается в зависимости от компонентов деформации:

Итак, если в пределах данной рассматриваемой частицы деформируемого тела известны компоненты малой деформации относительно принятой координатной системы, т. е. если по известным производным перемещений по координатам вычислены (1.7) значения ехх, е№, ггг, уху, ууг, у2Х, то всегда можно опреде­ лить значения (1.23) главных компонентов деформации, вычислив предварительно относительное изменение объема рассматривае­

мой частицы интенсивность деформации е,- и характери­

стику ее вида ре (или ve). Для этого следует произвести последо­ вательные вычисления по формулам (1.18), (1.19), (1.21), (1.22), (1.23) и (1.24).

При вычислении угла 30е по формуле (1.21) необходимо при­ нять 0 < ЗРЕ < 180°.

Значение правой части равенства (1.21) всегда ограничено пределами от —1 до + 1 . Следовательно, 0 < ре < 60°. Подставив это значение в правую часть равенства (1.23), получим значения главных компонентов деформации, удовлетворяющие неравен­

т. е. те случаи, когда относительные изменения расстояний между материальными точками тела предполагались заведомо малыми по сравнению с единицей. Тем не менее на практике, например в задачах по обработке материалов давлением, часто приходится иметь дело с случаями, когда расстояния между некоторыми па­ рами материальных точек в деформируемом теле изменяются значительно, т. е. увеличиваются или уменьшаются в два и более раза.

Естественно, что некоторые допущения, принятые нами выше при изложении основ теории малых деформаций, для случая конечной деформации окажутся неприменимыми, другие из этих допущений останутся в силе и в случае конечной деформации. Например, как малая, так и конечная деформация всего рассма­ триваемого тела в целом, как показывает опыт, в большинстве случаев оказывается неоднородной. Но при этом большую часть объема тела, претерпевшего малую или конечную (значительную) деформацию можно мысленно разделить на частицы так, чтобы в пределах каждой отдельной частицы были бы с практической точностью удовлетворены все условия однородности деформации, а именно: любой прямолинейный отрезок внутри такой частицы до деформации сохраняет в пределах практической точности пря­ молинейность и после деформации, а плоские сечения остаются плоскими после деформации; параллельные прямолинейные от­ резки и параллельные плоские сечения данной частицы тела остаются параллельными и после деформации; длина двух парал-

Такая поверхность, как известно, может быть только поверх­ ностью эллипсоида. Главные оси этого эллипсоида назовем глав­ ными осями деформации рассматриваемой частицы деформи­ руемого тела.

Пусть Рх > р2 > р3 — длины главных полуосей эллипсоида, преобразованного деформацией из начальной сферы радиуса р0. Расстояние между любой парой материальных точек в окрест­ ности точки М, расположенных после деформации на прямолиней­ ном отрезке, параллельном большой оси эллипсоида, должно было увеличиться за счет деформации в отношении рх/роРасстоя-

В0

Рис. 5. Построения на эллипсоиде, преобразованном деформацией из сферы

ния между парами материальных точек, расположенных на от­ резках, параллельных средней и малой полуосям эллипсоида, должны были соответственно измениться за счет деформации в отношениях р2/р0 и р3/р0.

Большую главную ось эллипсоида, преобразованного из на­ чальной малой сферы, мы будем называть первой главнай осью деформации; среднюю главную ось этого эллипсоида назовем второй главной осью деформации, а малую — третьей главной осью деформации.

Следует отметить, что если мы выделим мысленно внутри некоторой части тела, претерпевшей однородную конечную де­ формацию, материальную частицу, имеющую форму прямоуголь­ ного параллелепипеда с ребрами, параллельными главным осям деформации, то окажется, что такая материальная частица и до деформации должна была иметь форму прямоугольного паралле­ лепипеда. В этом можно убедиться из следующих соображений. Пусть точки А, Б, В являются точками пересечения главных осей эллипсоида, преобразованного деформацией из сферы радиуса р0, с его поверхностью. На рис. 5 мы видим сечение этого эллипсоида плоскостью, проходящей через большую и малую его оси. Поэтому направления большой полуоси MA и малой полуоси МВ совпа-

38

дают с плоскостью чертежа, а средняя полуось МБ перпендику­ лярна плоскости чертежа. Напишем уравнение сферической по­ верхности радиуса, равного малой полуоси эллипсоида МВ = р3, центр которой в деформированном теле совпадает с материальной точкой М:

Если подставить в левую часть этого равенства выражения (1.25), то получим уравнение эллипсоида, на поверхности кото­ рого располагались до деформации материальные точки, распо­ ложенные после деформации на поверхности сферы (1.31). Отрезки прямых, соединявших до деформации точки пересечения главных осей этого эллипсоида с его поверхностью, должны были в итоге всего процесса деформации претерпеть экстремальные изменения длины, и, следовательно, эти отрезки прямых должны после деформации совпасть с главными осями итоговой деформации. Поскольку главные оси эллипсоида всегда взаимно перпенди­ кулярны, то прямоугольный параллелепипед с ребрами, парал­ лельными главным осям итоговой деформации, должен был и до деформации иметь форму прямоугольного параллелепипеда.

Однако в случае значительной деформации нет основания утверждать, что этот параллелепипед и в промежуточных ста­ диях процесса формоизменения рассматриваемого тела должен был оставаться прямоугольным. Наоборот, экспериментальные исследования процессов конечной деформации показывают, что материальная частица, имеющая в данной стадии процесса де­ формации (например, в конечной стадии) форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными главным осям ито­ говой деформации, т. е. с главными осями эллипсоида, преобра­ зованного из начальной сферы, хотя и должна была иметь форму прямоугольного параллелепипеда до деформации, в промежуточ­ ных стадиях процесса формоизменения могла представлять собой косоугольный параллелепипед1.

Это обстоятельство в значительной мере затрудняет изучение конечной (значительной) деформации тел и вызывает необходи­ мость во многих случаях рассматривать процессы конечной деформации как совокупности последовательных малых дефор­ маций. И это, несмотря на то, что отношения pjpo, р2/р0 и р3/р0 (длин plt р2, р3 полуосей эллипсоида, преобразованного деформа­ цией из начальной элементарной сферы к радиусу р0 этой сферы) определяют то изменение формы, которое должна была претер­ петь малая материальная частица в окрестности любой данной точки М за весь предшествующий данному моменту процесс своей конечной деформации^

1 Данное явление имеет место, в частности, в том случае, когда плоская де­ формация осуществляется путем параллельного сдвига слоев.