книги / Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов

6/2

P = 2L jp*dy,

(7.20)

где L — длина обжимаемой

полосы;

b — ее ширина.

силу

При у =

Ы2 можно условно

считать

ру = 0.

Тогда в

равенства (7.12) рг = 2a{IŸ~3. Равенство

(7.18)

принимает

вид

|п Л +

- Х - =

|" ( т 7 Г <’<) +

- Г '

откуда для

зоны

Кулонова

трения

1

К З

Рг

_

f(b-2y)

(7.21)

2

а/

9h

На границе с зоной Прандтлева

трения

рг = o JfY 3.

Соответствующее значение

координаты

у —уГ определится

равенством

(7.21),

в

силу которого

In 2/

НЬ-2уг)

h

откуда

^ г = 4 — г

1пж

(7-22)

При рг = OilfV3.

принимает вид

Равенство (7.19) для зоны Прандтлева трения

т. е. для этой

зоны

(при

у < уГ)

Ot

(7.23)

Рг = п

Решая

равенство

(7.21) относительно рг для зоны Кулонова

трения

(т. е.

при

у

> уГ),

имеем

Р, = -

* •

Р-24)

f

ф

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

ф

Фг

Ф

Фг

ф

Фг

Ф

Фг

Ф

Фг

Ф

Фг

Ф

Фг

0

1,000

1,000

1,000

1,000 ,

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

,

1,025

1,017

1,037

1,025

1,050

1,033

1,062

1,042

1,075

1,050

1,087

1,058

1,100

1,067

2

1,050

1,033

1,075

1,050

1,100

1,067

1,125

1,083

1,150

1,100

1,175

1,117

1,200

1,133

3

1,098

1,050

1,151

1,075

1,208

1,100

1,268

1,125

1,332

1,150

%1,398

1,175

1,438

1,200

4

1,142

1,067

1,223

1,100

1,312

1,133

1,410

1,167

1,510

1,200

1,580

1,233

1,620

1,267

5

1,186

1,102

1,297

1,156

1,423

1,212

1,563

1,271

1,675

1,331

1,751

1,394

1,793

1,459

6

1,231

1,137

1,375

1,212

1,544

1,292

1,517

1,377

1,840

1,469

1,920

1,566

1,964

1,612

7

1,278

1,171

1,459

1,268

1,676'

1,374

1,870

1,490

2,004

1,617

2,088

1,707

2,132

1,752

8

1,328

1,205

1,551

1,325

1,813

1,460

2,028

1,610

2,169

1,759

2,255

1,843

2,301

1,889

9

1,380

1,240

1,650

1,385

1,955

1,551

2,187

1,740

2,334

1,890

2,422

1,976

2,468

2,032

часть равенства (7.27), получим

в общем

случае

обжатия тел

с односвязным контуром в плане

cos (180° — зрср) =

AnFphplh

4KF0

5 î[ l +

- ' )

]

4nF„

S« ( *

h0

Sf,

h

(7.29)

4nF„

4nF0

5?

S*

для данного

материала при

e i “

=

cos (60° — рср)

~

'

(7.30)

где рср определяется из равенства (7.27) или (7.29).

когда

Понятно,

что в

случае

обжатия круглого

цилиндра,

рср = 60°, е{ определится

по формуле

(7.3).

Ф = 4F/(Sh).

(7.31)

фициентом трения

/, найдем в табл.

9 значения двух

функций

Ф (ф, /)

и фх (ф, /).

Значение коэффициента kf в общем случае односвязного кон­

тура можно

вычислять по формуле

kf = 1 Ь +

(Ф - Фт) cos (180° -

Зрср)] со* ^ т Ш

. .

(7.32)

При рср = 60° (случай обжатия круглого цилиндра)

формула

приводится

к

известному

для

этого

случая равенству

^

=

Ф1 = Ф (ф> /)•

При

рср =

30°

и cos (180° — Зрср) = 0;

cos (Рср — 30°) = 1

(случай

обжатия

длинной

полосы)

формула

(7.32)

приводится

к формуле

(7.25).

Пример 4.

Требуется рассчитать

усилие

горячего

осаживания

поковки

прямоугольного

поперечного сечения

L = 500

мм, Ь0 =

320 мм

высотой h0 =

= 120 мм до h =

80 мм. Вычисляем:

F0 = L0b0 =

500-320 =

160000 мм2;

S0 = 2L0-}- 2Ь0 =

1640 мм.

По формуле

(7.4)

имеем

F « 160 000-120/80 =

240 000' мм2.

S = So У

1 + 0,7476

----- t )

=

1922,2 мм.

По формуле (7.27) имеем:

cos (180° - Зрср) = i f

=

= cos 34» 56'

= 0,8198; Зрср = 180» -

— 34» 56' =

145» 4'

и рср = 4 8 ° 21'20*.

(близко к простому сжатию).

По формуле (7.31)

находим

4F

4-240 000

6.27.

ф ~ SA

=

- 1922,2-80

сумме

двух

крайних главных компонентов деформации, т. е.

когда

еа =

(ех + в3)/2.

других,

т. е. о 2 = (ох + о8)/2.

И,

наконец, ч и с т ы м с д в и г о м мы называем такой

нулю, а две другие главные

деформации

равны друг другу, но

противоположны по знаку, т. е. е2 =

0;

ех = —е3.

о х =

Главные

компоненты напряженного

состояния о 2 = 0;

Объем малой сферы при [чистом сдвиге

не меняется,

гидро­

статическое

давление

равно

нулю.

а г =

Наложение

на напряженное состояние чистого сдвига

= + к; а 2 =

0;

<т3 =

—к (где к — некоторая заданная величина)

положительного гидростатического давления

= к — Др; <т2 =

z = Z\ r = R; 0 = 0 - ) - Z<p/L,

8 1

( . )

где L — расчетная длина

закручиваемого стержня;

<р — пере­

менный во времени' угол

закручивания.

равенств:

X = R cos 6;

Y = R sin6,

x = rcos0;

# = rsin0.

В результате получим зависимости текущих

координат от

начальных:

x = Rcos ( в + -4"ф )

= X cos

<р — Y sin

ч>;

y = * R s in ( в + - |- ф )

= X sin —j—(p -f- K cos —j—<p;

(8.3)

7

7

X — xrcos —

<р -f у sin -j- ф;

Y = ^

с о б - ^

- ф — x sin -^ - ф ;

(8.4)

Z

Z

Z = z.

Если ф — известная

функция от времени

t, то выражения

равны:

= -§r [ *

cos - f - ф -

Y sin

ф] ;

vy=

~ВГ [Уcos ~Г Ф +

Х sin Т " Ф] ’

(8.5)

vz =

о2= 0.

Так как

0, от

времени

зависит только

-4 ф,

который

является функцией одного аргумента t, получим:

v*= — [ X

s l n ^

+ r c

o

s ^

J - f ^

;

= [Хсов-^-Ф -

Г sin 4 - ф ]

- i - ÿ - ;

(8 .6)

V, =

0.

Подставляя в правые части (8.6) выражения X,

Y, Z из (8.4),

после очевидных

сокращений

имеем:

«

_ ___E - J l.-

и -

J l- J î- -

,, — П

/»7\

V* ~ ~

L

d t ’

иУ ~~ L

d t ’ V* ~

~

(°-7'

Выражения компонентов тензора скорости деформаций после

подстановки

значений

vx, vy

и vz из (8.7) примут вид:

dq>

у

dq>

:

•

0. (8.8)

Ъг

L

d t

Ъг

= -? — г -

6ex. =—е,ey. = еez. =—Vуху... ==

L

d t