книги / Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов

девиатора напряжений, как и возможность использования равенств (4.43) и (4.44) для нахождения значений заранее неизвестных па­ раметров в выражениях (4.39) и расчета самих напряжений, имеет место вне зависимости от вариационных методов решения задач. Что касается так называемых прямых вариационных мето­ дов (т. е. использование уравнений Эйлера—Остроградского) в применении к задачам обработки металлов давлением, то этот вопрос в настоящее время еще недостаточно доработан, чтобы можно было рекомендовать широкое применение этих методов в инженерных расчетах.

Таким образом, необходимо подчеркнуть очевидность прогрес­ сивной роли внедрения вариационных методов в практику рас­ четов процессов обработки металлов давлением, а также следует отметить, что вариационные методы решения этих задач при исклю­ чительной трудоемкости решений не отличаются какими-либо особыми преимуществами в смысле научной строгости по сравне­ нию с другими методами. Эти методы не могут претендовать на абсолютную универсальность их применения и в ряде конкретных случаев другие методы дают возможность избежать, тех относи­ тельно громоздких вычислений, с которыми неизбежно связано применение вариационных методов расчета.

Глава 5. ИНЖЕНЕРНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ СМПД

5. Особенности постановки задач методами СМПД

Как в своей постановке, так и в методах решений задачи ко­ нечной пластической деформации металлов представляют, как правило, значительные, существенные затруднения.

Так, при самой общей постановке задачи пластического фор­ моизменения тела, в мысленно выделенной его материальной частице не представляется возможным установить определенной связи между напряжениями и деформациями или между напря­ жениями и скоростями протекания деформации. Если, как это следует из современного учения о конечной пластической дефор­ мации, направления главных осей и вид напряженного состояния выделенной материальной частицы в большинстве случаев дефор­ мации совпадают с направлениями главных осей и видом тензора (определенной совокупности векторов) скорости деформации, то интенсивность напряженного состояния частицы зависит не только от интенсивности скорости деформации, но и от интенсивности итоговой (за весь предшествующий процесс) деформации, от сте­ пени деформации и температуры.

Таким образом, для того чтобы судить о напряженном состоя­ нии, следует в самом общем случае определить в выделенной мате­ риальной частице компоненты деформации и ее скорости, стадию

и степень деформированного состояния, что чрезвычайно услож­ няет решение задачи.

Отсюда стремление исследователей ценой принятия тех или иных упрощающих допущений найти пути решения задачи, если не для общего случая, то по крайней мере для наиболее практически важных частных случаев, и получить хотя бы приближенное решение задачи возможно простыми, реально осуществимыми средствами. В соответствии с многообразием условий каждой конкретной задачи и выбором различных упрощающих допущений, возникает ряд разнохарактерных методов их решения. Факторы первостепенной важности в условиях одной задачи становятся второстепенными, пренебрежимыми в условиях другой; допуще­ ния, закономерные для одного случая, становятся неприемлемыми для другого и т. д.

Вместе с тем необходимо отметить, что несмотря на неизбеж­ ность при решении задачи методами СМПД принятия ряда упро­ щающих допущений, все же некоторые теоретические выводы, относящиеся' к решению этих задач, должны быть строго увязаны с основами механики сплошных сред и даже более строго, чем это имеет место, например, в выводах основных уравнений теории упругости.

Дело в том, что поскольку в задачах СМПД приходится рас­ сматривать конечные (значительные) деформации, то прежде всего возникает необходимость строгого разграничения понятий о на­ чальных и текущих координатах, т. е. понятий о переменных Лаг­ ранжа и Эйлера, принятых в механике сплошных сред (см. гл. 1 и 2).

Начальными координатами или переменными Лагранжа назы­ вают координаты (относительно принятой ортогональной, прямо­ линейной или криволинейной, т. е. декартовой, цилиндрической или сферической системы координат) геометрической точки, с ко­ торой совпадал рассматриваемый материальный элемент (матери­ альная точка) физического тела, в некоторый определенный, пред­ шествующий рассматриваемому моменту времени (например, в на­ чальный) момент процесса деформации.

Текущими координатами или переменными Эйлера называют координаты относительно той же системы координат геометриче­ ской точки, с которой совпадает данная материальная точка в рас­ сматриваемой стадии процесса деформаций (и движения) физиче­ ского тела.

В теории упругости условия равновесия (статические условия задачи) выводятся по отношению к элементарному объему напря­ женного, а следовательно, уже деформированного тела. Отсюда все выводы теории упругости, касающиеся статической стороны задачи, можно считать абсолютно строгими только при допущении, что они относятся к координатам тела в его напряженно-деформи­ рованном состоянии. Что касается геометрических соотношений, которые выводятся в теории упругости, то все они, безусловно,

относятся к координатам тела в его первоначальном недеформированном состоянии. При выводе этих геометрических соотноше­

после деформации; выводят зависимости между производными составляющих перемещения их, иу и иг по первоначальным коор­ динатам точки, т. е. координатам ее в недеформированном состоя­ нии тела. Итак, здесь известная неувязка заключается в том, что мы пользуемся основной системой уравнений, в которую входят, с одной стороны, уравнения равновесия, построенные на коорди­ натах х, у, г материальной точки деформированного тела, а с дру­ гой — уравнения сплошности, в которые входят координаты тела в начальном состоянии.

Таким образом, в уравнениях равновесия обозначениям х, у, г по существу приписывается смысл переменных Эйлера (те­ кущих координат), а в уравнениях сплошности тем же обозначе­ ниям приписывается смысл переменных Лагранжа (начальных координат).

Полученная система основных уравнений теории упругости может быть безоговорочно использована только в тех случаях, когда перемещения малы по сравнению с размерами тела. В про­ тивном случае эта система уравнений теряет смысл, и при решении задач, связанных с рассмотрением относительно больших пере­ мещений, приходится прибегать к различным уточнениям. Уточ­ няя основную систему уравнений теории упругости, различные авторы пошли двумя различными путями.

Во-первых, при решении задач, для которых перемещения нельзя считать малыми по сравнению с размерами исследуемого тела, ряд авторов предпочитает принимать за независимые пере­ менные координаты материальной точки тела в его первоначаль­ ном недеформированном состоянии. Так, одни из них преобразуют уравнения равновесия элементарного объема путем замены пере­ менных, переходя от координат тела в его напряженно-деформи­ рованном состоянии к координатам начального состояния тела. Другие при этом уточняют и выводы геометрических зависимо­ стей, т. е. уравнений сплошности, отбрасывая допущения в том, что перемещения малы по сравнению с размерами рассматривае­ мого тела, а их производные по координатам малы по сравнению с единицей. Таким образом, получают уточненную систему основ­ ных уравнений теории упругости, относительно громоздкую по написанию, но свободную от обычно свойственной ей неувязки.

Во-вторых, другие авторы оставляют уравнения равновесия в том виде, в каком они были выведены в классической теории упругости, и идут по линии преобразования уравнений геометри­ ческой зависимости, т. е. уравнений сплошности, переходя от координат первоначальных к координатам текущим — коорди­ натам точки в деформированном теле. Последние и принимаются за независимые переменные.

зывается и формулировка граничных условий задачи. Последние не всегда могут быть сформулированы при применении первых двух путей решения задач. Характерно, что при третьем пути решения задач конечной пластической деформации остается в силе закон парности касательных напряжений (хху = т^), который, как известно, не удовлетворяется в случае первого пути решения, поскольку поверхности постоянных значений переменных Лаг­ ранжа в деформированном теле образуют координатную сетку, не обладающую свойством ортогональности. Вопрос о возмож­ ности использования третьего пути решения практических задач конечной пластической деформации еще недостаточно разра­ ботан и относится к проблемной тематике СМПД.

Как всякая прикладная дисциплина, СМПД использует раз­ нообразные упрощающие допущения, а следовательно, и разно­ образные приемы постановки и решения задач конечного пласти­ ческого формоизменения материалов. Основным предметом этой дисциплины являются анализ и научное обоснование правомер­ ности выбора в каждом конкретном случае в зависимости от усло­ вий задачи тех или иных упрощающих допущений и изложение вытекающих отсюда методов решения задач, построенных на раз­ личных, оригинальных приемах исследования. Здесь под право­ мерностью выбора тех или иных упрощающих допущений подра­ зумевается отсутствие противоречия с основными началами меха­ ники деформируемого тела, а под различными приемами — раз­ нообразные современные приемы исследования (например, по искажению сеток, методом микроструктурного анализа, с помощью характеристических кривых, методом вариации работы формо­ изменения и др.).

Остановимся на рассмотрении особенностей анализа, применя­ емого в двух основных наиболее крупных классах задач (горячая

ихолодная обработка металлов давлением), к которым СМПД относит большую часть задач, выдвигаемых практикой. Известно, что горячая обработка металлов давлением, к которой относятся многочисленные операции свободной ковки, ковки в подкладных штампах, облойная и безоблойная штамповка и пр., играет огром­ ную роль в технологии машиностроения.

Выше мы уже видели, что общая постановка задачи пластиче­ ского формоизменения твердых тел и ее теоретическое решение,

втом числе и общая задача горячего пластического формоизмене­ ния металлов представляют затруднения. Однако ввиду того, что при температурах ковки деформационным упрочнением металла можно пренебречь, при анализе горячих процессов принимается первое упрощающее допущение о независимости интенсивности напряженного состояния о; от итоговой деформации.

Принимая далее во внимание, что влияние скорости деформации

итемпературы на огг может быть учтено усредненно по объему деформируемого металла, приходим ко второму упрощающему допущению, что в{ можно полагать в любой рассматриваемый

Во-вторых, при приближенном решении задачи можно избе­ жать рассмотрения протекания процесса во времени, и вместо компонентов скорости деформации можно рассматривать компо­ ненты малой деформации, происходящей за малый промежуток времени dt перехода процесса формоизменения частицы в данную (например, конечную) стадию из предшествующей близкой. В са­ мом деле, компоненты малой деформации заведомо пропорцио­ нальны соответствующим компонентам скорости деформации, поскольку каждый из них равен произведению соответствующего компонента скорости деформации на промежуток времени, в тече­ ние которого происходит эта малая деформация.

В-третьих, задачу изучения неоднородного по объему напря­ женно-деформированного состояния тела во многих случаях ре­ комендуется заменить рассмотрением напряженно-деформиро­ ванного состояния в отдельных зонах этого тела с тем, чтобы в этих зонах можно было его считать приближенно однородным или по­ лагать хотя бы один из трех главных компонентов деформации приближенно постоянным.

Эти три дополнительных фактора упрощения анализа типовой операции горячей обработки металлов давлением, так же как и некоторые другие упрощающие допущения, хотя и переводят дан­ ную задачу в категорию задач практически разрешимых, приводят к громоздким расчетным формулам. В таких случаях рекоменду­ ется обозначать буквами входящие в эти формулы отдельные вы­ ражения и составлять заранее специальные таблицы значений этих выражений.

Потребное усилие формоизменения может быть практически вычислено по простейшей формуле как площадь проекции дефор­ мируемого тела на плоскость, перпендикулярную движению ин­ струмента, умноженное на усредненное по объему значение а( и на коэффициент k$, зависящий от геометрии процесса и вычисля­ емый также с помощью заранее составленных таблиц.

Переходим к анализу процессов холодной обработки металлов давлением.

Поскольку большинство металлов обладает в холодном со­ стоянии ярко выраженным свойством деформационного упрочне­ ния, то при анализе напряженного состояния металлического тела, претерпевающего значительную пластическую деформацию на холоду, приходится учитывать переменность интенсивности его напряженного состояния а{(его сопротивляемость деформации) по всему объему.

Упрощающим фактором при решении многих задач холодной обработки металлов давлением является выраженное превалиро­ вание свободных поверхностей деформируемого металла над по­ верхностями, контактирующими с инструментом, благодаря чему из любой точки большей части деформируемого тела (например, металлического листа) оказывается возможным восстановить нормаль на его свободную поверхность. Отсюда значительно

облегчается приближенное определение направлений главных осей напряженного состояния.

Одно из трех главных напряжений во многих случаях можно считать далее равным нулю или малым по сравнению с двумя другими. В ряде случаев направление главных осей напряженного состояния можно считать известным заранее, что позволяет судить о практической приемлемости существенного упрощающего допу­ щения. Этим существенным допущением является допущение о монотонности (идеальной однозначности) протекания процесса деформации отдельных частиц деформируемого металла, позволя­ ющее воспользоваться формулами первого раздела книги.

При приближенном анализе процессов холодной обработки металлов давлением помимо допущения о монотонном протекании процесса принимаются некоторые добавочные допущения, позво­ ляющие привести задачу к численному интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Так, при анализе процессов осесимметричной листовой штам­ повки за независимый аргумент может быть принята длина дуги вдоль линии меридионального сечения поверхности контакта дефор­ мируемого листа с инструментом или сечения срединной поверхно­ сти. Искомыми переменными являются при этом главные логариф­ мические деформации и главные напряжения на двух противопо­ ложных поверхностях или же только на срединной поверхности.

При составлении системы дифференциальных уравнений ис­ пользуют уравнения равновесия и постоянства объема любой мыс­ ленно выделенной материальной частицы тела, а также условие пропорциональности разностей главных напряжений, соответ­ ствующих разностям главных логарифмических деформаций.

Следует заметить, что при решении систем обыкновенных диф­ ференциальных уравнений не рекомендуется во всех случаях добиваться нахождения решений в замкнутом виде, поскольку обычно это приводит к необходимости принятия дополнительных упрощающих допущений и к излишней громоздкости окончатель­ ных формул. Как правило, предпочитается отработка по возмож­ ности простых приемов численного интегрирования дифференци­ альных уравнений.

В заключение укажем еще на некоторые характерные для дис­ циплины СМПД упрощающие допущения на примерах решения практических задач.

Как в сопротивлении материалов упругим деформациям, воз­ никающим в упругоизгибаемом стержне прямоугольного сечения, так и при его пластическом изгибе обычно принимается, что нор­ мальные сечения остаются плоскими и что изменение длины про­ дольного волокна сопровождается изменением длин поперечных волокон. „

При высоте балки, в несколько раз превышающей ее ширину, изменения длин поперечных волокон предполагаются одинако­ выми во всех направлениях.

Если ширина изгибаемого тела велика по сравнению с высо­ той (лист), то можно допустить, что в направлении ширины листа длина волокон остается неизменной.

При расчете операции обжатия в торец полог.о толстостенного цилиндра мы не учитываем, что его деформация по высоте проте­ кает неравномерно. В целях упрощения мы условно предполагаем, что расположенные на равном расстоянии от оси симметрии во­ локна деформируются одинаково и, наметив некоторую поверх­ ность раздела областей течения материала внутрь и наружу, считаем ее поверхностью кругового цилиндра. Фактически эта поверхность, будучи поверхностью вращения, значительно от­ личается по виду от принятой нами условно, однако это не пре­ пятствует нам с достаточной для практики точностью рассчитать теоретическое усилие, необходимое для доведения обжимаемого цилиндра до требуемой высоты.

Как и в примере расчета пластически изгибаемого стержня — листа, так и в данном примере, геометрически упрощая, схемати­ зируя процесс, мы устанавливаем условие равновесия, если не элементарных объемов, то некоторых мысленно выделенных слоев или отдельных частей формоизменяемого тела. Характерен, на­ пример, прием приведения системы нелинейных зависимостей к линейным путем замены так называемого уравнения пластично­ сти о* = const уравнением вида <тх — <т3 = Ьа% где о? — инва­ риантный полином второй степени от компонентов напряженного состояния; b — коэффициент, изменяющийся в зависимости от вида напряженного состояния в сравнительно небольших пределах.

Выше было упомянуто о сведении числа независимых перемен­ ных к одному, т. е. трехили двухмерной задачи к математически одномерной. Задача приводится к интегрированию системы обык­ новенных дифференциальных уравнений с одним независимым аргументом. Сюда же относится прием приравнивания одного из компонентов напряженного состояния, заведомо зависящего от двух аргументов, произведению двух переменных, из которых каждая зависит только от одного аргумента. Это приводит решение поставленной задачи к интегрированию двух систем обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя различными аргументами, причем каждая из этих систем содержит только один независимый аргумент, а константы интегрирования этих двух систем могут оказаться связанными друг с другом определенными зависимо­ стями, специфичными для данного случая.

6. Примеры постановки некоторых конкретных задач

Анализ малых упругих или упругопластических деформаций сводится в основном к определению напряженно-деформирован­ ного состояния под действием заданной системы внешних сил фи­ зического тела, форма, размеры и механические характеристики которого заранее известны. В этих задачах незначительные