книги / Релятивистские многоволновые СВЧ-генераторы

щие максимумам диаграммы, должны удовлетворять доплеровскому условию

cos 0m ~ р— [1 —•(сùB + /тгАсоБ)/(о], т = 0, 1, 2, . . . , М.

Считая о)в/о) < 1, на условия Icos0ml < l для времени излучения Тизл^ю^изл получаем оценку (4.8).

Сравнение угловых зависимостей амплитуд я- и а-компоневт поляризации показывает, что в главный максимум диаграммы, со-

ответствующий cos 0m ~ д— (1 — озр/со), обе компоненты дают одина- Р|1

ковый вклад, а в побочных максимумах преобладает л-компонента. Этот факт объясняется тем, что интенсивность a-компоненты обус­ ловлена в основном осцилляторным движением частицы, так каЦ

вектор электрического поля Е а лежит в плоскости вращения элек­ трона. Появление побочных максимумов у л-компоненты в значи­ тельной степени связано с конечностью времени излучения, по­

скольку поле Е я возбуждается за счет изменения продольной ско­ рости электрона 1>ц при ограниченном времени существования ча­ стицы в рабочем пространстве. Следовательно, побочные максиму­ мы л-компоненты выражены более явно и существенно превосхо­ дят соответствующую амплитуду а-компоненты.

Угловая зависимость мощности излучения ô-сгустков при g = = 0,44 (рис. 4.8, б) свидетельствует о его недипольном характере, в суммарную мощность дает вклад большое число гармоник цикло­ тронной частоты. Угол 0V, соответствующий излучению на v-й гар­ монике, связан с углом для первой гармоники 0i:

cos 0v = v cos 0i — (v — 1) /Рн-

B численном эксперименте был исследован самосогласованный процесс группировки и коллективного излучения потока с равномер­ ным начальным распределением плотности заряда под действием плоской линейно-поляризованной электромагнитной волны. Диа­ грамма направленности излучения нитевидного потока при g = 0,01 (рис. 4.9, а) показывает, что его характеристики близки к харак­ теристикам излучения отдельной частицы с малой закруткой (см. рис. 4.8). Группировка в потоке имеет характер слабого относи­ тельного сдвига частиц, область существования сгустка £ изл ~ 35, КПД устройства мал (г)е — 0,1 % ).

При больших значениях g процессы в системе меняются. Так, при g = 0,44 диаграмма направленности излучения нитевидного по­ тока (рис. 4.9, б) отличается от таковой для отдельной частицы (см. рис. 4.8), что свидетельствует о сложном характере группи­ ровки (для расчета выбирались параметры, близкие к параметрам реальных установок). Область существования сгустка 5 ИЗл ~ 70. Поляризация излучения имеет некоторые черты поляризации излу­ чения отдельной частицы.

рис. 4.9. Угловые распределения относительной мощности Р (Л и степени круговой поляризации £ (Л излучения электронного потока.

ходе через эту точку меняется знак эллиптической поляризации. Высокие гармоники циклотронной частоты в диаграмме направлен­ ности выражены значительно слабее, чем при излучении отдельной частицы с тем же значением g, что объясняется конечными раз­ мерами образующихся сгустков. При изменении 5 СТ главный мак­ симум диаграммы смещается в соответствии с условием доплеров­ ского синхронизма, меняется также эффективность устройства. Угол падения внешней волны 0о и ток пучка /о слабо влияют на характеристики излучения системы (рис. 4.10, а), жестко задавае­ мые условием циклотронного резонанса. Увеличение тока /о приво­ дит к уменьшению максимума диаграммы направленности, соот­ ветствующего направлению распространения внешней волны. Угол, соответствующий главному максимуму, приближается к питч-углу пучка: tg 0М= g. Этот факт связан с переходом от индуцированного излучения к коллективному собственному и аналогичен эффекту, исследованному в разд. 4.2.

Для рассматриваемого варианта (рис. 4.11, а) усиление значи­ тельно и достигает 50 дБ. Ход кривых EZ (z) и (z) свидетель­ ствует о вращении плоскости поляризации поля при смещении точ­ ки наблюдения вдоль оси z. Это вращение связано со спиральной формой нитевидного пучка. Плоскость поляризации совершает один оборот на циклотронной длине волны кв = 2 TLVJ(ÙB.

Как правило, реальные электронные потоки, используемые в устройствах,— лоливинтовые. Поэтому большой интерес представ­ ляет моделирование процессов в системе со многими взаимодей­ ствующими нитевидными потоками, имеющими различные началь­ ные циклотронные фазы. Например, поток моделировался восемью нитями, движущимися в магнитном поле B Q по спиралям, равно­ мерно распределенным на цилиндрической поверхности радиусом, равным циклотронному. Качественные различия характеристик из-

Рис. 4.11. Продольные распределения электронного КПД г|е (1) и амплитуд поперечных компонент электрического поля Е~ (2) и Е ~ №) на оси системы

Рис. 4.12. Угловые распределения от­ носительной мощности излучения тон­ кого (1) и трубчатого (2) поливинтовых потоков.

g = 0,44; е = 2,4 МэВ; Яст *= 0,64*, L =

= 300; Jo = 0,41.

лучения поливинтового и нитевидного потоков (рис. 4.11, а и б) незначительны. В большинстве случаев это позволяет ограничиться использованием нитевидной модели при анализе физических про­ цессов в системе. Поливинтовой поток на начальном этапе цилинд­ рически симметричен, и в области группировки амплитуды и

Еу нарастают одновременно и монотонно (рис. 4.11, б) в отличии от осцилляторных зависимостей для нитевидной модели. В области насыщения в потоке формируется пространственный сгусток, кото­ рый становится асимметричным, и появляется компонента высоко­ частотного поля, вращающаяся вместе со сгустком. Для нитевид­ ного потока (рис. 4.11, а) такое вращение прослеживается с самого начала области взаимодействия из-за спиральности пучка.

Пренебрегая взаимодействием частиц в направлении, перпен­ дикулярном оси z (излучение релятивистских частиц сосредоточено в узком конусе вдоль направления их движения), можно обобщить результаты моделирования на случай гофрированного кольцевого потока, получающегося при трансляции одной нити по окружности с заданным радиусом, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси z. Диаграмма направленности в этом случае — результат интер­

угол соответственно трубчатого и нитевидного потоков, Е~ — ампли­ туда поля, излучаемого нитевидным пучком в волновой зоне, ть — радиус трубчатого потока, ср — полярный угол в плоскости X O Y .

Это же соотношение можно использовать для анализа излучения трубчатого поливинтового потока. Результат интерференции излу­ чения отдельных участков потока при гь> к — увеличение изрезанности и сужение диаграммы направленности (рис. 4.12, 2). Макси­ мум излучения при этом направлен точно вдоль оси z.

Направленность излучения в дальней зоне имеет большое зна­ чение, поскольку позволяет нужным образом выводить и концен­ трировать энергию во внешнем пространстве. Однако в практиче­ ской реализации сверхмощных лазеров на свободных электронах решающее значение имеет все же возможность концентрации элек­ тромагнитного поля внутри устройства вдали от металлических поверхностей (во избежание их разрушения). Использование свойств излучения релятивистских частиц позволяет организовать самосогласованное взаимодействие пучка и поля в конусе с угловой шириной 1/^, причем электромагнитное поле оказывается прижа­ тым к электронному пучку и существенно убывает уже на рас­ стоянии в десятки длин волн (рис. 4.13).

Для формирования узконаправленной диаграммы и концентра­ ции поля внутри устройства можно использовать антенный эффект, связанный с интерференцией излучения большого числа электрон-

Рис. 4.13. Распределение компоненты электрического поля Е ~ в поперечных

сечениях z — О (a), L[2 (6) и L (в) системы с симметричным поливинтовым потоком.

£ = 0,44; s = 2,4 Мэв; яст = 0,64; J 0 = о,зб; ь = зоо; Еу0 = ю~3; Яя^^Рхо/^в*

пых сгустков, одновременно находящихся в пространстве взаимо­ действия. Считая, что частота в системе задана периодическим сле­ дованием сгустков и соответствует излучению под углом 0 = 0, из выражения (4.7) для первого нуля диаграммы направленности получим

АГ((0 - (Од)/сОд = 1, (Од = СОв/(1 — Pu COS 0д), 0) = © б /(1 - Му

где 0Д— угол, соответствующий этому первому нулю. Если считать

Таким образом, если число оборотов К , совершаемых сгустком в рабочем пространстве, превышает единицу, то диаграмма стано­ вится уже релятивистского конуса А0 ~ 1/*у. Это заметно на диа­ граммах, соответствующих излучению отдельных частиц (последо­ вательностей ô-сгустков) (см. рис. 4.8). На диаграммах (см. рис. 4.9) ширина первого интерференционного максимума 0Д~ l/'Y, поскольку длина сгустка при выбранных параметрах системы мень­ ше одного циклотронного периода. Используя (4.7), можно вычис­ лить отношение потоков в направлении, соответствующем главному максимуму, и к боковым стенкам устройства:

ку при Рц ^ 1 излучаемая и циклотронная частоты связаны соот­

ния относительно слаботочных пучков и налагает жесткие ограни­ чения на разброс скоростей.

4.4. КОГЕРЕНТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКОГО ПОЛИВИНТОВОГО ЭЛЕКТРОННОГО ПОТОКА

В ДИАФРАГМЕННОЙ ЛИНИИ

Как известно [284], в релятивистской электронике с увеличе­ нием энергии электронов растут продольные размеры пространства взаимодействия пучка с электромагнитным полем (как ^2). fe этих условиях представляется необходимым применение открытых волиоведущих систем, обладающих свойством самофильтрации мод [288]. Вдали от тел дифракции электромагнитное поле можно рас­ сматривать как суперпозицию плоских (поперечных) волн. Для обеспечения эффективного взаимодействия с такими волнами во многих случаях желательны криволинейные электронные потоки.

Характерным примером открытого волновода является диафраг­ менная линия. Рассмотрим полубесконечную последовательность круглых диафрагм, пронизываемых узким аксиально-симметричным поливинтовым релятивистским электронным потоком, фокусируе­ мым продольным магнитным полем В 0 (рис. 4.14) [18]. Состав­

ляющие скоростей электронов v±, перпендикулярные магнитному полю, будем считать слабо релятивистскими (рх = VJ C^ 1). В этом случае излучение электронов будет иметь дипольный характер. Предположим далее, что диафрагмы вырезаны в абсолютно погло­ щающих экранах, а расстояние между ними Ь и их радиус а вели­ ки по сравнению с длиной волны излучения. В рамках-этих пред­ положений для описания электродинамической системы пригодна, скалярная формулировка принципа Гюйгенса.

Для представления электронного потока воспользуемся мето­ дом крупных частиц. Невозмущенный Поток в сечении первой диа­ фрагмы будем считать состоящим из ларморовских колец, ведущие центры которых имеют одинаковый радиус го. В свою очередь, каж­ дое кольцо заменяется совокупностью крупных частиц. Электро­ магнитное ноле между диафрагмами будем описывать скалярной функцией R — безразмерной амплитудой электрической компоненты

чением электронов. Предположим, что электромагнитное поле мало меняется на участке Az = b. Соответствующее выражение для Rq+\ получим, учитывая аксиальную симметрию задачи и условие резо­ нанса о (1 — Рн) « сов. Предположим также, что а2/ЬХ < (Ь/а)2. В этом случае принцип Гюйгенса соответствует методу параболи­

Рис. 4.14. Модель усилителя на

медленная фаза крупной частицы на q-й диафрагме с начальной фазой фо; к = e l j ( 2 mcz$}lо).

Уравнения движения для электронов получаем с помощью метода усреднения. При использовании квазиоптического прибли­ жения можно пренебречь движением ведущих центров и считать поле близким к плоской волне, фазовая скорость которой в сред­ нем больше скорости света. Соответствующая постоянная распро­ странения будет определяться набегом фазы поля на каждой диа­ фрагме. Уравнения движения на участке между q — 1 и q диафраг­ мами имеют вид

d$ il d/сц

эквивалентно итерационной схеме решения неоднородного линей­ ного интегрального уравнения. Таким способом численно решалась однородная задача [289] : одним из преимуществ подобного метода является возможность исследования процесса установления моды. Уравнения (4.12) и (4.13) описывают процесс дифракционного

зало, что в открытом волноводе возможно значительное усиление падающей волны (60—70 дБ) (рис. 4 .15). В данном случае элек­ тронный КПД х\в имеет смысл относительных потерь энергий элек­ тронами. Распределение поля на выходной диафрагме (см. рис. 4.14) существенно многоволновое и определяется в основном электронным потоком.

Описанная процедура решения совместных задач теории ди­ фракции и нелинейной электроники позволяет исследовать квазйт оптические многоволновые системы и применима для количествен­ ного анализа процессов как в диафрагменных волноводах, так и в открытых системах другого типа.

4.5. ТЕОРИЯ ЭЛ ЕКТРО Н НО ГО СИ Н ХРО Т РО Н Н О ГО Л А ЗЕР А

Для описания многоволновых процессов в реальных устрой­ ствах, которые, как правило, ограниченны в направлении, перпен­ дикулярном направлению распространения электронного пучка, мо­ жет оказаться полезным другой метод, близкий к ставшему уже традиционным в электронике СВЧ способу расчета электромагнит­ ных полей с помощью разложения по собственным модам электро­ динамической структуры [276, 277]. Рассмотрим вначале общую методику моделирования динамических процессов в интенсивных релятивистских винтовых электронных потоках [290]. Пусть дви­ жение частиц электронного потока описывается уравнением

го и магнитного полей, входящие в уравнения Максвелла. Далее будем рассматривать как наиболее характерные криволинейные потоки при условии гирорезонанса, широко используемые в МЦР [17]. Условие резонанса на п-й гармонике циклотронной частоты

ГДе рф= Уф/с, уф— фазовая скорость волны. Учитывая характер движения, удобно переписать уравнения движения в цилиндриче­ ской системе координат с выделением ведущего центра. Введем радиус R и полярный угол е ведущего центра (рис. 4.16, б). Тогда можно записать

Значения Si, S2 и S$ вычисляются интегрированием по быстрой

фазе 0: фиксируются медленно меняющиеся срт , Рц и рх для всех частиц, а 0 изменяется с постоянным шагом от 0 до 0 + 2я. При этом меняются координаты частиц и их скорости. Для каждого значения 0 определяются Е и Н, вычисляются Si, S2 и 5 3. Исполь­

зование времени в качестве независимой переменной позволяет учитывать возможные возвратное и колебательное движения электронов.

Для решения уравнений движения необходимо знать увлекае­ мые поля Е и Н. Они находятся переходом к системе координат К ', движущейся вдоль оси z со скоростью vz, равной среднему значе­ нию продольных составляющих скоростей электронов, вычисляе­ мых на каждом шаге интегрирования. Такой способ дает правиль­

к устройствам с криволинейными потоками, если поперечные ско­ рости электронов или поперечные размеры системы достаточно ма­ лы, так что можно ограничиться учетом небольшого числа мод вихревого поля, а эффектами запаздывания полей можно прене­ бречь. Увлекаемым полям Е и Н при таких предположениях в движущейся системе координат соответствуют квазистатйческие. В общем случае их находят в дарвиновском приближении 3[265].

Квазистатические уравнения полей записываются через потен­

мально совпадает с вихревым током в неподвижной системе коор­ динат. Ее появление, как и использование кулоновской калибровки, вызвано тем, что для потенциалов получается уравнение Пуассона, методы решения которого хорошо разработаны. Система уравнений

при помощи волноводных мод. Их число определяется конкретной постановкой задачи. Уравнение возбуждения вихревых полей ТМ- й 7\Е-типа содержат скалярные функции — продольные составляю­ щие потенциалов или напряженностей [277]. Ограничимся рассмот­ рением возбуждения поля ТЕ-типа в аксиально-симметричной за­ даче. Для нахождения поля достаточно определить компоненту Нг. Используя условие V EB— 0 и разложение по модам волновода, для