книги / Релятивистские многоволновые СВЧ-генераторы

рис. 4.31) падает возбуждающая волна. Поэтому при рассмотрении процессов в электродинами­

ческой структуре, образованной двумя несимметричными эшелеттами, расположенными навстречу друг другу, для волн с одинаковы­ ми продольными волновыми векторами необходимо различать матрицы типа (4.32), связанные с переотражениями от верхней и нижней решеток.

Переотражения плоских электромагнитных волн на решетках с прямоугольным поперечным сечением элемента периодичности будем описывать методом переразложения [302], представляя поле над решеткой в виде суммы пространственных гармоник

оо

Ограничимся рассмотрением дифракции полей, вектор напря­ женности магнитного поля которых имеет только одну составляю­

допускает уменьшение числа переменных с 2N + M.+ 2 до 2 N + i:

n = 0,, ± 1 , . . dbN. Полученная система (4.39) представима в виде

х + рх — с, что соответствует виду систем, которые по аналогии с интегральными уравнениями называются системами уравнений вто­ рого рода и допускают эффективное решение методо;м усечения.

Вслучае выполнения резонансных условий

’лп

и поля плоского модулированного, электронного -потока на решетке может быть получено путем применения второй формулы Грина к искомой функции, удовлетворяющей уравнению Гельмгольца и со­ ответствующим граничным условиям [302], и к полной системе функций, удовлетворяющих тем же условиям:

$ {vж —и £ } dL - 1 {yAM- uAv>do'

где L — замкнутый колтур, охватывающий площадку о (рис. 4.32). Искомая функция в пространстве над решеткой представляется в

={exp[2^î (®o + o)gsm 4 f — ç /2 ) ] — 1}/{ехр [2ni (Ф0— coqsin W —

—?/2 ) ] — 1 >. Система уравнений (4.40) содержит сингулярность и мало пригодна для численного решения,-поэтому проводится обра­ щение сингулярной части матрицы. Представляя искомое решение

в виде суммы Ап = ап + Ьп, для одного из слагаемых которой мож­ но записать систему уравнений, имеющую аналитическое решение

Система для неизвестных коэффициентов Ьп представима в виде

оо

оо

2 ^пУ)/(Гп — <üq) = Ôg.v, g, V == 0, 1, .

П——0О

получаем систему уравнений относительно комплексных коэффи­ циентов Ст\

оо

Систему уравнений (4.41) называют системой уравнений второго рода. Она допускает эффективное численное решение методом усе­

где T1 и Тп — операторы, представляемые матрицей (4.32) на ре­

шетках 1 и 2; S — оператор синхронного поля; G — оператор сор­ тировки, определяющий, какие волны будут участвовать в следую­ щем порядке переотражения и никакому типу (см. рис. 4.22) отно­

потока; G~ — оператор для волн, направленных против движения потока.

Диаграммы направленности излучения вперед и назад для симметричного случая —

Нв(0)i= vG+а0 + vG+TGa0 + vG+ (TG)2а0+ .. . ,

Нй(0)= vG~a0 + vG-TGao + vG-(TG) 2a0 + ..

для несимметричного —

Нв (0) = 9 С + (а? + a” ) + vÔ+ ( r nGaJ + Tl&aj1) + ...,

H H(0) = ÎG ~ (aj + aj1) +vG~ ( f u Gal0 + TlGaj1) + . . .

Распределение поля внутри системы на значительном удалении от стенок для симметричного случая —

Н(я, у) = Wa0 + WTa0 + W T2а0 + . . . ,

для несимметричного —

Н (х, у) ==W (aï + aï1) + W { î uaj + ГУо1) + . . .

Используя предложенную методику в приближении заданного тока, рассмотрим особенности когерентного излучения релятивист­ ских пучков в электродинамических структурах дифракционных генераторов [305, 306]. Результаты расчетов в самосогласованном приближении, включающем решение уравнений движения (4.36), будут приведены в гл. 5.

4.8. ДИФРАКЦИОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКОГО ЭЛЕКТРОННОГО ПОТОКА

В ОГРАНИЧЕННЫХ СТРУКТУРАХ ВБЛИЗИ АНОМАЛИЙ ВУДА

Рассмотрим следующую теоретическую модель. Пусть элект­ ронный пучок движется вблизи аксиально-симметричной простран­ ственной структуры конечной длины. Предположим, что плотность заряда пучка может быть представлена в виде

лоновскими силами пренебрегаем. Плотность потока считаем не за­ висящей от угловой координаты ф. Пусть также характерные раз­ меры электродинамической структуры удовлетворяют соотношени-

Рис. 4.33. Зависимость амплитуд гармоник дифракционного излучения элект­ ронного потока (п = — 1, —2, —3) и синхронной волны (п = 0) от к при hfl = 0,55, d/Z = 0,059, р = 0,973.

ям (4.28), а периодическая структура имеет прямоугольное попе­ речное сечение (см. рис. 4.30). В этих предположениях заменим аксиально-симметричную структуру плоской и применим метод расчета полей, изложенный в разд. 4.7. Возможность такой аппро­ ксимации связана с тем, что вид дифрагированного поля опреде­ ляется локальными свойствами характерных участков поверхности.

Электронный поток, предварительно промодулированный на частоте со, излучает конечное число плоских электромагнитных волн. Условие существования хотя бы одной излучающейся гармо­ ники — х = ЦК > [V(l + Р) • При х > 2(J/(1 + (}) реализуется многоволновый режим. Характерный вид зависимости амплитуд гармо­ ник дифракционного излучения электронного потока от х приведен на рис. 4.33. При относительно небольшой высоте брусьев (h < Я/4) в зависимости амплитуд гармоник от частоты проявляются в ос­ новном резонансы, связанные с аномалиями Вуда, условие которых

рождению гармоники. Из-за релятивистских скоростей электронно­ го потока условие аномалий Вуда, связанное с исчезновением гар­ моник, реализуется в области слишком больших значений га. Так,

том числа распространяющихся гармоник энергия излучения пото­ ка перераспределяется между всеми излучающимися гармониками, то резонансы при больших значениях х сглаживаются. Следова­ тельно, в отличие от нерелятивйстского случая наиболее выраже-

Например, вблизи точки аномалии Вуда, связанной с рожде­ нием — 3-й распространяющейся гармоники, энергия перераспреде­ ляется между излучающими гармониками таким образом, что в оп­ ределенном узком интервале частот излучение по направлению движения пучка превышает излучение против движения. При

х = ^ан амплитуда — 1 -й гармоники, излучающейся по направле­ нию движения потока, может превышать амплитуду —2-й гармо­ ники (см. рис. 4.33). Характерным масштабом изменения свойств дифракционного излучения по частоте является область

(0,95— 0,99) >4н3) для решеток с малой высотой бруса.

В непосредственной близости к точке аномалии Вуда гармони­ ки дифракционного излучения релятивистского электронного пото­ ка при рождении новой довольно сложно меняются с изменением

между точкой рождения новой гармоники и точкой максимального значения амплитуд гармоник зависит от Z, d, h.

Значение максимума различно для разных профилей решетки. Это можно объяснить следующим образом. Рассмотрим две сосед­ ние ячейки периодической решетки. Электронный поток наводит поверхностные токи на решетке с разностью фаз между ячейками /cZ/р. Условие фазированного сложения волн дает известную форму­ лу дифракционного излучения, а если предположить, что одна из гармоник поля скользит вдоль решетки,— условия аномалии Вуда (4.42), т. е. амплитудные и фазовые характеристики дифракцион­ ного излучения определяются формой поверхности в пределах од­ ного периода. Для решеток прямоугольного поперечного сечения резонансы вблизи точек скольжения выражены наиболее сильно* так как вдоль скользящего луча укладывается много элементарных излучателей. Металлический брус и щель между брусьями образу­ ют резонансный контур для колебаний, электрический вектор кото­ рых направлен вдоль решетки.

В самой точке рождения при переходе от поверхностной к объемной гармонике изменяется характер зависимости — 3-й гармо­ ники от х, при этом синхронная гармоника проходит через мини­ мум. Анализируя рис. 4.33, можно предположить, что в точке рож­ дения новой распространяющейся гармоники терпят разрыв произ­ водные по частоте от амплитуд рождающейся и синхронной гармоник.

Резонансные зависимости проявляются и при падении на ре­ шетку волны, направление распространения которой совпадает с направлением одной из объемных гармоник дифракционного излу­ чения. Например, при падении на решетку волны, соответствую­ щей — 1 -й гармонике дифракционного излучения, вблизи точки ано­ малии Вуда, связанной с рождением — 3-й гармоники, возникают две распространяющиеся гармоники с направлениями, соответству­

ределяют в первую очередь особенности дифракционного излучения электронного потока в рассматриваемой электродинамической структуре.

Рассмотрим сначала наиболее простой случай многоволновых режимов дифракционного излучения: двухволновый. Когда , пара­ метры системы соответствуют двухволновому режиму излучения потока у одной решетки вблизи точки рождения —2-й распростра­ няющейся гармоники, направление излучения — 2-й гармоники по­ чти противоположно направлению движения потока. При выполне­ нии соотношения

X < 2PVL* + D2/ i J L 2 + D2 *+ Щ

излучение назад полностью выходит в свободное пространство, не касаясь противоположной стенки электродинамической структуры.

При значениях х, близких к>4н2\ коэффициент трансформации ве­ лик и при переотражениях волны, соответствующие — 1 -й гармони­ ке, трансформируются во — 2-ю и высвечиваются в свободное про­ странство. Этот режим излучения имеет крайне низкую доброт­ ность, так как процесс переотражений от решеток в данном случае эквивалентен большим потерям в системе.

При двухволновом режиме с приблизительно одинаковыми ам­ плитудами гармоник дифракционного излучения и близкими зна­ чениями коэффициентов трансформации \Т^\ поля в системе уста­ навливаются после многократных переотражений от дифракцион­ ных решеток. Условия фазированного сложения электромагнитных полей в двухволновом режиме различны для разных составляющих

условие фазированного сложения излучения против движения —

не выполняются.

Суммирование вкладов волн в синхронное поле происходит при выполнении соотношений

ных параметров решетки, частоты модуляции о и скорости потока существуют определенные значения Z), при которых происходит резонансное увеличение как амплитуды синхронного поля, так и Мощности излученяи по и против направления движения потока. Причем значения D, соответствующие максимуму каждой из компо­ нент поля, не совпадают (ср. рис. 4.35, а, б). Это свойство дифрак­ ционного излучения электронного потока в ограниченной структуре, образованной решетками, может быть использовано в многоволно­ вом режиме для оптимизации синхронного поля (или мощности из­ лучения) за счет изменения расстояния между решетками (диамет­ ра системы).

Вблизи точки двухволнового резонанса, т. е. когда углы, под которыми распространяются две излучающиеся гармоники, связаны

F(S)

Рис. 4.35. Распределение синхронного поля вдоль системы (а) и диа­ граммы направленности излучения по направлению движения элект­ ронного потока (б) при Lfl = 2 5 и D/1 = 2,83 (i), 2,85 (2) и 2,96 (3).