сил не переходит в потенциальную энергию, а переводит часть энер­ гии межатомных связей из состояния с минимальной свободной энергией в ненагруженном теле в активное состояние — потенци­ альную энергию.

Из всех возможных вариантов перемещений реально осуще­ ствляются те, которые приводят к наименьшему накоплению потен­ циальной энергии по сравнению со всеми другими.

Из принципа возможных перемещений для линейно-упругого тела следует, что ип = dU/dPt.

Перемещение точки приложения обобщенной силы Рг в направ­ лении ее действия равно частной производной от потенциальной энергии по силе Pt (теорема Кастильяно).

Таким же методом получена теорема Лагранжа: частная произ­ водная от потенциальной энергии деформации по обобщенному пере­ мещению равна соответствующей ему обобщенной силе, т. е. Pt = = dU/diii. Теорема Лагранжа, в отличие от теоремы Кастильяно, справедлива для любого упругого тела.

Аналогичная зависимость может быть получена и для напря­ жения. Удельная работа внутренних сил со, равная удельной потен­ циальной энергии и, может быть представлена в виде

о

когда компоненты деформаций изменяются независимо друг от друга, после дифференцирования приведенного выражения получим Оц =

= du/d&ij.

Все приведенные зависимости, полученные из закона сохранения энергии, имеют широкое применение в механике деформируемых сред.

1.2. ВЯЗКОУПРУГОСТЬ

Представление о вязкоупругой деформации дает поведение моде­ лей, которые сочетают свойства вязкости и упругости в такой после­ довательности: при приложении нагрузки в теле возникает мгновен­ ная упругая деформация, подчиняющаяся закону Гука; затем при том же максимальном напряжении протекает вязкая деформация, подчиняющаяся закону Ньютона, сформулированному для жид­ кости. Теория, основанная на этих представлениях, дает математи­ ческое описание действительно протекающих в металлах явлений, хотя и не отражает полностью их физической сущности.

Рассмотрим явления, обнаруженные прежде всего в металлах. Одной из причин нарушения однозначной связи между напряже­ ниями и деформациями в металлах является их неоднородность, влекущая за собой возникновение остаточной деформации в от­ дельных зернах поликристаллического агрегата. Эти зерна дают остаточную деформацию при относительно низких напряжениях, в то время как остальные зерна деформируются только упруго.

Описывая неупругие явления в металле, полезно использовать модель, состоящую из двух компонент, одна из которых подчиняется закону Гука, а другая аппроксимируется законом Ньютона.

Упругое прямое и обратное последействие. Если к стержню приложить растягивающую или сжимающую силу, так чтобы напря­ жение о было меньше предела пропорциональности апц, то «мгно­ венно» происходит лишь часть полной деформации е, остальная про­ текает постепенно во времени /. После быстрого снятия нагрузки

Рис. 1.2

«мгновенно» исчезает только часть деформации, остальная исчезает со временем. Это и есть явления прямого и обратного последействия (рис. 1.1).

«Мгновенная» упругая деформация стержня ОС возникла под действием мгновенно (/ = 0) приложенного по линии ОА напряже­ ния, через некоторое время под действием того же напряжения (участок АВ) стержень получает дополнительную деформацию С/С, протекающую с постепенным затуханием во времени по кривой СЕ. При «мгновенной» разгрузке по линии BD (участок EF на диаграмме времени) упругая деформация KD снимается мгновенно, а остальная ее часть DO исчезает медленно по ниспадающей кривой FG, после чего стержень приходит к исходной длине. Удлинение С/С представ­ ляет собой прямое, а укорочение DO — обратное упругое последей­ ствие.

Пластическая деформация в отдельных зернах при прямом последействии со временем прекращается вследствие сопротивления окружающей упругой среды. После снятия нагрузки упругорастя' нутые участки не возвращаются в исходное состояние мгновенно, так как этому препятствуют пластически деформированные зерна*

Остаточно деформированные зерна вызывают в окружающей среде ориентированные остаточные напряжения, под влиянием кото' рых в пластически деформированных зернах протекает обратная пла' стическая деформация, которая и приближает размеры стержня $ исходному состоянию.

Упругое последействие может вызвать погрешности в приборах вследствие дополнительных деформаций в упругих элементах, в част­ ности в мембранах точных приборов. После правки с применением пластических деформаций или после сварки может возникать по­ водка изделий, которая также будет следствием упругого последей­ ствия.

Релаксация напряжений. В упругорастянутом стержне, закреп­ ленном по концам, величина деформации зафиксирована и будет сохраняться во времени. Однако напряжение при этом будет посте­ пенно уменьшаться с затухающей скоростью. Этот процесс падения напряжения во времени называется релаксацией (relaxio — отдых, ослабление).

Причиной релаксации является пластическая деформация — пол­ зучесть, резко зависящая от температуры. Так как общая активная деформация е0 в поставленном опыте невозможна из-за закрепления концов стержня, остаточная деформация еост совершается за счет уменьшения упругой еупр, так что

пературе и начальном напряжении а0 можно оценить по кривой релаксации (рис. 1.2, а), из которой следует, что процесс релаксации протекает сначала с большой скоростью, затем постепенно затухает и прекращается.

Инженера обычно интересуют следующие характеристики ре­ лаксации напряжений: 1) скорость релаксации, т. е. скорость, с ко­ торой падает напряжение; 2) условная характеристика сопротивле­ ния материала релаксации О/ (напряжение, которое устанавливается в детали при определенной температуре и определенной начальной деформации за время t)\ 3) время релаксации t0 (условное время, за которое начальное напряжение а0 уменьшается в е = 2,718 раз); такая характеристика удобна в расчетах.

Явление релаксации напряжений в конструкциях оказывает большое влияние на их работоспособность. Возникая в болтах, стяжках, релаксация выводит эти элементы из строя в том смысле, что они перестают выполнять свое назначение. В сварных соедине­ ниях релаксация уменьшает остаточные напряжения растяжения. С целью вызвать релаксацию сварные соединения часто подвергают отжигу. Однако если релаксация протекает неравномерно в кон­ струкции, то снижение напряжений может приводить к короблению, отжиг в этом случае будет усугублять коробление.

Таким образом, релаксация напряжений, когда она протекает только в части нагруженного сечения, может приводить к деформа­ ции конструкции и перераспределению напряжений с тенденцией к их выравниванию по сечению. В тех случаях, когда конструкция деформироваться не может, релаксация в части напряженного

и снова нагрузим до прежнего уровня. Ветви разгрузки и повторной нагрузки в координатах а, е не совпадут, получится замкнутая петля гистерезиса (рис. 1.4, б), которая свидетельствует о необрати­ мых процессах. Площадь петли эквивалентна работе, затраченной на эти необратимые процессы, основным из которых является микропластическая деформация в локальных областях. При повторных циклах гистерезисная петля будет воспроизводиться.

Таким образом, в реальных телах при наличии пластических сдвигов в отдельных зернах часть механической энергии колебаний будет необратимо превращаться в теплоту. Периодически меня­ ющиеся деформации при этом не будут совпадать по фазе с напряже­ ниями (сдвиг на величину ф на рис. 1.4, б). Если в теле возбуждены собственные колебания (источник возбуждения отключен), колеба­ ния будут затухать во времени не только из-за внешнего трения, но и вследствие указанных выше неупругих процессов, протекающих в самих металлах и их соединениях. По аналогии с внешним трением действие внутренних неупругих процессов названо внутренним трением.

Способность металлов поглощать энергию упругих колебаний и вследствие этого их гасить имеет огромное практическое значение. Эта способность уменьшает опасность усталостного разрушения, когда в условиях возникновения резонансных колебаний она пред­ отвращает рост амплитуды колебаний, например в турбинных ло­ патках. То же самое относится к станинам быстродействующих машин, в которых необходимо уменьшать интенсивность вибраций, передающихся полу в цехе и соседним машинам. Способность ме­ таллов гасить колебания сводит к минимуму опасное влияние вибра­ ции на подшипники и оси в колесах железнодорожных вагонов.

Внутреннее трение в металлах при колебаниях можно измерять. В качестве меры внутреннего трения принимают логарифмический декремент колебания б = In (<аг/а2), где аг и а2 — амплитуды двух соседних затухающих колебаний. Практически он определяется

Элементы теории линейной вязкоупругости. Сложность строения реальных материалов предопределяет трудности математического описания процессов рассмотренных здесь различных форм проявле­ ния неупругости. Чтобы разобраться в этих процессах, строят рео­ логические модели различной сложности, каждая из которых от­ ражает особенности одного процесса (сам процесс может изменять характер и степень проявления в разных материалах), например модель релаксации напряжений в металлических и железобетонных конструкциях. Чтобы дать представление о методах построения реологических моделей и способах их описания, рассмотрим неко­ торые простейшие модели.

Согласно закону Ньютона, при вязкой деформации касательные напряжения пропорциональны не деформации сдвига, как в законе

На основании указанных двух закономерностей П. Людвиг [143] выдвинул предположение, что для каждого металла должна существовать обобщенная кривая пластического течения в коорди­ натах «максимальные касательные напряжения — максимальный от­ носительный сдвиг» независимо от напряженного состояния.

В опытах, поставленных П. Людвигом, строились кривые течения для меди, железа, мягкой стали в координатах ттах, —gmax при растяжении и кручении.

При растяжении:

при кручении:

где у — относительный сдвиг у контура сечения при кручении; М — крутящий мо­ мент; &тах — истинный сдвиг; ф — угол закручивания.

Опыты П. Людвига были повторены другими исследователями на более широ­

ком ассортименте материалов в координатах «октаэдрическое напряжение тп - октаэдрический сдвиг gn».

При растяжении:

при кручении:

Предположение о независимости кривой течения от напряжен­ ного состояния в ряде проверенных случаев приближенно оправды­ вается для хорошо отожженных чистых металлов и простых сплавов при небольших степенях остаточной деформации. Идея о независи­ мости кривой течения от напряженного состояния с успехом исполь­ зована при разработке обобщенных диаграмм циклического деформи­ рования, которые строятся по результатам циклических испытаний с постоянной амплитудой деформаций или напряжений. Обобщенная кривая строится для одного и того же полуцикла нагружения, на­ пример /г-го, и выражает зависимость текущего относительного на­

пряжения S от текущей относительной пластической деформации ёк9 которая равна ширине соответствующей петли гистерезиса 6*, т. е. ёр = 6к По осям обобщенной диаграммы откладываются относительные напряжения 5 = S/Sk и деформации ёкр = еJ/eJ [118].

На единую кривую ложатся точки, полученные из испытаний об­ разцов на растяжение, сжатие, кручение [45]. В более поздних работах В. В. Ларионова на единую кривую ложатся точки, полу­ ченные при испытании надрезанных образцов с разными концентра­ торами напряжений.

Влияние гидростатического давления сжатия на поведение ме­ таллов под нагрузкой при растяжении. Многочисленные исследова-

ния, несмотря на некоторую противоречивость полученных данных, позволяют сделать следующие выводы:

1) гидростатическое давление (сжатия) до 3430 МПа на предел текучести и сопротивление малым пластическим деформациям при растяжении влияния не ока­

зывает; 2) предел прочности ав

также не зависит или лишь незначительно зависит от гидростатического давления; 3) пластичность образцов под давлением резко возра­ стает: у некоторых метал­

лов — прямо пропорционально давлению, у других — с ускорением; при этом растет и истинное сопротивление разрыву S„.

Сказанное иллюстрируют рис. 1.6, на котором показана зависи­ мость истинной предельной деформации е от гидростатического давления /?г, и рис. 1.7, на котором приведена зависимость истин­ ного напряжения растяжения Sp для чистой меди от истинной де­ формации е при разных значениях внешнего давления: 1 — 0,1 МПа; 2 — 76,5 МПа; 3 — 157 МПа; 4 — 304 МПа [4].

Приведенные результаты подтверждают независимость сопро­ тивления сдвигу в пластической области от действия шарового тен­ зора напряжений, а также возможность существования единой кри­ вой течения хотя бы до небольших степеней деформации.

Рост предельной пластичности при повышении давления не свя­ зан с условиями пластической деформации, так как определяется условиями разрушения. Гидростатическое давление сжатия препят­ ствует росту трещин, происходящему под действием нормальных напряжений в растягиваемом образце. Это отдаляет момент разру­ шения и способствует продлению пластического деформирования.

Такое объяснение подтверждается тем, что дно чашечки в разорван­ ном сечении образца с ростом давления уменьшается практически до нуля, а дно чашечки — это трещина начала разрушения в шейке.

Силовые критерии перехода материалов из упругого состояния в пластическое в условиях сложнонапряженного состояния. Исходя из представлений об идеальной пластичности, можно в шестимерном пространстве напряжений выделить область, ограниченную поверх­ ностью 5Т (рис. 1.8), достижение которой означает переход элемента

в пластическое состояние без деформационного упрочнения. Пове­ дение элемента внутри области зависит от принятой схемы поведе­ ния материала при деформации. Если это жесткопластичное тело (рис. 1.9, а), то внутри области тело не деформируется до тех пор, пока напряжения не достигнут предельного состояния, т. е. поверх­ ности ST (см. рис. 1.8). Если тело упругопластичное (рис. 1.9, б), внутри области при нагружении происходит упругая деформация, переходящая в пластическую на поверхности ST. Теория пластич­ ности доказывает, что поверхность выпукла; действительная форма ее определяется условием наступления пластической деформации. Это условие имеет вид / ( а 17) = 0 , или

при этом тт = (1 //3 ) ат.

Условие (1.16) близко к критерию наибольшего касательного напряжения

Из уравнений (1.16) и (1.17) следует, что в условие пластичности кроме показателей напряженного состояния сдвига входит меха­ ническая характеристика материала ат.

Условные и истинные деформации. Исследование пластического состояния твердых тел удобно проводить с использованием понятия истинной деформации.

Условно деформацию можно характеризовать относительным удлинением е = А///„, которое в каждый момент деформации пред­ ставляет собой долю абсолютного удлинения А/, отнесенную к пер­ воначальной длине образца Суммируя измерения в каждый мо­ мент деформации, получим

Истинная относительная деформация получается, когда прирост длины образца в каждый момент деформации относится к той длине, которую имел образец в момент измерения, тогда

Направление максимального сдвига делит углы между главными удлинениями пополам. При гидростатическом сжатии gi = g2 =

= &з = 0.

Истинные характеристики пластичности обладают важным пре­ имуществом аддитивности, т. е. возможностью суммирования дефор­ маций, вытекающей из правила сложения определенных интегралов.

Зависимость между компонентами напряжений и деформаций в пластической области. Такую зависимость необходимо знать, чтобы уметь оценивать несущую способность элементов конструкций за пределом текучести материала.

Нужно различать два вида пластической деформации:

1) активную, протекающую при непрерывном росте деформиру­ ющей силы, по крайней мере в пределах устойчивой деформации; 2) ползучесть, протекающую при постоянной нагрузке и даже постоянном напряжении (ползучесть присуща и некристаллическим

твердым телам, но это уже не пластическая деформация). Уравнение пластической деформации для осевого растяжения

можно представить в виде f (в, ё, t, а, Т) = 0, где t — время; Т — температура. Приняв Т = const и считая, что независимых пере­ менных в уравнении осталось три, так как ё = de/dt, установим, что при активной деформации в пределах одного опыта переменными' являются е, о и ё (или /); при ползучести, если в опыте о = const, переменными остаются е и ё (или t). В этом случае с механической точки зрения ползучесть — явление более простое, чем активная деформация.

в частности, являются главные напряжения a*, a2 и a3, которые могут быть вычислены как корни кубического уравнения а8 — Jxa2 + + / 2а — J3 = 0. Коэффициенты этого кубического уравнения — также инварианты тензора напряжений. Соответствующие инва­ риантам тензора напряжений Та инварианты девиатора напряже­ нийDa имеют вид:

J 1Р а ) = 0; ^2 Р а ) = “ g " [(а1 — a 2)24 " (<*2— ^ з )24“ (<*3— ^ l ) 2]»

J3 Ра) — W s .

Шаровой тензор напряжений вызывает изменение объема твердого тела, которое прямо пропорционально Зо0. Под действием шарового тензора возникает, как уже указывалось, только упругая деформа­ ция и происходит разрушение отрывом. Разрушение отрывом, не осложненное пластической деформацией, в общем случае напряжен­ ного состояния при растяжении вызывает первое (наибольшее)

жение сдвига в данной точке. Основанием для такого определения служит прямо пропорциональная зависимость между вторым (ква­

которая в ряде случаев мало отличается от реальных значений касательных напряжений. Например, величина тг точно равна макси­ мальному касательному напряжению при чистом сдвиге или напря­ жению на октаэдрических площадках (равнонаклоненных к глав­

нему значению касательных напряжений на поверхности сферы, окружающей близкие окрестности рассматриваемой точки тела!

Инварианты— это коэффициенты кубического уравнения, кор­ нями которого являются главные напряжения. Главные напряжения и коэффициенты кубического уравнения инвариантны относительно осей координат, т. е. не зависят от их поворота.

Из (1.31) следует, что ех + еу + ег = 0, т. е. в деформированном состоянии, охарактеризованном как девиатор деформаций, измене­ ние объема равно нулю.

По аналогии с интенсивностью напряжений вводят понятие ин­

Здесь &i — инвариант, поэтому различие между (1.33) и (1.34) определяется только

выбором осей; множитель 1^2/3 в (1.33) и (1.34) подобран из условия выполнения равенства е* = е2 при простом растяжении и \xf = 0,5.

Через любую точку деформируемого тела можно провести три таких взаимно ортогональных направления, сдвиги между которыми при деформировании равны нулю, а линейные деформации вдоль

где р' — коэффициент Пуассона в пластической области.

Внесем теперь необходимые пояснения в понятие активной де­ формации. Под активной, как уже говорилось, будем понимать та­ кую деформацию, при которой внешняя сила, ее вызывающая, не­ прерывно возрастает или, в предельном случае, не убывает.

Содержание, вложенное в понятие активной деформации, преду­ сматривает и ее механическую устойчивость. В реальных материалах при деформации возникает явление неустойчивости, вызываемой геометрическим разупрочнением. На диаграмме активного деформи­ рования растяжением (см. рис. 2.1) устойчивость деформации обес­ печивается только до точки 4, после которой нагрузка падает вслед­ ствие образования шейки, т. е. геометрического разупрочения. Критерий устойчивости для этого случая, т. е. для одноосного растя­ жения, может быть выражен в виде

где гр — пластическая деформация.

Следует отметить, что в (1.36) напряжения и деформации услов­ ные. Этим и определяется чувствительность произведения Да Дер к геометрической неустойчивости деформации, так как изменение условного напряжения подчиняется тому же закону, что и изменение

внешней силы, потому что отличается от нее лишь постоянным множителем.

В металлических сплавах при пластической деформации кроме указанных случаев возможно возникновение механической неста­ бильности и неустойчивости в результате инициируемых пластиче­ ской деформацией фазовых превращений, связанных с перекристал­ лизацией, а также с распадом твердых растворов, или в результате дислокационных реакций, связанных с отрывом дислокации от бло­ кирующих ее примесных атомов. В результате перечисленных про­ цессов возможно падение нагрузки при деформации. Следует поэтому уточнить, что дальнейшее рассмотрение теории пластической де­ формации будет относиться к упрочняющимся материалам, в кото­ рых при пластической деформации предел упругости непрерывно возрастает. Для обоснования математической теории течения, кото­ рая будет здесь рассматриваться, требуется более строгое определе­ ние упрочняющейся среды. Такое определение дает постулат Друкера [51].

В упрочняющейся среде, напряженное состояние которой оце­ нивается тензором а?/, производится повышение нагрузки до ст,/, а затем еще бесконечно малое догружение на величину doijt вызы­

вающее упругую деформацию dej/ и пластическую деформацию de?/. За цикл дополнительной нагрузки и разгрузки добавочные напряжения выполняют положительную работу daf/de?/. Сюда вхо­

дит величина de?/, а не de*/, поскольку работа добавочных напряже­ ний на упругих деформациях для замкнутого цикла равна нулю. Если учитывать всю деформацию не от начала догружения, а от исходного состояния среды, характеризуемого тензором а?/, то по­ стулат Друкера можно записать следующим образом:

Согласно неравенству (1.37), скалярное произведение вектора добавочных напряжений о ц—a?7- и вектора ds?/ положительно или, по крайней мере, не отрицательно. Это выполняется только при условии, что указанные векторы образуют между собой острый ' угол и поверхность нагружения STвыпукла, а вектор def/ нормален к ней, как, например, на рис. 1.8. Если вектор de?/ не нормален к ST, найдется вектор а//—а?/, образующий тупой угол с вектором def/,

и проекция Gif—o°ij на направление de?/ окажется отрицательной, что будет противоречить неравенству (1.37).

Крайний случай, выражаемый знаком равенства в (1.37), делает применимым постулат Друкера и для случая идеальной пластичности, характеризуемой, например, диаграммой растяжения на рис. 1.9, а.

За пределом текучести связь между напряжениями и деформа­ циями не только не линейна, но и не однозначна, поэтому пред­ сказать эту связь на основании только накопленных эксперимен­ тальных данных практически невозможно.

зависеть от свойств материала, проявляющихся при одноосном

т. е. устанавливают зависимость между компонентами напряжения и деформации в рамках теории малых упругопластических дефор­ маций.

Если начиная с (1.44) выбрать другой путь и исходить из обобщен­ ного закона Гука, мы придем к теории пластичности, называемой деформационной.

Выпишем уравнения обобщенного закона Гука для линейных

Уравнения (1.49), так же как (1.43), дают удовлетворительные результаты только в условиях простого нагружения.

Теории течения более сложны, чем уже рассмотренные. Одна из теорий течения устанавливает зависимость приращений пласти­ ческой деформации от компонентов напряжений. Эту зависимость в трехмерном пространстве главных напряжений и главных дефор­ маций выражают в виде соотношений:

где [ — функция напряжений, определяющая условие пластичности и в данном случае выраженная уравнением (1.15); А > 0 — неопределенный скалярный мно­ житель Лагранжа, который находят при решении каждой конкретной задачи.

Зависимости (1.50) представляют собой математическое выра­ жение так называемого ассоциированного закона течения. Слово ассоциированный предусматривает, что соотношения между прира­ щениями пластической деформации и напряжениями будут зависеть также и от выбора функции f\ например, в виде (1.15) или (1.16).