книги / Надежность судовой электронной аппаратуры и систем автоматического управления

местно с другими законами рас­ пределения применяется глав­ ным образом при исследовании надеж ности радиоэлектронной аппаратуры, имеющей элементы с выраженным эффектом старе­ ния. Кроме того, отказы неко­ торых типов электровакуумных приборов также ' подчиняются закону распределения Рэлея.

Рис. 31. Графики распределения Рэлея.

§ 39. Логарифмически нормальное распределение

Время отказа подчиняется логарифмически нормальному за­ кону, если распределение логарифма времени отказа соответствует нормальному закону.

Частота, отказов при этом распределении определяется выра­ жением

( И 0 )

где а и р , — параметры распределения. Вычислим интегральную функцию F {t)

Введем следующее обозначение:

- Î 2 - b i = * .

а

Тогда

Подставив в уравнение (ПО) вместо t и dt их значения из уравнений (111) и изменив соответственно пределы интегрирования,

получим

или

(113)

Для логарифмически нормального распределения основные количественные характеристики надежности выражаются сле­ дующими формулами:

'Mo и медиана Me для логарифми­ чески нормального распределения определяются формулами

Логарифмически нормальное распределение применяется при исследовании надежности полу­ проводниковых приборов. Кроме

того, результаты ускоренных испытаний некоторых видов изде­ лий могут быть довольно удачно аппроксимированы логарифми­ чески нормальным распределением.

VI. Экспериментальная оценка____ . надежности

§40. Статистическая оценка законов распределения

Для решения теоретических и практических задач надежности необходимо знать законы распределения исходных случайных величин. Обобщение большого статистического материала позво­ ляет изучить законы распределения отказов. При оценке надеж­ ности радиоэлектронной аппаратуры основной задачей является определение по данным эксплуатации или специальных испыта­

ний величин среднего времени безотказной работы Т и среднего

времени восстановления т.

Установим свойственные этим величинам закономерности. Для этого введем .некоторую случайную величину Т , под которой будем понимать как время безотказной работы, так и время вос­ становления. При эксплуатации или при испытаниях радиоэлек­ тронной аппаратуры в течецие некоторого времени t случайная величина Т может принять п различных определенных значений. Совокупность этих значений случайной величины получила на­ звание «статистической выборки» объема п.

Используя п случайных реализаций Т, можно определить ана­ литическую форму неизвестной плотности вероятности f (t) или

строится прямоугольник, площадь которого пропорциональна частоте в этом интервале. Если все интервалы имеют одинаковую ширину (что обычно бывает), то высоты прямоугольников также пропорциональны частостям или частотам.

Очевидно, что высота прямоугольника должна быть, равна ча­

стоте pi интервала,, деленного на его длину. Из построения гистограммы следует, что полная ее площадь равна единице.

При увеличении числа опытов я для каждого интервала можно выбирать все меньшую продолжительность. При этом гистограмма будет приближаться К'некоторой плавной кривой. Нетрудно убе­ диться, что такая кривая соответствует графику функции плотно­ сти распределения случайной величины Т.

Следовательно, в результате построения гистограммы можно получить представление о дифференциальном законе распреде­ ления случайной величины Т и установить вид функции плотности распределения.

Статистическая функция распределения (полигон накоплен­ ных частот) строится следующие образом. Над каждым отрезком, изображающим начало и конец интервала, проводится горизон­ тальная линия на уровне ординаты, равной величине накоплен­ ной частоты; концы горизонтальных отрезков соединяются вер­ тикальными линиями.

Статистическая функция распределения F* (/) представляет собой частоту событий T <С. t в данной выборке

где щ — число опытов, при которых T <

Для графического построения функции F* (t) обычно задаются значениями th поэтому график F* (/) представляет собой ступен­ чатую кривую.

При неограниченном увеличении числа опытов я, согласно теореме Бернулли, при любом t частота события р* (T < t) приближается (сходится по вероятности) к вероятности этого со­ бытия. Если Т — непрерывная величина, то при увеличении п число скачков функции F * (t) увеличивается, величина скачков уменьшается и график функции F* (t) приближается К плавной кривой F ‘ (/) — интегральной функции распределения вели­ чины 7\ или, другими словами, к вероятности отказа Q {t).

Для иллюстрации построения статистической функции рас­ пределения рассмотрим следующий пример.

Пример. Построим статистическую функцию распреде­ ления, используя статистическую выборку, приведенную на стр. 93. Так как наименьшее время отказа приемника равно 200 час., то

F* (200) = р*.(Т < 200) = JQ = 0.

Значение случайной величины Т, равное 200 час., получено один раз, поэтому частота этого события равна

1,0 -

0,8 -

0,6 ■

A4*

0, 2 *

0-

Рис. 33. Гистограмма статистической функции распреде­ ления времени отказов радиоприемников.

Следовательно, в точке t = 200 час. функция. F* (t) имеет скачок, равный 0,1. В промежутке от 2Ô0 до 350 час. отказы отсутствуют. Следовательно, F* (t) в этом про­ межутке остается постоянной и равной ОД.

Значение случайной величины 7\ равное 350 час., получено два раза. Следовательно, в точке t — 350 час. функция F* (t) имеет скачок, равный 0,2, а частота со­ бытия при Т < 350 час. равна

В точке t = 400 час. происходит новый скачок функ­ ции на 0,2, так как значение 400 час. наблюдалось дважды и т. д.

График статистической функции распределения слу­ чайной величины Т представлен на рис. 33.

Для приведенного примера при неограниченном увеличении числа опытов статистическая функция распределения должна сходиться по вероятности к интегральному закону распределения времени отказов. Следовательно, построение статистической функ­ ции распределения в принципе позволяет решить вопрос об уста­ новлении на основании экспериментальных данных закона рас­ пределения случайной величины.

§ 41. Выравнивание статистического распределения случайной величины Т

Под выравниванием статистического ряда подразумевается такая обработка статистических данных, при которой обеспечи­ вается подбор наиболее подходящего теоретического закона рас­ пределения. При этом закон распределения может быть задан либо функцией распределения F (/), либо плотностью распределе­ ния f (t).

Для оценки степени расхождения полученного статистического распределения F* (t) с теоретическим законом распределения из множества критериев выбирается мера, расхождения, по величине которой можно судить о том, вызвано ли расхождение случайными причинами, или разница между распределениями настолько ве­

торая в то же время действительно согласовалась бы с данными эксперимента, т. е. чтобы можно было считать справедливым ра­ венство

Фо (*) as f (t).

Для оценки правдоподобия этого приближенного вероятност­ ного равенства разработано несколько критериев согласия прове­ ряемых гипотез относительно вида функций ф0 (?) и f (t).

Идея применения критериев согласия заключается в следую­ щем. Предполагается, что случайная величина Т, полученная в виде статистического ряда, подчинена некоторому определенному закону распределения, описываемому * функцией распределе­ ния F (t). Для проверки справедливости такой гипотезы вводится' вспомогательная величина А, которая может быть выбрана раз­ личными способами, но так, чтобы она могла служить мерой рас­ хождения между теоретическим законом распределения и стати­ стическим распределением, полученным при проведении данного опыта. Например, в качестве А можно взять максимальное откло­ нение статистической функции распределения F* (/) от теорети­ ческой функции F (/), или же сумму квадратов отклонений теоре­ тических вероятностей попадания случайной величины Т в i-й ин­

тервал pi от соответствующих частот р,- Так как для разных опытов статистические данные носят случайный характер и функ­ ция F* (t) для каждого опыта будет иметь другой вид, то и мера расхождения А является случайной величиной. Если гипотеза о том, что величина Т подчиняется закону распределения F (t)} справедлива, то закон распределения величины. А будет опреде­ ляться законом распределения величины Т и числом опытов п. Это обстоятельство и позволяет установить согласие между теоре­ тическим и статистическим распределением, если известен закон распределения величины А.

Предположим, что закон распределения выбранной меры рас­ хождения Д известен. В результате проведения эксперимента бу­ дет установлено, что выбранная мера расхождения приняла неко­ торое конкретное значение и. Для того чтобы выяснить, яв­ ляется ли это расхождение случайным за счет ограниченности числа опытов, или оно свидетельствует о наличии существенной разницы между теоретическим и статистическим распределением, необходимо вычислить вероятность получения такого расхожде­ ния при заданных/7 (/) и числе опытов п. При известной функции распределения Д это вычисление сводится к определению вероят­ ности события, что Д > и, т. е.

Если эта вероятность окажется малой, то теоретическое рас­ пределение выбрано неудачно. В этом случае гипотеза о том, что F (t) выравнивает статистическое распределение, мало правдо­ подобна. Если же эта вероятность значительна, то можно счи­ тать, что экспериментальные данные не противоречат сделанному допущению о подчинении-случайной величины Г закону распре­ деления F (t).

Оказывается, что при некоторых способах выбора меры рас­ хождения Д закон распределения этой величины может быть опре­ делен теоретически, исходя из общих положений теории вероят­ ностей, и при достаточно большом п не зависит от вида функ­ ции F (t), что значительно облегчает применение критериев со­ гласия.

Наиболее употребительными критериями согласия являются критерий х2 Пирсона и критерий А. Н‘. Колмогорова.

§42. Критерий х2Пирсона

В качестве меры расхождения Д для этого критерия выбрана

В случае увеличения п закон распределения величины Д при­ ближается к известному в теории вероятностей распределению ха и не зависит от вида теоретической функции распределения F {t)