книги / Надежность судовой электронной аппаратуры и систем автоматического управления
..pdfгде F |
~ ~\/ъг Iе 2 |
— табулированные значения ин- |
|
|
----00 |
|
|
|
тегральной |
функции нормального распреде |
|
|
ления |
|
|
|
1± |
Х2 |
|
Ф |
О |
|
|
= —F= J е |
2 dx—нормированная функция Лапласа. |
||
|
о |
|
|
Таблицы нормированных функций Лапласа приведены в При |
|||
ложении |
И. |
|
|
Для нормального распределения основные количественные характеристики надежности выражаются следующими форму лами:
|
1 |
U - T t )2 |
|
a(t) = |
2а2 |
|
|
( ^ ) а |А 2 я |
|
||
|
|
|
|
|
Т7 |
) |
|
Р |
(0 = |
|
|
|
|
||
|
И |
U-rty- |
(92) |
|
|
||
1 /л _ а (О |
2а2 |
|
|
|
|
||
А W — р |
ф |
|
|
^ |
= |
7! + |
|
_ м _ |
|
|
202 ' |
|
|||
|
|
|
|||
|
|
V 2я f Œ) |
; |
|
|
|
‘На рис. 25 представлены зависимости |
|
|||
a (t), |
X (t) и P |
(t) для нормального зако |
t |
||
на |
распределения. |
|
|||
|
Из |
рисунка |
видно, что |
опасность от |
Рис. 25. Графики усечен |
казов |
начинается с нуля и с течением вре |
но-нормального распреде |
|||
ления. |
|||||
мени сильно растет. Это означает, что по |
имеет, место старение |
||||
ток отказов не |
является стационарным и |
||||
элементов. В области малых значений t старение элементов ока зывает несущественное влияние на надежность и поэтому вероят ность безотказной работы системы уменьшается незначительно.
После длительной эксплуатации системы, отказы элементов которой имеют нормальное распределение, ее надежность быстро
снижается и |
поэтому вероятность безотказной работы падает. |
1 Я. Я н к о . |
Математико-статистические таблицы, 1961, стр. 108, табл. 1. |
6 И . М . М аликов 1208 |
81 |
Интересно отметить, что в области высоких значений Р сред няя частота практически совпадает с опасностью отказов.
Нормальный закон распределения времени исправной работы системы применяется при постепенном изменении параметров или в том случае, когда доля внезапных отказов весьма мала, т. е. для систем, работающих в благоприятных условиях эксплуатации.
Нормальный закон распределения характерен для постепен ных (износовых) отказов.
§ 35. Распределение Пуассона
Поток событий называется пуассоновым, если он удовлетво ряет требованиям стационарности, ординарности и отсутствия последействия. Такой поток наиболее часто используется в различ ного рода приложениях теории надежности.
Распределение Пуассона определяется выражением
|
Рт |
|
|
(93) |
где Рт — вероятность появления |
числа событий |
т в |
заданном |
|
. интервале времени t\ |
приходящееся |
на |
интервйл |
|
а — среднее |
число событий, |
|||
времени |
t (математическое ожидание событий в интер |
|||
вале времени t). |
|
% событий, то |
||
Если в среднем в единицу времени наступает |
||||
а = X, t и тогда формулу (93) можно записать в виде |
|
|||
|
Рт = |
e -kt ■ |
|
(94) |
Если допустить, что отказы в радиоэлектронной аппаратуре являются событиями независимыми и несовместными, а среднее число отказов в единицу времени постоянно, то случайная вели чина — время отказа Tt — может быть рписана распределением Пуассона, выраженным формулой (94). Сделанные выше допуще ния можно считать в достаточной степени оправданными для пе
риода нормальной эксплуатации изделий, когда %= — =
* ср
= const. Перепишем формулу (94) в другом виде t
где t — время, для которого определяется вероятность появ ления т отказов в аппаратуре;
Тср — среднее время безотказной работы аппаратуры.
На основании уравнения (95) можно вычислить вероятность появления в радиоэлектронной аппаратуре любого числа отказов
of m = О до m = со для заданного значения относительного
t
времени -=г—.
*ср
Всоответствии с теоремой сложения вероятностей выражение
во |
|
|
|
|
' |
|
|
|
2 Pm = |
1 |
рассматривается |
как |
сумма |
вероятностей |
полной |
||
гя=° |
несовместных событий. |
Тогда, задаваясь значениями |
||||||
группы |
||||||||
т — О, |
1, |
2 |
и т. д., уравнение (95) |
можем |
представить |
в виде |
||
бесконечного ряда, сумма которого равна единице: |
|
|||||||
|
|
|
t |
t |
• |
|
t |
|
+ ’И ‘Т^)3<! ГсР + "-- |
(96> |
Каждый из членов ряда определяет вероятность соответствую- _ t
щего числа отказов. Первый член ее е Тср представляет собой вероятность отсутствия повреждений за время t, т. е. вероятность безотказной работы, выражаемую экспоненциальным законом на дежности
_____t__
P (t) = 0 Тс р = е- и .
Следовательно, экспоненциальный закон надежности можно получить как частный случай распределения Пуассона при m — = 0.
|
|
|
t |
„ |
t |
|
|
|
Второй |
член |
„ |
т, |
определяет вероятность того, |
что |
|||
|
^ |
сР |
||||||
|
|
* ср |
|
t |
|
|
||
за относительное |
время |
произойдет одно повреждение. |
||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
ср |
|
||
Третий |
член -g- (~f — ) 2 в |
Т°р характеризует вероятность |
по |
|||||
явления двух отказов аппаратуры в течение относительного
времени -=t— и т. д.
•* ср
На графике рис. 26 представлены соответствующие кривые распределения для различного числа отказов.. Каждая из этих кривых представляет собой вероятность врзнцкновения некото
рого числа отказов m за различное относительное время |
. |
Практическую полезность этого графика поясним на примере. Предположим, что экземпляр аппаратуры многократно ис пытывается в • течение времени t ТСр. Из данных графика видно, что вероятность отсутствия отказов будет составлять 37 96. Этот результат был получен нами ранее аналитическим путем
[см. формулу (87)]. Вероятность появления одного повреждения составляет также 37%, двух повреждений 18%, трех — 6% и т. д. Помимо этого, пользуясь кривыми рис. 26, можно предска зать вероятность появления определенного числа повреждений, аппаратуры при различной длительности испытаний.
Пусть испытуемая аппаратура имеет известное среднее время безотказной работы Трр = 1 0 0 час. Если длительность испытаний
Рис. 26. Графики распределения Пуассона при различных значениях событий т.
t = 50 час., то -=t— = 0,5. Вероятность того, что в аппаратуре
ср
произойдут три отказа, равна 1,2%, дйа отказа — 8%, один от каз — 30%, а вероятность безотказной работы составит примерно 60%. Если продолжительность испытаний данной аппаратуры
довести до 500 час. = 5 то вероятность безотказной ра
боты за это время составит всего 0,7%; вероятность одного от каза будет 4%, двух — 9%, трех — 14%, четырех — 17%, пяти — 14%, шести — 10% и т. д. Вероятность большого числа повреждений постепенно уменьшается.
§ 36. Гамма-распределение
Частота отказов гамма-распределения определяется выражением
а (0 = Ьо |
«-*•', |
(97) |
где Я0 — параметр гамма-распределения.
Для гамма-распределения при целом и положительном k ос новные количественные характеристики надежности выражаются следующими формулами:
P (0 = 1 - Jt |
а (0 dt = 1 |
t |
|
= |
||
0 |
|
|
' |
' о |
|
|
|
= |
е -К < 2-^21, |
|
|
||
|
|
|
*=о |
11 |
|
(98). |
|
а |
(О |
Я„ (V )4-1 |
|
||
|
|
|
||||
Ь (0 = Р |
(О |
— |
к- 1( V / |
|
||
|
|
|
( к - |
1)1 2 |
л |
|
|
|
|
|
/=о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г = |
j |
P (t) dt = |
|
|
|
Параметр /е харак-Геризует асимметрию и эксцесс |
гамма-рас |
|||||
пределения. В зависимости от его величины существенно изме няется вид основных количест венных характеристик надеж
ности. Зависимости a (t), %(t) и P (t) приведены на рис. 27.
Из |
рисунка |
и выражения |
(97) |
|||
видно, что |
при |
k — 1 |
гамма- |
|||
распределение |
превращается |
|||||
в экспоненциальное. При k^>\ |
||||||
опасность' |
отказов возрастает, |
|||||
а при k < |
1 — убывает; |
удо |
||||
Гамма-распределению |
||||||
влетворяет |
время |
возникнове |
||||
ния |
отказов |
резервированных . |
||||
систем, с включением |
резерва |
|||||
по способу замещения и при условии, что потоки отказов основной системы и всех резерв ных являются простейшими [26]. В этом случае параметр распределения k равен числу всех систем (основной и резерв ных), т. е. /е = т -f 1.
Это распределение также может явиться характеристикой времени возникновения отказов сложных электромеханических систем, если имеют место отказы
элементов на начальной стадии эксплуатации или в процессе отработки системы, т. е. при гамма-распределение является удобной характеристикой времени возникновения отказов аппа ратуры в течение времени ее приработки.
§ 37. Распределение Вейбулла
Частота отказов при этом распределении определяется выра
жением |
a (t) = Я0 |
(9 9 ) |
|
||
где Х0 — параметр, |
определяющий |
масштаб; |
k — параметр, |
определяющий |
асимметрию и эксцесс-рас |
пределение.
Для распределения Вейбулла основные количественные ха
рактеристики |
надежности |
выражаются следующими формулами: |
|
I |
I |
P (t) = |
1— J a(t) dt |
= 1— J %X)k tk-'le~t-»ikd t = |
= 1 + e -xtk = e- V ‘
(100)
- = K ktk~ ' M 0 = P(t)
T = \ e-K ,kdt =
0 |
Xak |
где Г - J - l ) — гамма-функция (значения гамма-функции та
булированы)
х k e~xdx.
Зависимости основных количественных характеристик надеж ности от времени приведены на рис. 28.
Среднеквадратичное отклонение -времени безотказной работы а определяется по формуле
t2a (t) dt - Г =
Решение интеграла заменой tk — и дает выражение для гамма-функции
Окончательно выражение для а будет
" - ' f V O + i b M , + + ) ] • .
Коэффициент вариации распределения v определяется отно-
Из этого уравнения следует, что коэффициент вариации яв ляется функцией только вели чины k и от времени t не зависит. Кривая (рис. 29), по строенная по формуле (102), позволяет определить пара метр k, если значение коэффи циента v известно.
Важными характеристиками Вейбулла являются асиммет рия Sk и эксцесс Ek. Асиммет рия S k характеризует собой от клонение от симметрии кривой частоты отказов распределений a (t) и определяется с помощью центрального момента третьего порядка
Рис. 28. Графики распределения Вей булла.
3_
k ) —1Г(' +т ) г ( ' + -г) +’ И
• (ЮЗ)
И ' + т Ь К ' + т ) ] ’)'
Асимметрия распределения Вейбулла также не зависит от времени t и определяется только значением параметра k .
На рис. 30 изображена кривая, которая показывает отноше ниемежду величиной асимметрии S k и параметром /г.
Величина эксцесса Ek характеризует островершинность кри вой частоты отказов по сравнению с нормальным распределе нием.
Выражение для Ek имеет вид
Г(' + х ) - ‘Г (' +т ) Г(|^ т ) +
Чг('+-9]Ч+4-НК'Ч)Г — 3. (104)
К |
к |
|
Рис. 29. График изменения параметра |
Рис. 30. График изменения пара |
||||
формы распределения Вейбулла (k) |
метра |
формы |
распределения |
Вей |
|
в зависимости от коэффициента вариа |
булла |
(А) в |
зависимости |
от |
асим |
ции- (v). |
|
метрии S*. |
|
|
|
Решение уравнения (104) при Ek = 0 показывает, что |
распре |
||||
деление Вейбулла можно считать приближенно нормальным при параметре ^ = 3,25.
Определение параметров k и tQраспределения Вейбулла про изводится двумя методами: аналитическим и графическим, на ос новании опытных данных испытаний элементов.
Рассмотрим аналитический метод определения параметров k
и t0 = — .
Исходными данными для определения параметров распре деления времени безотказной работы элементов являются экспе риментальные значения времени наработки каждого элемента отказа. План проведения испытаний на надежность состоит в дли тельном-наблюдении за поведением выходных параметров элемен тов при ихработе в условиях, близких к реальным.
В результате испытаний получаются статистические данные наработки tt каждым из п элементов, по которым определяются
значения среднего времени безотказной работы Т и его квадра тического отклонения or по формулам:
2 |
‘* |
(105) |
Т = b |
i - , |
п
G
- т у
i=l
п — I
По опытным значениям Т и а определяется коэффициент v из отношения
v = X . |
(107) |
Из графика рис. 29 по известному значению коэффициента
вариации v находится величина искомого параметра k, который принимается за оценку одного параметра распределения Вейбулла. -
Второй параметр tQвычисляется по формуле (100), в которую
подставлены известные из опыта данные Т и к .
Параметр k может быть также определен из рис. 30, если по экспериментальным, данным можно получить статистическую
оценку асимметрии S k (обычно, когда выборка больше 100 элемен тов).
Найденные значения параметров k и /0 полностью определяют функцию надежности элементов на основе распределения Вей булла и дают возможность оценить точность аппроксимации ре зультатов эксперимента.
Таким образом, последовательность аналитического определения параметров распределения Вейбулла может быть представлена в виде табл. 3. .
Таблица 3
Последовательность определения параметров распределения Вейбулла
И сходны е данны е
П, |
t i |
1 |
T , |
â |
|
V . S k
k
k , to
Определяемые параметры
Т, а
V k
^ |
|
|
^1.•^ |
11 |
в |
Формулы и рисунки, по которым определяются параметры
Формулы (105), (106) Формула (107)
Рис. 29 и 30 Формула (100)
Формула (100)
Из рисунков и выражения (99) видно, что при k = 1 распре деление Вейбулла превращается в экспоненциальное. При /г > 1 опасность отказов начинается с нуля и с течением времени возра
стает. При |
1 опасность отказов начинается с + со |
и в области |
больших t стремится к нулю. Это означает, что оно, |
так же, как |
|
и гамма-распределение, может быть использовано |
в> качестве |
|
характеристики надежности аппаратуры в течение времени ее. приработки.
Распределение Вейбулла широко используется при изучении надежности механических устройств, при исследовании харак теристик надежности электронных ламп и электромеханических элементов, в частности, гиромоторов. Исследования гиромоторов показали, что наиболее точная аппроксимация эксперименталь ных значений отказов элементов может быть определена функцией распределения Вейбулла.
Для распределения Вейбулла,.так же, как и для гамма-рас пределения, не удается в общем виде найти выражение для сред ней частоты отказов, что затрудняет анализ системы по коэффи циентам надежности, так как приходится решать интегральное уравнение Вольтерра приближенными способами.
§ 38. Распределение Рэлея
Частота отказов при этом распределении определяется выра жением
|
Л . |
|
a(t) = |
2а* |
(108) |
|
где <т — параметр распределения Рэлея.
Для распределения Рэлея основные количественные харак
теристики надежности выражаются |
следующими |
формулами: |
|
Р |
|
JL |
= |
|
w d t |
||
e~xdx — е |
i l |
|
|
2а* |
|
||
a(t) |
_ _ t _ |
|
|
4 0 - P (t) |
“ о* |
» |
|